2018届二轮复习 数学思想方法课件（全国通用）
专题二 数学思想方法
概述
数学思想方法既是思想也是方法
,“
思想”是统领全局的总纲
,“
方法”是可以具体操作的解题方法
,“
思想”与“方法”是密不可分的整体
.
数学思想方法是在长期的数学学习和研究中逐渐形成的
.
数学思想方法是数学的灵魂
,
是学习数学、研究数学的指导思想
.
高考试题重视对数学思想方法的考查
,
重点体现在使用数学思想方法提供的方法解题以及指导解题方面
,
在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法
.
1.
函数思想的核心是选用变量建立求解目标的函数关系式
,
通过函数性质的研究得出问题的答案
;
方程思想的核心是建立求解目标的方程
(
组
),
通过解方程
(
组
)
得出问题的答案
.
函数思想是动态的
,
方程思想是静态的
.
2.
数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面
.
重点是研究“以形助数”
,
这在解选择题、填空题中更显其优越
,
要注意培养这种思想意识
,
做到心中有图
,
见数想图
,
以开拓自己的思维视野
.
3.
化归思想是根据熟知的数学结论和已经掌握的数学题目解法
,
把数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、化复杂为简单的解决问题的思想方法
;
转化思想是根据熟知的数学结论和已经掌握的数学题目解法
,
把数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解决问题的思想方法
.
化归转化思想的实质是“化不能为可能”
,
使用化归转化思想需要有数学知识和解题经验的积累
.
4.
分类思想是解答数学问题时
,
按照问题的不同发展方向分别进行解决的思想方法
;
整合思想是把一个问题中各个解决的部分
,
进行合并、提炼得出整体结论的思想方法
.
利用分类与整合思想的解题过程是“合
—
分
—
合”
.
高考以解答题的方式考查分类与整合思想
,
主要是函数导数解答题、概率解答题和解析几何解答题
.
策略一 函数与方程思想
方法
1
函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用
【
例
1】
(2017
·
河北唐山二模
)
已知
f(x)
是定义在
R
上的可导函数
,
且满足
(x+2)f(x)+xf′(x)>0,
则
(
)
(A)f(x)>0 (B)f(x)<0
(C)f(x)
为减函数
(D)f(x)
为增函数
解析
:
(
构造函数
)
令
g(x)=x
2
f(x)e
x
,
g′(x)=2xf(x)e
x
+x
2
f′(x)e
x
+x
2
f(x)e
x
=xe
x
[(x+2)f(x)+xf′(x)],
因为
(x+2)f(x)+xf′(x)>0,
所以当
x>0
时
,g′(x)>0,
函数
g(x)
单调递增
,
当
x<0
时
,g′(x)<0,
函数
g(x)
单调递减
,
故
g(x)=x
2
f(x)e
x
>g(0)=0,
即
f(x)>0.
故选
A.
【
思维建模
】
函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化
,
把不等式转化为函数
,
借助函数的图象和性质可解决相关的问题
,
常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题
.
一般利用函数思想构造新函数
,
建立函数关系求解
.
强化训练
1
:(2017
·
山西三区八校二模
)
定义在
R
上的奇函数
f(x)
的导函数满足
f′(x)
0,
解得
q=2.
所以
b
n
=2
n
.
由
b
3
=a
4
-2a
1
,
可得
3d-a
1
=8,①
由
S
11
=11b
4
,
可得
a
1
+5d=16,②
联立①②
,
解得
a
1
=1,d=3,
由此可得
a
n
=3n-2.
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=3n-2,
数列
{b
n
}
的通项公式为
b
n
=2
n
.
(2)
求数列
{a
2n
b
2n-1
}
的前
n
项和
(n∈
N
*
).
【
思维建模
】
利用函数与方程的思想解决数列中的前
n
项和或参数问题
数列的通项与前
n
项和是自变量为整数的函数
,
可用函数的观点去处理数列问题
,
常涉及最值问题或参数范围问题
,
一般利用二次函数或一元二次方程来解决
.
(1)
求数列
{b
n
}
的通项公式
b
n
以及
T
n
;
(2)
若
T
1
+T
3
,mT
2
,3(T
2
+T
3
)
成等差数列
,
求实数
m
的值
.
方法
3
函数与方程思想在解析几何中的应用
(1)
求椭圆
C
的标准方程
;
(2)
设
F
1
,F
2
分别为椭圆
C
的左、右焦点
,
过
F
2
的直线
l
与椭圆
C
交于不同两点
M,N,
记△
F
1
MN
的内切圆的面积为
S,
求当
S
取最大值时直线
l
的方程
,
并求出最大值
.
【
思维建模
】
函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中有关的求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决,求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决.
策略二 数形结合思想
方法
1
利用数形结合思想研究函数零点、方程的根
【
例
4】
(2017
·
江西上饶一模
)
已知
f(x)
是定义域为
(0,+∞)
的单调函数
,
若对任意的
x∈(0,+∞),
都有
f[f(x)+ x]=4,
且方程
|f(x)-3|=x
3
-6x
2
+9x-4+a
在区间
[0,3]
上有两解
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
(A)(0,5] (B)(-∞,5)
(C)(0,5) (D)[5,+∞)
【
思维建模
】
利用数形结合思想解决方程的根、函数零点问题
利用数形结合的思想可以解决方程解的个数
,
函数零点的个数
,
或已知方程解的个数
(
或函数零点的个数
)
求其中参数的取值范围等问题
.
强化训练
3
:(2017
·
河北保定市模拟
)
已知函数
f(x)=
若函数
y=f(x)-a|x|
恰有
4
个零点
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)(1,3)
解析
:
函数
y=f(x)-a|x|
恰有
4
个零点
,
须
y
1
=f(x)
与
y
2
=a|x|
的图象有
4
个不同的交点
.
如图所示
.
由图可知
,
当
y
2
=-ax(x<0)
与
y
1
=-x
2
-5x-4(-4f(a),
则实数
a
的取值范围是
(
)
(A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析
:
(1)
因为
f(x)
是奇函数
,
所以当
x<0
时
,f(x)=-x
2
+2x.
作出函数
f(x)
的大致图象
(
如图中实线所示
),
结合图象可知
f(x)
是
R
上的增函数
,
由
f(2-a
2
)>f(a),
得
2-a
2
>a,
解得
-20
时
,f(x)
是周期函数
,
如图所示
.
若方程
f(x)=x+a
有两个不同的实数根
,
则函数
f(x)
的图象与直线
y=x+a
有两个不同交点
,
故
a<1,
即
a
的取值范围是
(-∞,1).
故选
A.
答案
:
(1)A
解析
:
(2)
如图作出函数
f(x)=|x+a|
与
g(x)=x-1
的图象
,
观察图象可知
,
当且仅当
-a≤1,
即
a≥-1
时
,
不等式
f(x)≥g(x)
恒成立
,
因此
a
的取值范围是
[-1,+∞).
(2)
设函数
f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,
对于任意的
x∈
R
,
不等式
f(x)≥g(x)
恒成立
,
则实数
a
的取值范围是
.
答案
:
(2)[-1,+∞)
策略三 转化与化归思想
方法
1
特殊与一般的转化
【
例
7】
(1)
设
f(x)
是奇函数
,
对任意的实数
x,y,
有
f(x+y)=f(x)+f(y),
且当
x>0
时
,f(x)<
0,
则
f(x)
在区间
[a,b]
上
(
)
解析
:
(1)
法一
因为
f(x)
是奇函数
,
且对任意的实数
x,y,
有
f(x+y)=f(x)+f(y),
则
f(0)=0,
当
x>0
时
,f(x)<0,
则当
x<0
时
,f(x)>0,
对任意
x
1
,x
2
∈
R
,f(x+y)=f(x)+f(y),
当
x
1
0,
即
f(x
1
)-f(x
2
)>0,
故
f(x)
在
R
上是减函数
,
故
f(x)
在区间
[a,b]
上有最大值
f(a).
故选
B.
法二
(
构造函数
)f(x)=-x
显然符合题中条件
,
易得
f(x)=-x
在区间
[a,b]
上有最大值
f(a).
故选
B.
【
思维建模
】
化一般为特殊的应用
把一般问题特殊化
,
解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果
,
既准确又迅速
.
要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量
.
强化训练
6
:(1)
(2017
·
甘肃兰州一诊
)
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
若
a
3
+a
5
+a
7
=24,
则
S
9
等于
(
)
(A)36 (B)72 (C)144 (D)288
方法
2
函数、方程、不等式之间的转化
【
例
8】
(2017
·
湖南长沙模拟
)
若对任意的
x∈[0,1],
总存在唯一的
y∈[-1,1],
使得
x+y
2
e
y
-a=0
成立
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
【
思维建模
】
函数、方程与不等式相互转化的应用
函数、方程与不等式就像
“
一胞三兄弟
”
,
解决方程、不等式的问题需要函数帮助
,
解决函数的问题需要方程、不等式的帮助
,
因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简
,
一般可将不等关系问题转化为最值
(
值域
)
问题
,
从而求出参变量的范围
.
强化训练
7
:(2017
·
山西五市联考
)
设二次函数
f(x)=ax
2
+bx+c(a,b,c
为常数
)
的导函数为
f′(x),
对任意
x∈
R
,
不等式
f(x)≥f′(x)
恒成立
,
则 的最大值为
.
方法
3
正难则反的转化
(2)
(2017
·
广东广州一模
)
四个人围坐在一张圆桌旁
,
每个人面前都放着一枚完全相同的硬币
,
所有人同时抛掷自己的硬币
.
若硬币正面朝上
,
则这个人站起来
;
若硬币正面朝下
,
则这个人继续坐着
.
那么没有相邻的两个人站起来的概率为
(
)
【
思维建模
】
转化化归思想遵循的原则
(1)
熟悉化原则
:
将陌生的问题转化为我们熟悉的问题
.
(2)
简单化原则
:
将复杂的问题通过变换转化为简单的问题
.
(3)
直观化原则
:
将较抽象的问题转化为比较直观的问题
(
如数形结合思想
,
立体几何问题向平面几何问题转化
).
(4)
正难则反原则
:
若问题直接求解困难时
,
可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题
.
强化训练
8
:(1)
若命题“∃
x
0
∈
R
,
使得
+mx
0
+2m-3<0”
为假命题
,
则实数
m
的取值范围是
(
)
(A)[2,6] (B)[-6,-2]
(C)(2,6) (D)(-6,-2)
(2)
在某个微信群里一次抢红包活动中
,
若所发红包的总金额为
10
元
,
被随机分配为
1.49
元、
1.81
元、
2.19
元、
3.41
元、
0.62
元、
0.48
元
,
共
6
份
,
供甲、乙等
6
人抢
,
则甲、乙二人抢到的金额之和低于
4
元的概率是
(
)
策略四 分类讨论思想
方法
1
由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
【
例
10】
(1)
(2017
·
江西师范附属中学模拟
)
已知函数
f(x)=
若
f(2-a)=1,
则
f(a)
等于
(
)
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
解析
:
(1)①
当
2-a≥2,
即
a≤0
时
,2
2-a-2
-1=1,
解得
a=-1,
则
f(a)=f(-1)=-log
2
[3-(-1)]=-2;
②当
2-a<2
即
a>0
时
,-log
2
[3-(2-a)]=1,
解得
a=- ,
舍去
.
所以
f(a)=-2.
故选
D.
答案
:
(1)D
(2)
(2017
·
安徽阜阳二模
)
等比数列
{a
n
}
中
,a
1
+a
4
+a
7
=2,a
3
+a
6
+a
9
=18,
则
{a
n
}
的前
9
项和
S
9
=
.
解析
:
(2)
由题意得
q
2
= =9,q=±3,
①
当
q=3
时
,a
2
+a
5
+a
8
=3(a
1
+a
4
+a
7
)=6,S
9
=2+6+18=26;
②当
q=-3
时
,a
2
+a
5
+a
8
=-3(a
1
+a
4
+a
7
)=-6,S
9
=2-6+18=14.
所以
S
9
=14
或
26.
答案
:
(2)14
或
26
【
思维建模
】
数学概念运算公式中常见的分类
(1)
由二次函数、指数函数、对数函数的定义
,
直线的倾斜角
,
向量的夹角的范围等引起分类讨论
.
(2)
由除法运算中除数不为零
,
不等式两边同乘以
(
或除以
)
同一个数
(
或式
)
时的不等号等引起分类讨论
.
(3)
由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论
.
强化训练
9
:(1)
(2017
·
辽宁沈阳期末
)
f(x)
是定义在
R
上的函数
,
满足
f(x)=f(-x),
且
x≥0
时
,f(x)=x
3
,
若对任意的
x∈[2t-1,2t+3],
不等式
f(3x-t)≥8f(x)
恒成立
,
则实数
t
的取值范围是
.
解析
:
(1)f(x)
是定义在
R
上的偶函数
,f(x)=x
3
,
在
x>0
上为单调增函数
,
f(3x-t)≥8f(x)=8x
3
=f(2x),|3x-t|≥|2x|,
所以
(3x-t)
2
≥(2x)
2
,
化简得
5x
2
-6xt+t
2
≥0. (*)
①
当
t=0
时显然成立
;
②当
t>0
时
,(*)
式解为
x≤
或
x≥t,
对任意
x∈[2t-1,2t+3],(*)
式恒成立
,
则需
t≤2t-1,
故
t≥1;
③当
t<0
时
,(*)
式解为
x≤t
或
t≥ ,
对任意
x∈[2t-1,2t+3],(*)
式恒成立
,
则需
2t+3≤t,
故
t≤-3.
综上所述
,t≤-3
或
t≥1
或
t=0.
答案
:
(1)(-∞,-3]∪[1,+∞)∪{0}
(2)
在等比数列
{a
n
}
中
,
已知
a
3
=4,S
3
=12,
则
a
1
=
.
解析
:
(2)
设等比数列
{a
n
}
的公比为
q,
①
当
q=1
时
,a
n
=a
1
,
此时
S
3
=3a
1
=3a
3
=12,
符合题意
.
答案
:
(2)16
或
4
方法
2
由图形位置或形状引起讨论
【
思维建模
】
图形位置或形状的变化中常见的分类
圆锥曲线形状不确定时
,
常按椭圆、双曲线来分类讨论
,
求圆锥曲线的方程时
,
常按焦点的位置不同来分类讨论
;
相关计算中
,
涉及图形问题时
,
也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论
.
强化训练
10:
(1)
(2017
·
陕西西安长安一中模拟
)
非空集合
A= ,
当
(x,y)∈A
时
,
对任意实数
m,
目标函数
z=x+my
的最大值和最小值至少有一个不存在
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
(A)(-∞,2) (B)[0,2) (C)[2,+∞) (D)(2,+∞)
解析
:
(1)
当
a=0
时
,
不等式组表示的平面区域是半封闭的区域
(
如图
1
所示
),
则对任意实数
m,
目标函数
z=x+my
的最大值和最小值至少有一个不存在
,
即
a=0
符合题意
,
故排除选项
C,D;
当
a=-1
时
,
不等式组表示的平面区域是半封闭的区域
(
如图
2
所示
),
则对任意实数
m,
目标函数
z=x+my
的最大值和最小值至少有一个不存在
,
即
a=-1
符合题意
,
故排除选项
B.
故选
A.
答案
:
(1)A
(2)
设圆锥曲线
Γ
的两个焦点分别为
F
1
,F
2
.
若曲线
Γ
上存在点
P
满足
|PF
1
|∶|F
1
F
2
|∶|PF
2
|=
4∶3∶2,
则曲线
Γ
的离心率等于
.
方法
3
由变量或参数引起的分类讨论
【
例
12】
(2015
·
山东卷
)
设函数
f(x)=ln(x+1)+a(x
2
-x),
其中
a∈
R
.
(1)
讨论函数
f(x)
极值点的个数
,
并说明理由
;
(2)
若∀
x>0,f(x)≥0
成立
,
求
a
的取值范围
.
③当
a>1
时
,
由
g(0)<0,
可得
x
2
>0.
所以
x∈(0,x
2
)
时
,
函数
f(x)
单调递减
.
因为
f(0)=0,
所以
x∈(0,x
2
)
时
,f(x)<0,
不合题意
.
【
思维建模
】
(1)
变量或参数变化时常见的分类讨论
①解含参数的不等式时
,
常按参数的取值不同分类讨论
.
②
平面解析几何中
,
直线点斜式中按斜率
k
存在和不存在
,
直线截距式中按截距
b=0
和
b≠0
分类讨论
.
(2)
利用分类讨论思想的注意点
①分类讨论要标准统一、层次分明
,
分类要做到
“
不重不漏
”
.
②
分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别
,
再确定每级讨论的对象与标准
,
每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏
,
最后将讨论结果归类合并
.
其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后
;
最后整合时要注意是取交集、并集
,
还是既不取交集也不取并集只是分条列出
.
强化训练
11
:(2014
·
安徽卷
)
设函数
f(x)=1+(1+a)x-x
2
-x
3
,
其中
a>0.
(1)
讨论
f(x)
在其定义域上的单调性
;
(2)
当
x∈[0,1]
时
,
求
f(x)
取得最大值和最小值时的
x
的值
.
解
:
(2)
因为
a>0,
所以
x
1
<0,x
2
>0.
①
当
a≥4
时
,x
2
≥1.
由
(1)
知
,f(x)
在
[0,1]
上单调递增
.
所以
f(x)
在
x=0
和
x=1
处分别取得最小值和最大值
.
②当
0
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