2018届二轮复习等比数列及其前n项和课件（文）（江苏专用）

2018届二轮复习等比数列及其前n项和课件（文）（江苏专用）

§6.3 　等比数列及其前 n 项和 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 等比数列的定义 一般地，如果一个 数列 ___________________________________________ ， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的 ， 通 常用 字母 表示 ( q ≠ 0). 2. 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q ，则它的通项 a n ＝ . 3. 等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的 . 知识梳理 从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一个常数 公比 q a 1 · q n － 1 等比中项 4. 等比数列的常用性质 (1) 通项公式的推广： a n ＝ a m · ( n ， m ∈ N * ). (2) 若 { a n } 为等比数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N * ) ， 则 . (3) 若 { a n } ， { b n }( 项数相同 ) 是等比数列，则 { λa n }( λ ≠ 0) ， 仍是 等比数列 . 5. 等比数列的前 n 项和公式 等比数列 { a n } 的公比为 q ( q ≠ 0) ，其前 n 项和为 S n ， 当 q ＝ 1 时， S n ＝ na 1 ； 当 q ≠ 1 时， S n ＝ q n － m a k · a l ＝ a m · a n 6. 等比数列前 n 项和的性质 公比不为－ 1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 仍成等比数列，其公比 为 . q n 等比数列 { a n } 的单调性 ( 4) 当 q <0 时， { a n } 为摆动数列 . 知识拓展 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 满足 a n ＋ 1 ＝ qa n ( n ∈ N * ， q 为常数 ) 的数列 { a n } 为等比数列 .( 　　 ) (2) G 为 a ， b 的等比中项 ⇔ G 2 ＝ ab .( 　　 ) (3) 如果数列 { a n } 为等比数列， b n ＝ a 2 n － 1 ＋ a 2 n ，则数列 { b n } 也是 等比数列 . ( 　　 ) (4) 如果数列 { a n } 为等比数列，则数列 {ln a n } 是等差数列 .( 　　 ) × × × × 考点自测 1.( 教材改编 ) 等比数列 { a n } 中， a 2 ＝ 2 ， a 5 ＝ ， 则公比 q ＝ ___. 答案 解析 a 2 ＝ a 1 q ＝ 2 ， a 5 ＝ a 1 q 4 ＝ ， 2.( 教材改编 ) 下列关于 “ 等比中项 ” 的说法中，正确的 是 ____( 填序号 ). ① 任何两个实数都有等比中项； ② 两个正数的等比中项必是正数； ③ 两个负数的等比中项不存在； ④ 同号两数必存在互为相反数的两个等比中项 . 答案 解析 ④ ① 一正数、一负数没有等比中项； ② 两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负； ③ 两个负数 a ， b 的等比中项为 ± ； 所以 ① 、 ② 、 ③ 错误，易知 ④ 正确 . 3. 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 2 ＝ 3 ， S 4 ＝ 15 ，则 S 6 ＝ ____. 根据题意知，等比数列 { a n } 的公比不是－ 1 . 由 等比数列的性质，得 ( S 4 － S 2 ) 2 ＝ S 2 ·( S 6 － S 4 ) ， 即 12 2 ＝ 3 × ( S 6 － 15) ，解得 S 6 ＝ 63 . 答案 解析 63 4.( 教材改编 ) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 ＝ 1 ， S 6 ＝ 4 S 3 ，则 a 4 ＝ ___. 由 S 6 ＝ 4 S 3 ， 答案 解析 3 所以 q 3 ＝ 3( q 3 ＝ 1 不合题意，舍去 ) ， 所以 a 4 ＝ a 1 · q 3 ＝ 1 × 3 ＝ 3. 5. 设 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和， 8 a 2 ＋ a 5 ＝ 0 ， 则 ＝ _____. 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， ∵ 8 a 2 ＋ a 5 ＝ 0 ， ∴ 8 a 1 q ＋ a 1 q 4 ＝ 0. ∴ q 3 ＋ 8 ＝ 0 ， ∴ q ＝－ 2 ， 答案 解析 － 11 题型分类　深度剖析 题型一　等比数列基本量的运算 例 1 　 (1)(2015· 课标全国 Ⅱ ) 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ＝ ， a 3 a 5 ＝ 4( a 4 － 1) ， 则 a 2 ＝ ____. 由 { a n } 为等比数列，得 a 3 a 5 ＝ ， 又 a 3 a 5 ＝ 4( a 4 － 1) ， 所以 ＝ 4( a 4 － 1) ， 解得 a 4 ＝ 2. 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 则由 a 4 ＝ a 1 q 3 ，得 2 ＝ ， 解得 q ＝ 2 ， 所以 a 2 ＝ a 1 q ＝ . 答案 解析 (2) 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 ＋ a 3 ＝ ， a 2 ＋ a 4 ＝ ，则 ＝ ______. 答案 解析 2 n － 1 解得 q ＝ ，代入 ① 得 a 1 ＝ 2 ， 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a 1 ， n ， q ， a n ， S n ，一般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 ( 组 ) 可迎刃而解 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1) 设 { a n } 是由正数组成的等比数列， S n 为其前 n 项和 . 已知 a 2 a 4 ＝ 1 ， S 3 ＝ 7 ，则 S 5 ＝ ___. 答案 解析 显然公比 q ≠ 1 ，由题意得 (2)(2015· 湖南 ) 设 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和，若 a 1 ＝ 1 ，且 3 S 1, 2 S 2 ， S 3 成等差数列，则 a n ＝ _____. 由 3 S 1, 2 S 2 ， S 3 成等差数列知， 4 S 2 ＝ 3 S 1 ＋ S 3 ， 可得 a 3 ＝ 3 a 2 ，所以公比 q ＝ 3 ， 故等比数列通项 a n ＝ a 1 q n － 1 ＝ 3 n － 1 . 答案 解析 3 n － 1 题型二　等比数列的判定与证明 例 2 　 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n ＝ ( n － 1) S n ＋ 2 n ( n ∈ N * ). (1) 求 a 2 ， a 3 的值； ∵ a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n ＝ ( n － 1) S n ＋ 2 n ( n ∈ N * ) ， ∴ 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 × 1 ＝ 2 ； 当 n ＝ 2 时， a 1 ＋ 2 a 2 ＝ ( a 1 ＋ a 2 ) ＋ 4 ， ∴ a 2 ＝ 4 ； 当 n ＝ 3 时， a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＝ 2( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＋ 6 ， ∴ a 3 ＝ 8. 综上， a 2 ＝ 4 ， a 3 ＝ 8. 解答 (2) 求证：数列 { S n ＋ 2} 是等比数列 . ∵ a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n ＝ ( n － 1) S n ＋ 2 n ( n ∈ N * ) ， ① ∴ 当 n ≥ 2 时， a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ ( n － 1) a n － 1 ＝ ( n － 2) S n － 1 ＋ 2( n － 1). ② ① － ② ，得 na n ＝ ( n － 1) S n － ( n － 2) S n － 1 ＋ 2 ＝ n ( S n － S n － 1 ) － S n ＋ 2 S n － 1 ＋ 2 ＝ na n － S n ＋ 2 S n － 1 ＋ 2. ∴ － S n ＋ 2 S n － 1 ＋ 2 ＝ 0 ，即 S n ＝ 2 S n － 1 ＋ 2 ， ∴ S n ＋ 2 ＝ 2( S n － 1 ＋ 2). ∵ S 1 ＋ 2 ＝ 4 ≠ 0 ， ∴ S n － 1 ＋ 2 ≠ 0 ， 证明 故 { S n ＋ 2} 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 . (1) 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 . (2) 利用递推关系时要注意对 n ＝ 1 时的情况进行验证 . 思维 升华 跟踪训练 2 　已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 1. (1) 证明： { a n ＋ } 是等比数列，并求 { a n } 的通项公式； 证明 由 a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 1 ，得 a n ＋ 1 ＋ ＝ 3( a n ＋ ). 所以 { a n ＋ } 是首项 为 ， 公比为 3 的等比数列 . 证明 因为当 n ≥ 1 时， 3 n － 1 ≥ 2 × 3 n － 1 ， 题型三　等比数列性质的应用 例 3 　 (1) 若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2e 5 ，则 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ____. 因为 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2 a 10 a 11 ＝ 2e 5 ， 所以 a 10 a 11 ＝ e 5 . 所以 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ln( a 1 a 2 … a 20 ) ＝ ln[( a 1 a 20 )·( a 2 a 19 )· … ·( a 10 a 11 )] ＝ ln( a 10 a 11 ) 10 ＝ 10ln( a 10 a 11 ) ＝ 10ln e 5 ＝ 50ln e ＝ 50 . 答案 解析 50 (2) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 ，则 ＝ ____. 答案 解析 方法一　 ∵ S 6 ∶ S 3 ＝ 1 ∶ 2 ， ∴ { a n } 的公比 q ≠ 1. 方法二　 ∵ { a n } 是等比数列， 且 ， ∴ 公比 q ≠ － 1 ， ∴ S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 也成等比数列，即 ( S 6 － S 3 ) 2 ＝ S 3 ·( S 9 － S 6 ) ， 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1) 通项公式的变形 . (2) 等比中项的变形 . (3) 前 n 项和公式的变形 . 根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1) 已知在等比数列 { a n } 中， a 1 a 4 ＝ 10 ，则数列 {lg a n } 的前 4 项 和等于 ____. 前 4 项和 S 4 ＝ lg a 1 ＋ lg a 2 ＋ lg a 3 ＋ lg a 4 ＝ lg( a 1 a 2 a 3 a 4 ) ， 又 ∵ 等比数列 { a n } 中， a 2 a 3 ＝ a 1 a 4 ＝ 10 ， ∴ S 4 ＝ lg 100 ＝ 2 . 答案 解析 2 (2)(2016 · 南通一 调 ) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 2 ＝ 3 ， S 4 ＝ 15 ，则 S 6 的值为 _____. 答案 解析 方法一　由等比数列的性质得， q 2 ＝ ＝ 4 ，所以 q ＝ ±2 . 方法二　由 S 2 ， S 4 － S 2 ， S 6 － S 4 成等比数列可得 ( S 4 － S 2 ) 2 ＝ S 2 ( S 6 － S 4 ) ，所以 S 6 ＝ 63 . 63 典例 　 (14 分 ) 已知首项 为 的 等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ，且－ 2 S 2 ， S 3 ， 4 S 4 成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (1) 利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式 . (2) 求出前 n 项和，根据函数的单调性证明 . 分类 讨论思想在等比数列中的应用 思想与方法系列 13 规范解答 思想方法指 导 ( 1) 解 　 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 因为－ 2 S 2 ， S 3, 4 S 4 成等差数列， 所以 S 3 ＋ 2 S 2 ＝ 4 S 4 － S 3 ，即 S 4 － S 3 ＝ S 2 － S 4 ， 可得 2 a 4 ＝－ a 3 ，于是 q ＝＝ . [ 2 分 ] 又 a 1 ＝ ， 所以等比数列 { a n } 的通项公式为 (2) 证明 　 由 (1) 知， S n ＝ ， 当 n 为奇数时， S n ＋ 随 n 的增大而减小， 当 n 为偶数时， S n ＋ 随 n 的增大而减小， 课时作业 1.( 教材改编 ){ a n } ， { b n } 都是等比数列，那么下列正确的序号 是 _ __ ___. ① { a n ＋ b n } ， { a n · b n } 都一定是等比数列； ② { a n ＋ b n } 一定是等比数列，但 { a n · b n } 不一定是等比数列； ③ { a n ＋ b n } 不一定是等比数列，但 { a n · b n } 一定是等比数列； ④ { a n ＋ b n } ， { a n · b n } 都不一定是等比数列 . { a n ＋ b n } 不一定是等比数列，如 a n ＝ 1 ， b n ＝－ 1 ， 因为 a n ＋ b n ＝ 0 ，所以 { a n ＋ b n } 不是等比数列 . 设 { a n } ， { b n } 的公比分别为 p ， q ， 答案 解析 ③ 所以 { a n · b n } 一定是等比数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2016· 江苏东海中学月考 ) 在由正数组成的等比数列 { a n } 中，若 a 4 a 5 a 6 ＝ 3 ， log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ log 3 a 8 ＋ log 3 a 9 的值 为 ___. 答案 解析 ∴ log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ log 3 a 8 ＋ log 3 a 9 ＝ log 3 a 1 a 2 a 8 a 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 在正项等比数列 { a n } 中，已知 a 1 a 2 a 3 ＝ 4 ， a 4 a 5 a 6 ＝ 12 ， a n － 1 a n a n ＋ 1 ＝ 324 ，则 n ＝ _____. 答案 解析 14 设数列 { a n } 的公比为 q ， 可得 q 9 ＝ 3 ， a n － 1 a n a n ＋ 1 ＝ ＝ 324 ， 因此 q 3 n － 6 ＝ 81 ＝ 3 4 ＝ q 36 ， 所以 n ＝ 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2016· 扬州模拟 ) 在等比数列 { a n } 中，若 a 3 ， a 7 是方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 2 ＝ 0 的两根，则 a 5 的值是 _____. 根据根与系数之间的关系得 a 3 ＋ a 7 ＝－ 4 ， a 3 a 7 ＝ 2 ，由 a 3 ＋ a 7 ＝－ 4<0 ， a 3 a 7 >0 ， 所以 a 3 <0 ， a 7 <0 ，即 a 5 <0 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 已知数列 { a n } 满足 log 3 a n ＋ 1 ＝ log 3 a n ＋ 1 ( n ∈ N * ) ，且 a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ＝ 9 ，则 ( a 5 ＋ a 7 ＋ a 9 ) 的值是 ____. 答案 解析 由 log 3 a n ＋ 1 ＝ log 3 a n ＋ 1 ( n ∈ N * ) ， 得 log 3 a n ＋ 1 － log 3 a n ＝ 1 ， 即 ＝ 1 ， 解 得 ＝ 3 ，所以数列 { a n } 是公比为 3 的等比数列 . 因为 a 5 ＋ a 7 ＋ a 9 ＝ ( a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ) q 3 ， 所以 a 5 ＋ a 7 ＋ a 9 ＝ 9 × 3 3 ＝ 3 5 . 所以 － 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.( 2017· 盐城检测 ) 在由正数组成的等比数列 { a n } 中，若 a 3 a 4 a 5 ＝ 3 π ， 则 sin(log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ … ＋ log 3 a 7 ) 的值为 _____. 答案 解析 log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ … ＋ log 3 a 7 ＝ log 3 ( a 1 a 2 … a 7 ) 所以 sin(log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ … ＋ log 3 a 7 ) ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 设 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和，已知 3 S 3 ＝ a 4 － 2 ， 3 S 2 ＝ a 3 － 2 ，则公比 q ＝ _____. 答案 解析 4 由 ① － ② ，得 3 a 3 ＝ a 4 － a 3 ，即 4 a 3 ＝ a 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2016· 南京调研 ) 设公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S 3 ＝ ， 且 S 1 ， S 2 ， S 4 成等比数列，则 a 10 ＝ _____. 答案 解析 设 等差数列 { a n } 的公差为 d ( d ≠ 0) ，因为 S 1 ， S 2 ， S 4 成等比数列 ， 所以 ＝ S 1 S 4 ， 从而 (2 a 1 ＋ d ) 2 ＝ a 1 (4 a 1 ＋ 6 d ) ，整理得 2 a 1 d － d 2 ＝ 0 ， 因为 d ≠ 0 ，所以 d ＝ 2 a 1 ， 又因为 S 3 ＝ ， 所以 3 a 1 ＋ 3 d ＝ ( a 1 ＋ d ) 2 ， 将 d ＝ 2 a 1 代入上式得 3 a 1 ＋ 6 a 1 ＝ ( a 1 ＋ 2 a 1 ) 2 ， 即 9 a 1 ＝ ， 解之得 a 1 ＝ 1( a 1 ＝ 0 舍 ) ，从而 d ＝ 2 ，所以 a 10 ＝ 1 ＋ 9 × 2 ＝ 19 . 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *9. 已知正项等比数列 { a n } 满足 a 2 015 ＝ 2 a 2 013 ＋ a 2 014 ，若存在两项 a m ， a n ， 使得 ＝ 4 a 1 ， 则 的 最小值为 ____. 答案 解析 设 { a n } 的公比为 q ( q >0) ，由正项等比数列 { a n } 满足 a 2 015 ＝ 2 a 2 013 ＋ a 2 014 ， 可得 a 2 013 · q 2 ＝ 2 a 2 013 ＋ a 2 013 · q ， ∴ q 2 － q － 2 ＝ 0 ， ∵ q >0 ， ∴ q ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2016· 苏锡常镇一调 ) 设数列 { a n } 是首项为 1 ，公差不为零的等差数列， S n 为其前 n 项和，若 S 1 ， S 2 ， S 4 成等比数列，则数列 { a n } 的公差为 ____. 设公差为 d ，其中 d ≠ 0 ，则 S 1 ， S 2 ， S 4 分别为 1,2 ＋ d, 4 ＋ 6 d . 由 S 1 ， S 2 ， S 4 成等比数列，得 (2 ＋ d ) 2 ＝ 4 ＋ 6 d ， 即 d 2 ＝ 2 d . 因为 d ≠ 0 ，所以 d ＝ 2. 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *11.(2016· 苏北四市期末 ) 已知各项均为正数的数列 { a n } 的首项 a 1 ＝ 1 ， S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且满足 a n S n ＋ 1 － a n ＋ 1 S n ＋ a n － a n ＋ 1 ＝ λa n a n ＋ 1 ( λ ≠ 0 ， n ∈ N * ). (1) 若 a 1 ， a 2 ， a 3 成等比数列，求实数 λ 的值； 解答 令 n ＝ 1 ，得 a 2 ＝ . 令 n ＝ 2 ，得 a 2 S 3 － a 3 S 2 ＋ a 2 － a 3 ＝ λa 2 a 3 ， 因为 λ ≠ 0 ，所以 λ ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若 λ ＝ ， 求 S n . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当 λ ＝ 时， a n S n ＋ 1 － a n ＋ 1 S n ＋ a n － a n ＋ 1 ＝ a n a n ＋ 1 ， 所以数列 { } 是以 2 为首项 ， 为 公差的等差数列， 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＋ 1 ＝ ( ＋ 1) a n － 1 ， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知 { a n } 是等差数列，满足 a 1 ＝ 3 ， a 4 ＝ 12 ，数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 4 ， b 4 ＝ 20 ，且 { b n － a n } 是等比数列 . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； 设等差数列的公差为 d ， 所以 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 3 n ( n ∈ N * ). 设等比数列 { b n － a n } 的公比为 q ， 所以 b n － a n ＝ ( b 1 － a 1 ) q n － 1 ＝ 2 n － 1 . 从而 b n ＝ 3 n ＋ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 求数列 { b n } 的前 n 项和 . 由 (1) 知 b n ＝ 3 n ＋ 2 n － 1 ( n ∈ N * ) ， 数列 {3 n } 的前 n 项和 为 n ( n ＋ 1) ， 数列 {2 n － 1 } 的前 n 项和为 1 × ＝ 2 n － 1. 所以数列 { b n } 的前 n 项和 为 n ( n ＋ 1) ＋ 2 n － 1 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.( 2016· 全国丙卷 ) 已知各项都为正数的数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， － ( 2 a n ＋ 1 － 1) a n － 2 a n ＋ 1 ＝ 0. (1) 求 a 2 ， a 3 ； 解答 (2) 求 { a n } 的通项公式 . 解答 由 － (2 a n ＋ 1 － 1) a n － 2 a n ＋ 1 ＝ 0 ，得 2 a n ＋ 1 ( a n ＋ 1) ＝ a n ( a n ＋ 1 ). 因为 { a n } 的各项都为正数， 所以 故 { a n } 是首项为 1 ，公比 为 的 等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(2016· 淮安模拟 ) 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和是 S n ， S 18 ∶ S 9 ＝ 7 ∶ 8. (1) 求证： S 3 ， S 9 ， S 6 依次成等差数列； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 若 q ＝ 1 ，则 S 18 ＝ 18 a 1 ， S 9 ＝ 9 a 1 ， S 18 ∶ S 9 ＝ 2 ∶ 1 ≠ 7 ∶ 8 ， ∴ q ≠ 1. ∴ S 3 ， S 9 ， S 6 依次成等差数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) a 7 与 a 10 的等差中项是不是数列 { a n } 中的项？如果是，是 { a n } 中的第几项？如果不是，请说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设 a 7 与 a 10 的等差中项是数列 { a n } 中的第 n 项 ， 则 化简得 ∴ a 7 与 a 10 的等差中项是数列 { a n } 中的第 13 项 .