2019届二轮复习　三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]学案（全国通用）

2019届二轮复习　三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]学案（全国通用）

第8练　三角函数的概念、三角恒等变换[小题提速练]‎ ‎[明晰考情]　1.命题角度：三角函数的概念和应用；利用三角恒等变换进行求值或化简.2.题目难度：单独考查概念和三角变换，难度为中低档；三角恒等变换和其他知识交汇命题，难度为中档．‎ 考点一　任意角的三角函数 要点重组　(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．‎ ‎(3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎1．在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是(　　)‎ A．(－7，－) B. (－7， )‎ C．(－4，－2) D．(－4，2)‎ 答案　A 解析　 因为点O(0,0)，P(6,8)，所以＝(6,8)，‎ 设＝(10cos θ，10sin θ)，‎ 则cos θ＝，sin θ＝，‎ 因为向量绕点O按逆时针方向旋转后得到，‎ 设Q(x，y)，则x＝10cos ‎＝10＝－7，‎ y＝10sin＝10＝－，‎ 所以点Q的坐标为，故选A.‎ ‎2．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于(　　)‎ A．3 B．－3 C．－4 D．4‎ 答案　C 解析　由题意知， cos α＝＝－，∴m<0，解得m＝－4.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.‎ 答案　 解析　由角α与角β的终边关于y轴对称，‎ 可知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，‎ 所以sin β＝sin α＝.‎ ‎4．函数y＝的定义域是__________________．‎ 答案　，k∈Z 考点二　三角函数的求值与化简 要点重组　(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎(2)诱导公式：角±α(k∈Z)的三角函数口诀：‎ 奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎(3)和差公式．‎ 方法技巧　(1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；注意角的变形，看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点．‎ ‎(2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sin2α＝，cos2α＝.‎ ‎5．若sin＝，则sin的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　∵sin＝，‎ ‎∴sin＝cos ‎＝cos＝cos 2 ‎＝1－2sin2 ‎＝1－2×＝－.‎ ‎6．若tan α＝2tan ，则等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　cos＝cos ‎＝cos＝sin， ‎ 所以原式＝＝＝＝＝3.‎ ‎7．若cos＝，sin＝，α∈，β∈，则sin(α＋β)＝________.‎ 答案　 解析　∵α∈，且cos>0，‎ ‎∴－<－α<0，∵β∈，‎ ‎∴<＋β<，‎ 又cos＝，sin＝，‎ ‎∴sin＝－，cos＝，‎ ‎∴sin(α＋β)＝sin ‎＝sincos－cossin ‎＝×－×＝.‎ ‎8．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.‎ 答案　 解析　因为0<β<<α<，‎ 所以<2α<π，－<－β<0，‎ 所以<2α－β<π.‎ 又因为cos(2α－β)＝－，‎ 所以sin(2α－β)＝.‎ 因为0<β<<α<，‎ 所以－<－2β<0，‎ 所以－<α－2β<.‎ 又因为sin(α－2β)＝，‎ 所以cos(α－2β)＝.‎ 所以cos(α＋β)‎ ‎＝cos[(2α－β)－(α－2β)]‎ ‎＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)‎ ‎＝－×＋×＝.‎ 又因为＜α＋β＜，‎ 所以α＋β＝.‎ 考点三　三角恒等变换的应用 要点重组　辅助角公式：asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ .‎ ‎9．函数f(x)＝(sin x＋cos x)·(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C. D．2π 答案　B 解析　∵f(x)＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)‎ ‎＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝π，故选B.‎ ‎10．(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　B 解析　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，‎ ‎∴＝，又cos α≠0，∴＝，‎ ‎∴tan α＝±，即＝±，∴|a－b|＝.故选B.‎ ‎11．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ 答案　－ 解析　f(x)＝sin x－2cos x ‎＝＝sin(x－φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝.‎ 当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，‎ 即当θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，‎ 所以cos θ＝－sin φ＝－.‎ ‎12．函数f(x)＝sin x－cos的值域为________．‎ 答案　[－，]‎ 解析　f(x)＝sin x－cos ‎＝sin x－ ‎＝sin x－cos x ‎＝ ‎＝sin∈[－，]．‎ ‎1．若sin＝，A∈，则sin A的值为(　　)‎ A. B. C.或 D. 答案　B 解析　∵ A∈，∴A＋∈，‎ ‎∴cos<0，‎ ‎∴cos＝－＝－，‎ ‎∴sin A＝sin ‎＝sincos －cossin ‎＝×－×＝.‎ ‎2．若tan＝，且－＜α＜0，则＝________.‎ 答案　－ 解析　由tan＝＝，得tan α＝－.‎ 又－＜α＜0，所以sin α＝－.‎ 故＝＝2sin α＝－.‎ ‎3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ的值为________．‎ 答案　－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，‎ ‎∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin θcos θ＝－，‎ ‎∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.‎ 又θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝，‎ ‎∴sin θ＝，cos θ＝－，‎ ‎∴tan θ＝－.‎ 解题秘籍　(1)使用平方关系求函数值，要注意角所在的象限和三角函数值的符号．‎ ‎(2)利用三角函数值求角要解决两个要素：①角的某一个三角函数值；②角的范围(尽量缩小)．‎ ‎1．已知点A的坐标为(4，1)，将OA绕坐标原点O按逆时针方向旋转至OB，则点B 的纵坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知|OA|＝|OB|＝7，设射线OA与x轴正方向所成的角为α，显然sin α＝，cos α＝，‎ 故sin＝sin αcos ＋cos α sin ＝×＋×＝，‎ 故点B的纵坐标为|OB|sin＝.‎ ‎2．已知P(m，2)为角α的终边上一点，且sin α＝－，则tan α的值为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 答案　D 解析　由题意知，＝－，‎ 所以故m＝－2，所以tan α＝－1.‎ ‎3．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.‎ ‎4.等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　由题意得 ‎＝ ‎＝＝sin 30°＝.‎ ‎5．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，下列说法错误的是(　　)‎ A．f(x)的最小正周期为π B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)在上单调递增 D．|f(x)|的值域是[0,1]‎ 答案　C 解析　f(x)＝cos 2x，f(x)在上不单调，‎ ‎∴选项C中的结论错误．‎ ‎6．记a＝sin(cos 2 010°)，b＝sin(sin 2 010°)，c＝cos(sin 2 010°)，d＝cos(cos 2 010°)，则a，b，c，d中最大的是(　　)‎ A．a B．b C．c D．d 答案　C 解析　注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此 sin 2 010°＝－sin 30°＝－，cos 2 010°＝－cos 30°＝－，因为－＜－＜0，－＜－＜0,0＜＜＜，所以cos ＞cos ＞0，所以a＝sin＝－sin ＜0，b＝sin＝－sin ＜0，c＝cos＝cos ＞d＝cos＝cos ＞0，因此c最大．‎ ‎7．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 答案　B 解析　由tan α＝，得＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ ‎∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝.‎ ‎8．定义2×2矩阵＝a1a4－a2a3，若f(x)＝，则(　　)‎ A．f(x)图象关于(π，0)中心对称 B．f(x)图象关于直线x＝对称 C．f(x)在区间上单调递增 D．f(x)是周期为π的奇函数 答案　C 解析　由题中所给定义可知，f(x)＝cos2x－sin2x－‎ cos＝cos 2x＋sin 2x＝2cos.‎ 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以f(x)在区间上单调递增．‎ ‎9．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ＝________.‎ 答案　－ 解析　因为函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，所以f(0)＝cos θ＋sin θ＝0，得tan θ＝－.‎ ‎10．已知sin＝，则cos＝________.‎ 答案　－ 解析　因为sin＝sin ‎＝cos＝cos＝，‎ 所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ ‎11．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.‎ 答案　－ 解析　∵sin α＋cos β＝1，①‎ cos α＋sin β＝0，②‎ ‎∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，‎ ‎∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝－.‎ ‎12．若α∈，则的最大值为______________________________．‎ 答案　 解析　∵α∈，‎ ‎∴＝＝，且tan α>0，‎ ‎∴＝≤＝，‎ 当且仅当tan α＝，即tan α＝2(舍负)时，等号成立．‎ 故的最大值为.‎