2019届二轮复习函数和导数学案（全国通用）
考情速递
1 真题感悟
真题回放
1.（2018 全国Ⅰ·5)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=x
【答案】D
【解析】因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x.
由 f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f'(0)=1.故切线方程为 y=x.
2．（2018 全国卷 2）(2018 全国Ⅱ·12)已知 f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50 B.0
C.2 D.50
【答案】C
3.(2018 全国Ⅰ·21)已知函数 f(x)= -x+aln x.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:
2,令 f'(x)=0 得,x= 或 x= .
当 x∈ 时,f'(x)<0;
当 x∈ 时,f'(x)>0.所以 f(x)在 单调递减,在
单调递增.
(2)证明 由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当 a>2.
由于 f(x)的两个极值点 x1,x2 满足 x2-ax+1=0,所以 x1x2=1,不妨设 x11.
由于 =- -1+a =-2+a =-2+a ,
所以 0,则下列不等
式恒成立的是( )
A.b-a<2 B.a+2b>2
C.b-a>2 D.a+2b<2
【答案】C
提示：先判断函数 f(x)为奇偶性，再利用函数的性质去掉符号“f”，转化为关于 a、b 的不等式即可判断。
变式训练 1
.(2018 山东烟台一模)定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则使得 f(x)>f(x 2-2x+2)成立的 x 的取值
范围是( )
A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1) D.(2,+∞)
【答案】A
【解析】由题意可知 f(x)在 R 上单调递增,要使 f(x)>f(x2-2x+2)成立,只需 x>x2-2x+2,解得 11,则 x0 的取值范围是(1,+∞),故选 C. ]
变式训练 5
.(2018 河南中原名校质量考评)已知 f(x)=(x2+2ax)ln x- x2-2ax 在(0,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是
( )
A.{1} B.{-1}
C.(0,1] D.[-1,0)
【答案】B
【解析】f(x)=(x2+2ax)ln x- x2-2ax,f'(x)=2(x+a)ln x,
已知 f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,
当 x=1 时,f'(x)=0 满足题意.
当 x>1 时,ln x>0,要使 f'(x)≥0 恒成立,则 x+a≥0 恒成立,
∵x+a>1+a,∴1+a≥0,解得 a≥-1.
当 00 时,f(x)= (1+x2)+ ,
∴f(x)在(0,+∞)上递减,
∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上递增,
∴f(x)≤f(2x-1)等价于|x|≥|2x-1|,
两边平方化为 3x2-4x+1≤0, ≤x≤1, x 的取值范围是 ,故选 C.
5. 已知函数 y=f（x）的图象如图，则 f′（xA）与 f′（xB）的大小关系是（ ）
1
2
log
1
2
log
A．f′（xA）＞f′（xB） B．f′（xA）＜f′（xB） C．f′（xA）=f′（xB） D．不能确定
【答案】B
【解析】由图象可知函数在 A 处的切线斜率小于 B 处的切线斜率，∴根据导数的几何意义可知 f′（xA）＜f′
（xB），故选：B．
6. （2018•蚌埠一模）已知 k，b∈R，设直线 l：y=kx+b 是曲线 y=ex+x 的一条切线，则（ ）
A．k＜1，且 b≤1B．k＜1，且 b≥1C．k＞1，且 b≤1D．k＞1，且 b≥1
【答案】C
【解析】曲线 y=ex+x 的导数为：y′=ex+1＞1，可知 k＞1；直线 l：y=kx+b 在 y 轴上的截距为 b，曲线
y=ex+x，x=0 时，y=1，可知 b≤1．故选：C．
7. 定义在 R 上的偶函数 f（x）的导函数为 f （x），若对任意的实数 x，都有 2f（x）+xf （x）＜2 恒成立，
则使 x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1 成立的实数 x 的取值范围为（ ）
A．{x|x≠±1}B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】B
【解析】当 x＞0 时，由 2f（x）+xf′（x）﹣2＜0 可知：两边同乘以 x 得：
2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0 | |k ]
设：g（x）=x2f（x）﹣x2，则 g （x）=2xf（x）+x2f （x）﹣2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由 x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1
∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1，即 g（x）＜g（1），即 x＞1；
当 x＜0 时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1
综上可知：实数 x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B
8. 已知函数 f（x）=x2+2x+alnx，若函数 f（x）在（0，1）上单调，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a＜﹣4 C．a≥0 或 a≤﹣4 D．a＞0 或 a＜﹣4
【答案】C
【解析】由 f（x）=x2+2x+alnx，所以 ，
若函数 f（x）在（0，1）上单调，则当 x∈（0，1）时，f′（x）≥0 或 f′（x）≤0 恒成立，
即 2x2+2x+a≥0①，或 2x2+2x+a≤0②在（0，1）上恒成立，
由①得，a≥﹣2x2﹣2x，由②得，a≤﹣2x2﹣2x，
因为 y=﹣2x2﹣2x 的图象开口向下，且对称轴为 ，所以在（0，1）上，ymax=0，ymin=﹣4 所以 a 的范围
′ ′
′ ′
是 a≥0 或 a≤﹣4．故选 C．
9. （2018•资阳模拟）已知函数 f（x）=lnx，它在 x=x0 处的切线方程为 y=kx+b，则 k+b 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
【答案】D
【解析】根据题意，函数 f（x）=lnx，其导数为 f′（x）= ，则有 f′（x0）= ，即 k= ，又由切点的坐
标为（x0，lnx0），则切线的方程为 y﹣lnx0=k（x﹣x0），
变形可得：y=kx﹣kx0+lnx0，则有 b=lnx0﹣1，则 k+b=（lnx0﹣1）+ ，
设 g（x）=（lnx﹣1）+ ，则有 g′（x）= ﹣ = ，
分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上为减函数，
在（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数，
则 g（x）的最小值 g（1）=0，则有 k+b=（lnx0﹣1）+ ≥0，
即 k+b 的取值范围是[0，+∞）；故选：D．
10 (2018 山东菏泽一模)已知函数 f(x)=x3-ax+2 的极大值为 4,若函数 g(x)=f(x)+mx 在(-3,a-1)上的极小值不大
于 m-1,则实数 m 的取值范围是( )
A. -9,- B. -9,-
C. - ,+∞ D.(-∞,-9)
【答案】B
【解析】∵f'(x)=3x2-a,当 a≤0 时,f'(x)≥0,f (x)无极值;当 a>0 时,易得 f(x)在 x=- 处取得极大值,则有 f -
=4,即 a=3,于是 g(x)=x3+(m-3)x+2,g'(x)=3x2+(m-3).
当 m-3≥0 时,g'(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.
当 m-3<0 时,易知 g(x)在 x= 处取得极小值,
依题意有 解得-9 ;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.
其中正确的命题是 .(填出所有正确命题的序号)
【答案】①③