【数学】2018届高考一轮复习人教A版第二节命题及其关系、充分条件、必要条件学案

【数学】2018届高考一轮复习人教A版第二节命题及其关系、充分条件、必要条件学案

第二节 命题及其关系、充分条件、必要条件 1． 理解命题的概念．‎ 2． 了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ 3． 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．‎ 1． 直接考查“若p，则q”形式的四种命题及其真假性的判定．‎ 2． 以函数、方程、不等式等为载体，考查充分必要条件的判定方式．‎ 3． 借助充要条件探索命题成立的依据．‎ 一、四种命题及其关系 ‎1．命题：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题间的相互关系：‎ ‎3．四种命题的真假关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ 二、充分条件与必要条件：‎ ‎1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎2．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．‎ ‎3．如果pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件．‎ 考向一 四种命题的关系及真假判断 例1．命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)‎ A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 ‎2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．‎ ‎①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；‎ ‎②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；‎ ‎③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题；‎ ‎④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．‎ ‎3．设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．‎ ‎1．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．‎ ‎2．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．‎ 考向二 充分条件与必要条件的判定 例1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知命题p：函数f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函数，命题q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是减函数，则p是q的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ 充分、必要条件的三种判断方法：‎ ‎1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用p⇒q与q ⇒p，q⇒p与p ⇒q，p⇔q与q ⇔p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎ 考向三 充分条件与必要条件的应用 例1．设p：logax>0；q：()>1，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ ‎2．已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．‎ ‎3．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．‎ ‎(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；‎ ‎(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．‎ ‎1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.‎ ‎2．注意利用转化的方法理解充分必要条件：若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分、充分不必要、充要条件。‎ 易错易误 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误 ‎☆答题模版1．(2014·济南模拟)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)‎ A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎【解析】要求a＞b成立的充分不必要条件，必须满足：由选项能推出a＞b，而由a＞b 推不出选项．‎ 此处在求解中，常误认为“由a＞b推出选项，而由选项推不出a＞b”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件，哪个是结论”．在选项A中，a＞b＋1能使a＞b成立，而a＞b时a＞b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中a＞b－1时a＞b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2＞b2时a＞b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故D也错误．‎ ‎【防范措施】充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”，如“A是B成立的……条件”，其中A是条件；“A成立的……条件是B”，其中B是条件.‎ ‎2．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________．‎ ‎【解析】A＝{－3,2}，当B＝∅时，BA，此时m＝0，‎ 当B≠∅时，B＝{}，则－＝－3或－＝2，∴m＝或m＝－.‎ 故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m＝0(答案不唯一)．‎ ‎【答案】m＝0(答案不唯一)‎ 一、选择（本大题共6小题，每题5分，共30分）‎ ‎1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)‎ A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 ‎4．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)‎ A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1‎ C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ ‎5．命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0都成立”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎6．给出命题：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 二、填空（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎7．“x＝－3”是“x2＋2x－3＝0”的__________(用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空)．‎ ‎8．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．‎ ‎9．给出命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件；④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件．其中是真命题的是________．‎ ‎10．已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．‎ 第二节 命题及其关系、充分条件、必要条件 一、选择（本大题共6小题，每题5分，共30分）‎ ‎1．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题应该是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0无实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0‎ ‎2．设集合M＝{x|02”的否命题；‎ ‎③在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的充分不必要条件；‎ ‎④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．‎ 其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．‎ ‎9．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分)‎ ‎10．(15分)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：‎ ‎(1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？‎ ‎11．(15分)已知集合A＝{}，B＝{x|－10时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.因此它的逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.‎ 考向二：例1．【解析】“l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件是：由＝≠，解得a＝－2或1.故“a＝1”是“l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件． 2．【解析】若命题p为真，则a≤1；若命题q为真，则01时，p：x>1，不符合条件．【答案】(0,1) 2．【解析】命题p：－2≤x≤10，由q是p的必要不充分条件知，∴或，∴m≥9．【答案】[9，＋∞)‎ ‎3．【解析】(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要条件，‎ ‎∴P＝S，∴∴这样的m不存在．‎ ‎(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴∴m≤3.综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．‎ 基础自测：1-6．BABCCD 7．【答案】2 9．【答案】②③ 10．【答案】(－∞，0]‎ 能力提升：1-6．DBAAAA 7．【答案】x＝0. 8．【答案】①② 9．【答案】[3，＋∞)‎ ‎10．【解析】由图可知，(1)因为qs，srq，所以s是q的充要条件．‎ ‎(2)因为rq，qsr，所以r是q的充要条件．(3)因为qsrp，所以p是q的必要条件． 11．【解析】A＝＝{x|－13，即m>2.∴ (2，＋∞) ‎ ‎12．【解析】因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅. 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则U＝{m|m≤－1或m≥}．假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有 ⇒⇒m≥.又集合{m|m≥}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，‎ 所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．‎