2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合A＝{0, a}，B＝{x|−1
1，b>1”是“lga+lgb>0”的（ ）
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
6. 如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是（ ）
A.65 B.1 C.32 D.43
7. 下列函数f(x)中，其图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数是（ ）
A.f(x)=x B.f(x)=x3 C.f(x)=ln(x+1) D.f(x)=ex−1
8. 已知点M在圆C1：(x−1)2+(y−1)2=1上，点N在圆C2：(x+1)2+(y+1)2=1上，则下列说法错误的是（ ）
A.|OM→+ON→|取值范围为[0,22brack
B.OM→*ON→的取值范围为[−3−22，0brack
C.若OM→=λON→，则实数λ的取值范围为[−3−22，−3+22brack
D.|OM→−ON→|的取值范围为[22−2，22+2brack
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
复数2i1+i=________．
已知点(2, 0)是双曲线C:x2a2−y2=1的一个顶点，则C的离心率为________．
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直线 x=2ty=t （t为参数）与曲线x=2+cosθy=sinθ （θ为参数）的公共点个数为________．
在△ABC中，若c=2，a=3，∠A=π6，则sinC=________，co s2C=________．
一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有________种不同的站队方法．
设函数f(x)=x,x≥ax3−3x,x−3的x的取值范围是________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
已知f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1．
(I)求f(π6)的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=−些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度
第一季度
第二季度
第三季度
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲地
54%
39%
46%
54%
56%
67%
64%
66%
78%
72%
72%
59%
乙地
38%
34%
31%
42%
54%
66%
69%
65%
62%
70%
a%
b%
(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖
和传播的概率；
(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空
气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
(Ⅲ)若a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．（只需写出结论）
已知三棱锥P−ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：
(Ⅰ)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(Ⅱ)求二面角A−PC−B的余弦值；
(Ⅲ)若点M在棱PC上，满足CMCP=λ，λ∈[13,23]，点N在棱BP上，且BM⊥AN，求BNBP的取值范围．
已知函数f(x)=lnxx+a．
(I)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)当a>0时，若函数f(x)的最大值为1e2，求a的值．
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且点T(2, 1)在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．
(I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．
设A=(ai,j)n×n=a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n是由1，2，3，…，n2组成的n行n列的数表（每个数恰好出现一次），n≥2且n∈N*．
若存在1≤i≤n，1≤j≤n，使得ai,j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N−数表”ai,j为数表A的一个“N−值”，
对任意给定的n，所有“N−数表”构成的集合记作Ωn．
判断下列数表是否是“N−(2)数表”．若是，写出它的一个“N−(3)值”；A=123456789，B=147825693；
(Ⅱ)求证：若数表A是“N−数表”，则A的“N−值”是唯一的；
(Ⅲ)在Ω19中随机选取一个数表A，记A的“N−值”为X，求X的数学期望E(X)．
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参考答案与试题解析
2018年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
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