高考数学一轮复习讲义—36空间向量及应用

高考数学一轮复习讲义—36空间向量及应用

‎ ‎ 第36讲 空间向量及其应用 一．【课标要求】‎ ‎（1）空间向量及其运算 ‎① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；‎ ‎② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；‎ ‎④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。‎ ‎（2）空间向量的应用 ‎① 理解直线的方向向量与平面的法向量；‎ ‎② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；‎ ‎③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；‎ ‎④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 二．【命题走向】‎ 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离 预测2010年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度 三．【要点精讲】‎ ‎1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。‎ 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。‎ 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。‎ ‎2．向量运算和运算率 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 加法交换率：‎ 加法结合率：‎ 数乘分配率：‎ 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。‎ ‎ 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。‎ 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝‎ 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。‎ ‎⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量 ‎⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。‎ 推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ‎ ‎ ①‎ 其中向量叫做直线l的方向向量 在l上取，则①式可化为 ②‎ 当时，点P是线段AB的中点，则 ③‎ ‎①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。‎ 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。‎ ‎4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。‎ 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①‎ 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。‎ 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使 ‎④‎ 或对空间任一定点O，有⑤‎ 在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式 又∵代入⑤，整理得 ‎ ⑥‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件 ‎5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使 说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。‎ 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ‎6．数量积 ‎（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作 A B O ‎（1）‎ O A B ‎（2）‎ A B O ‎（3）‎ 说明：⑴规定0≤≤,因而=；‎ ‎⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；‎ A B O ‎（4）‎ ‎⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，‎ 图（3）中∠AOB=，‎ 图（4）中∠AOB=,‎ 从而有==.‎ ‎（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。‎ A B l 即=，‎ 向量:‎ ‎（4）性质与运算率 ‎⑴。 ⑴‎ ‎⑵⊥=0 ⑵=‎ ‎⑶ ⑶‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：空间向量的概念及性质 例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）‎ ‎①② ①③ ②③ ①②③‎ 解析：对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。‎ 点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系 例2．下列命题正确的是（ ）‎ 若与共线，与共线，则与共线；‎ 向量共面就是它们所在的直线共面；‎ 零向量没有确定的方向；‎ 若，则存在唯一的实数使得；‎ 解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量 答案C。‎ 点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 题型2：空间向量的基本运算 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 例3．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解析：显然；‎ 答案为A。‎ 点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力 例4．已知：且不共面.若∥,求的值.‎ 解：∥,,且即 又不共面,‎ 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。‎ 题型3：空间向量的坐标 例5．（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　）‎ A. ：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3‎ C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k ‎（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）‎ A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1‎ ‎（3）下列各组向量共面的是（　　）‎ A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)‎ B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)‎ C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)‎ D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)‎ 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎（2）A　点拨：由题知或；‎ ‎（3）A　点拨：由共面向量基本定理可得 点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况 例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.‎ 思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.‎ 解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，‎ ‎∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.‎ ‎(1)cos==－，‎ ‎∴和的夹角为－。‎ ‎(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），‎ k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），‎ ‎∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。‎ 则k=－或k=2。‎ 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。‎ 题型4：数量积 例72009江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为 ‎. . ∥截面 ‎ ‎. . 异面直线与所成的角为 答案：C ‎【解析】由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确； ‎ 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；‎ 综上是错误的，故选.‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律 例8．（1）设向量与的夹角为，，，‎ 则　　　　　．‎ ‎.解：设向量与的夹角为且∴，则=.‎ ‎（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。‎ 解析 ‎ ‎（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.‎ 又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.‎ 又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。‎ 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。‎ ‎(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.‎ ‎∴或同理可得或 ‎∵≠，∴或 ‎∴cos<，>=·+·=+=.‎ ‎∵0≤<，>≤π，∴<，>=。‎ 评述：本题考查向量数量积的运算法则 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 题型5：空间向量的应用 例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。‎ ‎（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。‎ 解析：（1）设=(，，)，=(1，1，1)，‎ 则||=4，||=.‎ ‎∵·≤||·||，‎ ‎∴·=++≤||·||=4.‎ 当==时，即a=b=c=时，取“=”号。‎ ‎（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。‎ 点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题 例10．如图,直三棱柱中,求证: ‎ 证明：‎ ‎ ‎ 同理 又 设为中点,则 又 点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件 ‎1.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（ ）‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ 解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．‎ 评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．‎ ‎2.如图，设P、Q为△ABC内的两点，且， ‎ ‎＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 如下图，设，，则．‎ 由平行四边形法则，知NP∥AB，所以＝，‎ 同理可得．故，选B． ‎ ‎3.是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则的值是 ‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎ A ，又A、B、D三点共线，则.即，∴，故选.‎ ‎【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用. 要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法.‎ ‎4、已知平面向量=(，-1)，= ()．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，（其中），若，试求函数关系式并解不等式．（1）； ‎ ‎（2）由得，， ‎ 所以； ‎ 变形得：，解得．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ ‎5.已知a＝（，），b＝（，），a与b之间有关系式|ka+b|=|a-kb|，其中k＞0．‎ ‎　　（1）用k表示a、b；‎ ‎　　（2）求a·b的最小值，并求此时，a与b的夹角的大小．‎ ‎ 由已知．‎ ‎∵　，∴　．∴　．‎ ‎∵　k＞0，　∴　．‎ ‎　　此时　∴　．　∴　＝60°．‎ ‎6.. 已知,,,。‎ ‎ （1）求；‎ ‎ （2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx 解：（1）由已知 ‎ ∴‎ ‎ ∵ ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2, ‎ ‎ 又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分 所以 ……6分 ‎（2）在△ABC中， ∴ ……8分 ‎ ‎ ‎ 而 如果，‎ 则 ∴ ……10分 ‎ ‎ 五．【思维总结】‎ 本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 第 11 页 共 11 页 ‎ ‎ 和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记 对本讲内容的考查主要分以下三类：‎ ‎1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质 此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。‎ ‎2．向量在空间中的应用 在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。‎ 在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键 第 11 页 共 11 页