四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考文科数学试题

四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考文科数学试题

数学（文科）“11 月月考”考试题 第 1 页 共 11 页 四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试 2021 届高三第一学期 11 月月考文科数学试题 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知集合   3|A x y lg x   ， 2{ | 6 8 0}B x x x    ，则 A B  （ ） A． | 2 3x x  B． | 2 3x x  C． | 2 4}x x  D． |3 4x x  2．已知复数 z 满足 (1 ) 2z i i  ，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“直线 l 与平面 内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 4．已知等差数列 na 、 nb ，其前 n 项和分别为 nS 、 nT ， 2 3 3 1 n n a n b n   ，则 11 11 S T  （ ） A． 15 17 B． 25 32 C．1 D． 2 5．若 3tan 4   ，则 2cos 2sin 2   （ ） A． 64 25 B． 48 25 C．1 D． 16 25 6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ） A． 2 3 B． 4 3 C．2 D． 7．祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后 第七位.利用随机 模拟的方法也可以估计圆周率的值，如右图程序框图中 rand( )表示产生区间[ ]0,1 上的随机数，则由此可估计 的 近似值为（ ） A． 0.001n B. 0.002n C. 0.003n D． 0.004n 8. 2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业 生产口罩，下表为某小型工厂 2-5 月份生产的口罩数（单位：万） 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 2 页 共 11 页 月份 x 2 3 4 5 口罩数 y 4.5 4 3 2.5 口罩数 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是  0.7y x a   ，则 a 的值为（ ） A．6.1 B．5.8 C．5.95 D．6.75 9．若变量 x ， y 满足约束条件 2 , 1, 1 y x x y x       ，则的 1 1 yz x   取值范围是（ ） A． 1 1, ,2 2             B． 1 3,2 2      C． 1 1,2 2     D． 1 3, ,2 2          10．设  f x 是定义在 R 上的偶函数，对任意的 xR ，都有    2 2f x f x   ，且当  2,0x  时，   1 12 x f x      ，若关于 x 的方程    log 2 0( 1)af x x a    在区间 2,6 内恰有三个不同实根，则实数 a 的 取值范围是（ ） A． 4 43, 8 B． 3 4,2 C． 4 3,2 D． 3 4,2 11．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2F F， ，过 2F 作一条直线与双曲线右支交于 A B， 两 点，坐标原点为O ，若 1 5OA c BF a，  ，则该双曲线的离心率为（ ） A． 15 2 B． 10 2 C． 15 3 D． 10 3 12．已知函数    e e cos2 x x f x x x R    ，  1,4x  ，      ln 2 2 2 2 lnf mx x f f x mx    „ ，则实 数 m 的取值范围是（ ） A． 1 2 1 1 2,2 2 n n     B． 1 1 ln 2,e 2      C． 1 2 1 2,12 2 n n    D． 1 1 2,1e 2 n    二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卷上） 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 3 页 共 11 页 13．已知抛物线 2 4x y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 到抛物线焦点的距离为 14．某校有学生 3600 人，教师 400 人，后勤职工 200 人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样的方法从中 抽取 210 人，则某位教师被抽到的概率为__________ . 15．在 ABC 中，已知 2AB  ，| | | |CA CB CA CB      ， 2cos2 2sin 12 B CA   ，则 BA  在 BC  方向上的投 影为__________. 16. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，直线 2 2y x  与圆 2 2 2 2nx y a   交于 nA ，  * nB n N 两点，且 21 4n n nS A B .若 2 1 2 32 3 2n na a a na a      对 *n N  成立，则实数  的取值范围是______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知向量  BAm cos,cos ，  bcan  2, ，且 nm // ．（1）求角 A 的大小；（2）若 4a ，求 ABC 面积的最大值． 18．（本小题满分 12 分）一年一度的“双 11”临近，淘宝电商网购平台为了提前了解成都市民在该平台的消费情 况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过 100 元的人员中随机抽取了 100 名，并绘制如图所示频率分布直方图， 已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求 ,m n 的值；（2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计，发现 消费金额不低于 300 元的男性有 20 人，低于 300 元男性有 25 人，根据统计数据完成下列 2 2 列联表，并判断是 否有99%的把握认为消费金额与性别有关？ 2 2 列联表 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 4 页 共 11 页 附：        2 2 = ,n ad bcK a b c d a c b d      其中 .n a b c d     2 0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024[来源:学科网 ZK] 6.63 5 7.879 10.828 19.在如图所示的几何体中，已知 BAC 90   ，PA  平面 ABC，AB 3 ，AC 4 ，PA 2. 若 M 是 BC 的中 点，且 PQ / /AC ， QM / / 平面 PAB． 1 求线段 PQ 的长度； 2 求三棱锥 Q AMC 的体积 V． 20.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 2 ， 1 2,F F 分别为椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点， 1 2F PF 面积的最大值为 3 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点 (4,0)A 作关于 x 轴对称的两条不同直线 1 2,l l 分别交椭圆于 1 1( , )M x y 与 2 2( , )N x y ，且 1 2x x ，求证： 直线 MN 过定点。 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 5 页 共 11 页 21.已知函数 2( ) ln 3 ( )f x x ax x a R    .（1）若函数 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2y   ，求函数 ( )f x 的 极值；（2）若 1a  ，对于任意 1 2, [1,10]x x  ，当 1 2x x 时，不等式  1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) m x xf x f x x x   恒成立，求实数 m 的取值范围. 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线 C 的参数方程为 2 2cos 2sin x y       ， （ 为参数），直线 l 的极坐标方程为 3 2sin( )4 2      ． （I）求曲线 C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若 (0,1)A ，直线l 与曲线 C 相交于不同的两点 M，N，求 1 1 | | | |AM AN  的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) | 2 | | 3|f x x ax    ． （1）当 3a  时，求不等式 ( ) 6f x  的解集； （2）若 1 2x  ，不等式 2( ) 3f x x x   恒成立，求实数 a的取值范围． 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 6 页 共 11 页 高 2018 级高三（上）11 月月考 （文科）数学参考答案 第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分） 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1-5:DBBAA; 6-10:ADCCB 11-12:BD 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卷上） 13． 5 .14．____ 1 20 _____.15．______ 3 ____.16.__ 1( , )2  ____. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、（本小题满分 12 分） 【解析】（1） nm // ，所以   0cos2cos  AbcBa ， 由正弦定理得 BAcossin   0cossinsin2  ABC ， ACABBA cossin2cossincossin    ACBA cossin2sin  ，由  CBA ， ACC cossin2sin  由于  C0 ，因此 0sin C ，所以 2 1cos A ，由于  A0 ， 3  A （6 分） （2）由余弦定理得 Abccba cos2222  bcbcbcbccb  216 22 ，因此 16bc ，当且仅当 4 cb 时，等号成立； 因此 ABC 面积 34sin2 1  AbcS ，因此 ABC 面积的最大值 34 ．（12 分） 18．（本小题满分 12 分） 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 7 页 共 11 页 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 0.01 0.0015 2 0.001 0.006m n      ， 由中间三组的人数成等差数列可知 0.0015 2m n  ，可解得 0.0035m  ， 0.0025n  （4 分） （2）周平均消费不低于 300 元的频率为 0.0035 0.0015 0.001 100 0.6   ，因此 100 人中，周平均消费不低 于 300 元的人数为100 0.6 60  人.（6 分） 所以 2 2 列联表为（8 分） 男性 女性 合计 消费金额 300³ 20 40 60 消费金额 300 25 15 40 合计 45 55 100 2 2 100(20 15 25 40) 8.249 6.63545 55 60 40K        所以有99% 的把握认为消费金额与性别有关.（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 【解析】 1 取 AB 的中点 N，连接 MN，PN， MN / /AC ，且 1MN AC 22   ， PQ / /AC ， P 、Q、M、N 确定平面 α， QM / / 平面 PAB，且平面 α平面 PAB PN ， 又 QM  平面 α， QM / /PN ，  四边形 PQMN 为平行四边形， PQ MN 2   ．（6 分）  2 取 AC 的中点 H，连接 QH， PQ / /AH ，且 PQ=AH=2， 四边形 PQHA 为平行四边形， QH / /PA ， PA  平面 ABC， QH  平面 ABC， 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 8 页 共 11 页 AMC 1 1S AC AB 32 2     （ ） ， QH PA 2  ，  三棱锥 Q AMC 的体积： AMC 1 1V S QH 3 2 23 3      ．（12 分） 20．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）设 2 2 2a b c  ，则 3 2 c a  ，设  ,P x y ，则 1 2 1 2 , 3F PF F PFS c y y b S bc      .解得 2 1 a b    .所以椭圆C 的方程为 2 2 14 x y  .（4 分） （Ⅱ）设 MN 方程为  , 0x ny m n   ， 1 1 2 2(x , ),N(x , )M y y ，联立 2 24 4 0 x ny m x y       ， 得 2 2 24 2 4 0n y nmy m     ， 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 nm my y y yn n       ，（6 分 ） 因为关于 x 轴对称的两条不同直线 1 2,l l 的斜率之和为 0， 即 1 2 1 2 04 4 y y x x    ，即 1 2 1 2 04 4 y y ny m ny m      ，（8 分） 得    1 2 1 2 1 22 4 0ny y m y y y y     ，即  2 2 2 2 2 2 4 2 8 04 4 4 n m nm nm n n n       .解得： 1m  . 直线 MN 方程为： 1x ny  ，所以直线 MN 过定点  1,0B （12 分） 21．（本小题满分 12 分） 【详解】（1）由题意得函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1( ) 2 3f x axx     由函数 ( )f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 2y   ，得 (1) 1 2 3 0f a     ，解得 1a  （2 分） 此时 2( ) ln 3f x x x x   ， 21 2 3 1( ) 2 3 x xf x xx x       .令 ( ) 0f x  ，得 1x  或 1 2x  .（3 分） 当 10, 2x     和 (1, )x  时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增，当 1 ,12x     时， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递减， 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 9 页 共 11 页 则当 1x  时，函数 ( )f x 取得极小值，为 (1) ln1 1 3 2f      ， 当 1 2x  时，函数 ( )f x 取得极大值，为 1 1 1 3 5ln ln 22 2 4 2 4f           .（5 分） （2）由 1a  得 2( ) ln 3f x x x x   . 不等式      2 1 1 2 1 2 m x xf x f x x x   可变形为    1 2 1 2 m mf x f x x x    ， 即    1 2 1 2 m mf x f xx x    因为 1 2, [1,10]x x  ，且 1 2x x ，所以函数 ( ) my f x x   在[1,10]上单调递减.（8 分） 令 2( ) ( ) ln 3 , [1,10]m mh x f x x x x xx x        ， 则 2 1( ) 2 3 0mh x xx x       在 [1,10]x 上恒成立， 即 3 22 3m x x x  „ 在 [1,10]x 上恒成立（10 分） 设 3 2( ) 2 3F x x x x    ，则 2 2 1 1( ) 6 6 1 6 2 2F x x x x            . 因为当 [1,10]x 时， ( ) 0F x  ， 所以函数 ( )F x 在[1,10]上单调递减，所以 3 2 min( ) (10) 2 10 3 10 10 1710F x F         ， 所以 1710m „ ，即实数 m 的取值范围为 ( , 1710]  .（12 分） 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 【解】（I）依题曲线 2 2 :( 2) 4C x y   ，故 2 2 4 0x y x   ，即 2 4 cos 0    ，即 4cos  ．（2 分）， 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 10 页 共 11 页 由 3 2 4 2sin        ，可得 2 2 2 2 2 2sin cos       ，即 1 0sin cos      ，（3 分） 将 x cos  ， y sin  代入上式，可得直线 l 的直角坐标方程为 1 0x y   ．（5 分） （Ⅱ）将直线 l 的参数方程 2 2 21 2 x t y t       （6 分）， 代入 2 2 4 0x y x   中，化简可得 2 3 2 1 0t t   ， 设 M，N 所对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 1 2 3 2t t   ， 1 2 1t t  ，（8 分） 故 1 2 1 2 1 1 | | | | 3 2| | | | | | | | t tAM AN AM AN AM AN t t     ．（10 分） 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 【解析】（1）当 3a  时， ( ) | 2 | 3| 1|f x x x    ，不等式 ( ) 6f x  可化为| 2 | 3| 1| 6x x    ．（1 分） ①当 2x   时，不等式可化为 2 3 3 6x x     ，即 4 5x  ，无解； ②当 2 1x   时，不等式可化为 2 3 3 6x x    ，即 2 1x  ，解得 1 12 x   ；（3 分） ③当 1x  时，不等式可化为 2 3 3 6x x    ，即 4 7x  ，解得 71 4x  ， 综上，可得 1 7 2 4x   ，故不等式 ( ) 6f x  的解集为 1 7( , )2 4  ．（5 分） （2）当 1 2x  时，不等式 2( ) 3f x x x   ，即 22 | 3| 3x ax x x      ，整理得 2| 3| 1ax x   ， 即 2 21 3 1x ax x      ，即 2 22 4x ax x     ，因为 1 2x  ，所以分离参数可得 2 4 a x x a x x        ．（8 分） 显然函数 2( )g x x x    在 1[ , )2  上单调递减，所以 1 7( ) ( )2 2g x g  ，而函数 4 4( ) 2 4h x x xx x      ，当且仅 当 4x x  ，即 2x  时取等号，所以实数 a的取值范围为 7[ ,4]2 ．（10 分） 数学（文科）“11 月月考”考试题 第 11 页 共 11 页