新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：5-1-2 复数的几何意义 课件（57张）
1.2 复数的几何意义
必备知识·自主学习
1.复平面
导
思
1.复数与向量之间具有怎样的对应
关系?
2.如何比较复数(模)的大小?
【思考】
有些同学说:实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?
提示:不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点
对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
2.复数的几何意义
3.复数的模
(1)定义:向量 的___称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模.
(2)记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模记为|z|或|a+bi|且|z|=
注意:对复数模的两点说明
(1)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|= 两个虚数不能比较
大小,但它们的模表示非负实数,可以比较大小.
(2)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点
之间的距离.
OZ
模
2 2a b .＋
2 2a b ,＋
【思考】
复数模的几何意义是什么?
提示:复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足条件|z|=r的
点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆, |z|
r表示圆的外
部.
4.共轭复数
若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.复
数z的共轭复数用 表示.当z=a+bi(a,b∈R)时, =a-bi.
注意:对共轭复数模的两点说明
(1)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等;
(2)任意一个实数的共轭复数仍是它本身.
z z
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)复平面内的点与复数是一一对应的. ( )
(2)复数即为向量,反之,向量即为复数. ( )
(3)复数的模一定是正实数. ( )
(4)复数与向量一一对应.( )
提示:(1)√ (2)× (3)× (4) ×
2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
【解析】选A.复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为
(0,-1).
3.向量a=(-2, 1)所对应的复数是 ( )
A.z=1+2i B.z=1-2i
C.Z=-1+2i D.z=-2+i
【解析】选D.向量a=(-2,1)所对应的复数是z=-2+i.
4.已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则 =________.
【解析】因为z=1+2i,所以 =1-2i.
答案:1-2i
z
z
5.(教材二次开发:习题改编)已知复数z= +(m-1)i对应的点位于第二象限,
则实数m的范围为________.
【解析】因为复数z= +(m-1)i对应的点 位于第二象限,所以
m2-2<0,且m-1>0,所以13
C.|z|≠|1+2i| D.|z|=|1-2i|
3.已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.
【解析】1.选C.
2.选D.复数z=-1+2i, 排除AB,
故得到
3.设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=
代入方程得a+bi+ =2+8i,
所以 解得 所以z=-15+8i.
2 2z 1 i 1 1 2. － (－ )
2 2z 2 ( 1) 5. － 1 2i 1 2i 5. －
z 1 2i . －
2 2a b＋ ，
2 2a b＋
2 2a a b 2,
b 8
＋ ＋ ＝
＝ ，
a 15,
b 8
＝－
＝ ，
3.设z=a+bi(a,b∈R),则|z|= ,
代入方程得a+bi+ =2+8i,
所以 解得
所以z=-15+8i.
答案:-15+8i
2 2a b＋
2 2a b＋
2 2a a b 2
b 8
，
，
a 15
b 8.
，
【解题策略】
复数模的计算
(1)计算复数模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式进行计算.虽然两
个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解.
类型二 复平面的应用(逻辑推理)
【典例】求实数a分别取何值时,复数z= +(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z
满足下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
(2)在复平面内的x轴上方.
2a a 6
a 3
－ －
＋
【思路导引】确定z的实部、虚部→列不等式组
【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内,
则 解得a<-3.
(2)点Z在x轴上方则
解得a>5或a<-3.
2
2
a a 6 0a 3
a 2a 15 0
－ － ＜ ，＋
－ － ＞ ，
2a 2a 15 0
a 3 0
－ － ＞ ，
＋ ，
【变式探究】
本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在x轴上时,求实数a的值.
【解析】点Z在x轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时点Z在x轴上.
【解题策略】
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标.
(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
类型三 复数模的几何意义(直观想象)
【典例】设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么
图形.
(1)|z|=3;(2)1≤|z|≤2.
【思路导引】根据复数模的几何意义,即复数的模就是复数对应的点到原点的
距离.
【解析】(1)|z|=3,说明向量 的长度等于3,即复数z在复平面内对应的点Z到
原点的距离为3,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的圆.
OZ
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集
是圆|z|=1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所
求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边
界.
z 2
z 1.
，
【解题策略】
解决复数模的几何意义的问题的求解策略
|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形.
【跟踪训练】
(2020·广州高一检测)设复数z=x+yi(x,y∈R)满足|x+(y-1)i|=2,z在复平面内
对应的点为(x,y),则 ( )
A.(x+1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4
C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=2
【解析】选C.因为z在复平面内对应的点为(x,y),
所以 =2,即x2+(y-1)2=4.2 2x (y 1) －
1.复数z=4-2i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.复数z=4-2i对应的坐标为 在第四象限.
课堂检测·素养达标
(4, 2)－ ，
2.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为 ( )
A.1或3 B.1 C.3 D.2
【解析】选A.依题意可得 =2,解得m=1或3.2 2(m 3) (m 1)－ ＋ －
3.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x上,则实数m的值为
________.
【解析】因为z=(m-3)+2 i表示的点在直线y=x上,所以m-3=2 ,解之得m=9.
答案:9
m
m m
4.复数z=x-2+(3-x)i在复平面内的对应点在第四象限,则实数x的取值范围是
________.
【解析】因为复数z在复平面内对应的点在第四象限,所以
解得x>3.
答案:(3,+∞)
x 2 0
3 x 0
－ ＞ ，
－ ＜ ，
5.(教材二次开发:习题改编)z=m2-2+ 其共轭复数 对应复平面
内的点在第二象限,则实数m的范围是________.
【解析】由已知得: =m2-2- i对应复平面内的点在第二象限,
所以 解得
所以
答案:
(2m 1)i(m R)－ ， z
z (2m 1)－
2m 2 0
2m 1 0
－ ，
－ ＜ ，
2 m 2
1m 2
－ ，
＜ ，
12 m .2
－
1 ( 2, )2－
三十六 复数的几何意义
【基础通关--水平一】 (15分钟 30分)
1.(2020·成都高一检测)已知复数z=1-2i,则 ( )
A. B.1+2i
C. D.
【解析】选B.复数z=1-2i,则 =1+2i.
课时素养评价
z
5
1 2 i5 5
1 2 i5 5－
z
2.(2020·大同高一检测)当 0,m-1<0,点在第四象限.
2
3
2
3
【补偿训练】
(2020·巴楚高一检测)i是虚数单位,则复数i+i2在复平面内所对应的点在(
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为i+i2=-1+i,所以复数i+i2在复平面内所对应的点为(-1,1),
在第二象限.
3.已知a是实数,a-1+ i是纯虚数,则复数z=a+i的模等于 ( )
A.2 B. C. D.1
【解析】选C.a-1+ i是纯虚数,则实部为0,虚部不为0,即a=1,所以
z=1+i,|z|= .
(a 1)
a 1（ ）
3 2
2
4.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对
称点为B,则向量 对应的复数为 ( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的
复数为-2+i.
OA
OB
5.(2020·南京高一检测)若m∈R,i为虚数单位,且 则m的值
为 .
【解析】由 可得 解得m=±1.
答案:±1
2 mi 5 ， 2 22 m 5 ，
2 mi 5 ，
6.在复平面内,O为坐标原点,向量 对应的复数为3-4i,若点B关于原点的对
称点为A,点A关于虚轴的对称点为C,则向量 对应的复数为 .
【解析】因为点B的坐标为(3,-4),所以点A的坐标为(-3,4),所以点C的坐标为
(3,4),
所以向量 对应的复数为3+4i.
答案:3+4i
OB
OC
OC
【补偿训练】
在复平面内,把复数3- i对应的向量按顺时针方向旋转 ,所得向量
对应的复数是 ( )
A.2 B.-2 i
C. -3i D.3+ i
【解析】选B.复数对应的点为(3,- ),对应的向量按顺时针方向旋转 ,则
对应的点为(0,-2 ),所得向量对应的复数为-2 i.
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
【能力进阶--水平二】 (20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应
的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选A.因为x+y+(x-y)i=3-i,所以
解得
所以复数1+2i在复平面内所对应的点在第一象限.
x y 3
x y 1
＋ ＝ ，
－ ＝－ ，
x 1
y 2
＝ ，
＝ ，
2.在复平面内,复数z1,z2的对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2 ,
|z2|= ,则z2等于 ( )
A.4+5i B.5+4i
C.3+4i D.5+4i或
5
41
1 32 i5 5＋
【解析】选D.设z2=x+yi(x,y∈R),
由条件得
所以 或 所以z2=5+4i或
2 2
2 2
(x 1) (y 2) 20
x y 41.
－ ＋ － ＝ ，
＋ ＝
x 5
y 4
＝
＝
1x 5
32y .5
＝ ，
＝
1 32 i.5 5
3.已知复数z满足|z|2-3|z|+2=0,则复数z对应点的轨迹是 ( )
A.一个圆 B.两个圆
C.两点 D.线段
【解析】选B.由|z|2-3|z|+2=0,得(|z|-1)·(|z|-2)=0,所以|z|=1或|z|=2.由
复数模的几何意义知,z对应点的轨迹是两个圆.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.(2020·海口高一检测)已知复数z=x+yi ,则 ( )
A.z2≥0 B.z的虚部是yi
C.若z=1+2i,则x=1,y=2 D.
(x,y R)
2 2z x y
【解析】选CD.对于A选项,取z=i,则z2=-1<0,A选项错误;
对于B选项,复数z的虚部为y,B选项错误;
对于C选项,若z=1+2i,则x=1,y=2,C选项正确;对于D选项, D选项正
确.
2 2z x y
【补偿训练】
(2020·潍坊高一检测)在复平面内,设z= ,t∈R,i为
虚数单位,则以下结论正确的是 ( )
A.z对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.z一定不为实数
D. 对应的点在实轴的下方
2 2(2t 5t 3) (t 2t 2)i －
z
【解析】选CD.因为2t2+5t-3=2 t2+2t+2= +1>0,
所以,复数z对应的点可能在第一象限、第二象限或虚轴上,故A错误;
当 即t=-3或t= 时,z为纯虚数,故B错误;
因为t2+2t+2>0恒成立,所以z一定不为实数,故C正确;由选项A的分析知,z对应
的点在实轴的上方,所以 对应的点在实轴的下方,故D正确.
25 49 49(t )4 8 8
－ － ， 2(t 1)
2
2
2t 5t 3 0,
t 2t 2 0
－
，
1
2
z
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.若复数z满足z+|z|=2,则z= .
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
所以z+|z|=a+bi+ =2,
所以 解得
所以z=1.
答案:1
2 2a b
2 2a a b 2,
b 0,
a 1
b 0
，
，
6.若复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是
.
【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第
二象限,
所以 解得-13,
所以m的取值范围是m>3;
(2)因为z= ,所以 =(m-2)+(9-m2)i,因为 与复数 +5i相
等,
所以 ，解得m=-2.
2
m 2 0
m 9 0
－ ，
－ ，
2(m 2) (m 9)i－ － z z
8
m
2
8m 2 m
9 m 5
－
－
【补偿训练】
(2020·潍坊高一检测)设复数z=lg 试求实数m取何
值时(1)z是纯虚数;(2)z是实数;
(3)z对应的点位于复平面的第二象限.
2 2(m 2m 2) (m 3m 2)i － － ，
【解析】(1)若z=lg 是纯虚数,
则可得 ,
即 ,解之得m=3(舍去-1);
(2)若z=lg 是实数,则可得m2-2m-2>0且m2+3m+2=0,解之
得m=-1或m=-2;
2 2(m 2m 2) (m 3m 2)i － － ，
2
2
lg(m 2m 2) 0
m 3m 2 0
－ －
2
2
m 2m 2 1
m 3m 2 0
－ －
2 2(m 2m 2) (m 3m 2)i － － ，
(3)因为z=lg 对应的点坐标为
因为该对应点位于复平面的第二象限,则可得
即
解之得-1
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