【数学】2018届一轮复习人教B版推理与证明算法与复数学案
§12.1 归纳与类比
[知识梳理]
1．归纳推理
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，
结论：任意d∈M，d也具有某属性．
2．类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．
类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
B：具有属性a′，b′，c′；
结论：B具有属性d′.
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．
4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )
(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋)．( )
(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×
[基础自测]
1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.
2．(2016·高考山东卷)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－1＝________.
解析：由题意知，各个等式中的第一项中角的规律为，，，…，对应的等式的右边分别为乘两个连续的正整数，第一个因子分别为1,2,3，….故答案为n(n＋1)．
答案：n(n＋1)
3．(教材改编)在等差数列{an} 中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3b4…bn＝________.
答案：b1b2b3b4…b17－n(n<17，n∈N＋)
4．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________.
解析：因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：
若①正确，则②③不正确，得到由于集合{a，b，c}＝{0,1,2}，所以解得a＝b＝1，c＝0，或a＝1，b＝c＝0，或b＝1，a＝c＝0，与互异性矛盾；
若②正确，则①③不正确，得到与互异性矛盾；
若③正确，则①②不正确，得到则符合题意，所以100a＋10b＋c＝201.
答案：201
5．(2016·高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字．
(方法1)由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
(方法2)因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.
答案：1和3
类型一 归纳推理
题点1 与数字有关的推理
[例1] (2015·高考陕西卷)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……，
据此规律，第n个等式可为________________________．
解析 等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.
答案 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
题点2 与式子有关的推理
[例2] 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
…………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝______.
解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1 100－100＝1 000.
答案 1 000
题点3 与图形有关的推理
[例3] (2017·山东青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．
(1)n级分形图中共有________条线段；
(2)n级分形图中所有线段长度之和为________．
解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝(3×2n－3)(n∈N＋)．
(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为bn＝3×n－1(n∈N＋)，∴n
级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×0＋3×1＋…＋3×n－1＝3×＝9－9×n.
答案 (1)3×2n－3 (2)9－9×n
[方法引航] 归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
1．(1)(2017·上海模拟) 如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C.由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋
)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．
(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.
解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
答案：nn
(3)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．
解析：由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.
∴总个数为.
答案：
类型二 类比推理
[例4] (1)(2017·山东菏泽模拟)已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N)，则可以得到bm＋n＝________.
解析 设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公比为q，则等差数列中an＝a1＋(n－1)d1，等比数列中bn＝b1qn－1.
∵am＋n＝，∴bm＋n＝.
答案
(2)(2017·山东临沂质检)如图所示，若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比＝·.如图，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为________．
解析 本题是把二维的面积关系，推广到三维的体积关系：＝··.
答案 ＝··
[方法引航] (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
2．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.
把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为________．
解析：设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.
答案：＋＋＋＝1
类型三 演绎推理
[例5] (2017·福建三明调研)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1
＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·.(小前提)
故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)
(2)由(1)可知，＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)，(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
3．已知函数y＝f (x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af (a)＋bf (b)>af (b)＋bf (a)，试证明：f (x)为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2∈R，取x1
x1f (x2)＋x2f (x1)，
∴x1[f (x1)－f (x2)]＋x2[f (x2)－f (x1)]>0，
[f (x2)－f (x1)](x2－x1)>0，
∵x10，f (x2)>f (x1)．
∴y＝f (x)为R上的单调增函数．
学科培优——高频微考点
高考中的合情推理问题(十)
典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
①b2 014是数列{an}的第________项；
②b2k－1＝________.(用k表示)
(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f (x)满足：(1)T＝{f (x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x10⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①在复数集C中，若两个复数满足a－b＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等，故①正确；②在有理数集Q中，若a＋b＝c＋d，则(a－c)＋(b－d)＝0，易得a＝c，b＝d.故②正确；③若a，b∈C，当a＝1＋i，b＝i时，a－b＝1>0，但a，b是两个虚数，不能比较大小，故③错误．故3个结论中，有两个是正确的．故选C.
3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件可以判断偷珠宝的人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选A.假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A.
4．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则d
n的表达式应为( )
A．dn＝ B．dn＝
C．dn＝ D．dn＝
解析：选D.若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；
若{cn}是等比数列，
则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，
∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.
5．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2为an与an＋1(n∈N＋)的积的个位数，则a2 017等于( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选D.由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，a12＝6，a13＝2，a14＝2.可见从第3项开始，{an}为周期为6的循环数列，根据规律得a2 017＝2.
6．将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．
解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝个，即个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
答案：
7．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P1，P2的切线方程分别是
－＝1，－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，
故有－＝1，
－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
答案：－＝1
8．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：________.
解析：由等比数列的性质可知
b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
答案：＝
9．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12 …
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1 3 5 7
4 812
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
10．f (x)＝，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解：f (0)＋f (1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得f (－1)＋f (2)＝，f (－2)＋f (3)＝.
由此猜想f (x)＋f (1－x)＝.
证明f (x)＋f (1－x)＝＋
＝＋＝＋
＝＝.
[B组 能力突破]
(时间：25分钟)
11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1
，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A. B．
C. D．
解析：选C.从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
如图，设正四面体的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球球心，则
AE＝a，DE＝a.
设OA＝R，OE＝r，
则OA2＝AE2＋OE2，
即R2＝2＋2，
∴R＝a，r＝a，
∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，
故正四面体P－ABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于，故选C.
12．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H
2，H3，H4，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B.根据三棱锥的体积公式，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
14．对于三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y＝f (x)的导数，f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f ″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f (x0))为函数y＝f (x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，
(1)求函数f (x)的对称中心；
(2)计算f ＋f ＋f ＋f ＋…＋f .
解：(1)f ′(x)＝x2－x＋3，f ″(x)＝2x－1，
由f ″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f ＝×3－×2＋3×－＝1.
由题中给出的结论，可知函数f (x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.
(2)由(1)，知函数f (x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，
所以f ＋f ＝2，
即f (x)＋f (1－x)＝2.
故f ＋f ＝2，
f ＋f ＝2，
f ＋f ＝2，
…
f ＋f ＝2.
所以f ＋f ＋f ＋f ＋…＋f ＝×2×2 012＝2 012.
§12.2 综合法与分析法、反证法
[知识梳理]
1．综合法
(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．
(2)框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．
2．分析法
(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
(2)框图表示：
→→→…→.
3．反证法
我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
反证法的证题步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aq D．不确定
解析：选B.q＝≥＝＋＝p.
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
3．已知a＞b＞0，证明－＜可选择的方法，以下最合理的是( )
A．综合法 B．分析法
C．类比法 D．归纳法
解析：选B.首先，排除C、D.然后，比较综合法、分析法．
我们选择分析法，欲证：－＜，只需证：＜＋，即证：a＜b＋(a－b)＋2，只需证：0＜2.
4．(2017·山东青岛模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋
( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：选D.∵a>0，b>0，c>0，
∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________三角形．
解析：由题意2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，
∴a＝c，
∴A＝C，∴A＝B＝C＝，
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边
类型一 分析法的应用
[例1] 已知函数f (x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f (x1)＋f (x2)]>f .
证明 要证[f (x1)＋f (x2)]>f ，
即证明(tan x1＋tan x2)>tan ，
只需证明>tan ，
只需证明>.
由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．
所以cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，
故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，
即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，
即证cos(x1－x2)<1.
由x1，x2∈，x1≠x2知上式显然成立，
因此[f (x1)＋f (x2)]>f .
[引申探究]
若本例中f (x)变为f (x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f .
证明：要证明≥f ，
即证明≥3－2·，
因此只要证明－(x1＋x2)≥3－(x1＋x2)，
即证明≥3，
因此只要证明≥，
由于x1，x2∈R时，3x1>0,3x2>0，
由基本不等式知≥ 显然成立，故原结论成立．
1．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为
a，b，c.
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，
故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，
故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
类型二 综合法的应用
[例2] 若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥>0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg>lg abc，
∴lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c.
2．(1)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
ab＋bc＋ac≤.
证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设知(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.
证明：∵x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，
∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz，
∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz，
即3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2，
∵x＋y＋z＝1，∴(x＋y＋z)2＝1，
∴3(x2＋y2＋z2)≥1，即x2＋y2＋z2≥.
类型三 反证法的应用
题点1 证明否定性命题
[例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
解 (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，
所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图像的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有
即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．
3．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，
则有a＋b＋c<3，
而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，
两者矛盾，所以假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1.
[思想与方法系列]
反证法在证明题中的应用(二十二)
典例 (12分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A、C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
思维点拨 (1)根据菱形对角线互相垂直平分及点B的坐标设出点A的坐标，代入椭圆方程求得点A的坐标，后求AC的长；
(2)将直线方程代入椭圆方程求出AC的中点坐标(即OB的中点坐标)，判断直线AC与OB是否垂直．
[解] (1)因为四边形OABC为菱形，
则AC与OB相互垂直平分．
由于O(0,0)，B(0,1)
所以设点A，代入椭圆方程得＋＝1，
则t＝±，故|AC|＝2.[4分]
(2)证明：假设四边形OABC为菱形，
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由
消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.[6分]
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.[8分]
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－，
因为k·＝－≠－1，所以AC与OB不垂直．[10分]
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．[12分]
[警示] (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．
(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．
(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．
思想方法 感悟提高
[方法与技巧]
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
[失误与防范]
1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．
2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
课时规范训练[单独成册]
[A组 基础演练]
(时间：35分钟)
1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
解析：选B.“至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.
2．有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q,2,3，为检验这四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )
A．第一张，第三张 B．第一张，第四张
C．第二张，第四张 D．第二张，第三张
解析：选B.由题意知如果卡片的一面为P，另一面必须是2，所以一定要看P的另一面是否为2，一面为2的另一面可以是任意有关字母，一面为3的卡片的另一面一定不能是P，所以必须翻看第一张、第四张卡片．
3．已知定义在R上的函数f (x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f (log0.53)，b＝f (log25)，c＝f (2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
解析：选C.若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，
则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
5．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b，ab>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
解析：(方法一)(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，则m⇐a0，显然成立．
答案：m0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．
解析：要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．
答案：①③④
8．若二次函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f (c)>0，则实数p的取值范围是________．
解析：令
解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
答案：
9．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．
[B组 能力突破]
(时间：30分钟)
10．已知函数f (x)满足：f (a＋b)＝f (a)·f (b)，f (1)＝2，则＋＋＋＝( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选D.根据f (a＋b)＝f (a)·f (b)，得f (2n)＝f 2(n)．又f (1)＝2，则＝2.
由＋＋＋＝＋＋＋＝16.
11．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：选D.由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由
得那么，A2＋B2＋C2＝，
这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
12．已知点An(n，an)为函数y＝图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图像上的点，其中n∈N＋，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得
cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn随n的增大而减小 ，∴cn＋10)的图像与x轴有两个不同的交点，若f (c)＝0，且0＜x＜c时，f (x)>0.
(1)证明：是函数f (x)的一个零点；
(2)试用反证法证明>c.
证明：(1)∵f (x)图像与x轴有两个不同的交点，
∴f (x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f (c)＝0，∴x1＝c是f (x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝，
∴是f (x)＝0的一个根．即是函数f (x)的一个零点．
(2)假设0，由0＜x＜c时，f (x)>0，
知f >0与f ＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
14．已知等差数列{an}中，首项a1>0，公差d>0.
(1)若a1＝1，d＝2，且，，成等比数列，求整数m的值；
(2)求证：对任意正整数n，，，都不成等差数列．
解：(1)∵a1＝1，d＝2，
∴a4＝7，am＝2m－1.
∵，，成等比数列，
∴2＝，
∴(2m－1)2＝492.
∵a1>0，d>0，∴m＝25.
(2)证明：假设存在m∈N*，使，，成等差数列，即＝＋，
∴＝＋＝，化简，得d2＝3a，又a1>0，d>0，∴am＋1＝a1＋md>d，
∴3a>3d2>d2，与d2＝3a矛盾，因此假设不成立，故原命题得证．
§12.3 算法的基本思想、算法框图及基本语句
[知识梳理]
1．常用程序框及其功能
2．算法的基本结构
名称
内容
顺序结构
选择结构
循环结构
定义
按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构
在算法的执行过程中，需要对条件进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况，像这种需要反复进行相同的操作的结构称为循环结构
算法
框图
3.基本算法语句
(1)条件语句：
①条件语句是表达选择结构最常用的语句．
②条件语句的格式及算法框图
(2)循环语句：
①算法中的循环结构是由循环语句来实现的．
②循环语句的格式：
F or语句的一般形式是：
F or循环变量＝初始值To终值
循环体
Next
Do Loop语句的一般形式是：
Do
循环体
Loop While 条件为真
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( )
(2)算法框图中的图形符号可以由个人来确定．( )
(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( )
(4)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( )
(5)5＝x是赋值语句．( )
(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
[基础自测]
1．(教材习题改编)如图所示，算法框图的输出结果是( )
A. B．
C. D．
解析：选D.s＝0，n＝2,2<8，s＝0＋＝；
n＝2＋2＝4,4<8，s＝＋＝；
n＝4＋2＝6,6<8，s＝＋＝；
n＝6＋2＝8,8<8不成立，输出s的值为.
2. (2015·高考陕西卷)根据如图所示的框图，当输入x为6时，输出的y等于( )
A．1 B．2
C．5 D．10
解析：选D.输入x＝6，
程序运行情况如下：
x＝6－3＝3>0，x＝3－3＝0≥0，x＝0－3＝－3<0，
退出循环，执行y＝x2＋1＝(－3)2＋1＝10，
输出y＝10.故选D.
3．(教材习题改编)已知算法框图如图所示，则输出的结果是________．
答案：5 050
4．如图，是求实数x的绝对值的算法框图，则判断框①中可填________．
解析：由于|x|＝
或|x|＝
故根据所给的算法框图，易知可填“x>0”或“x≥0”．
答案：x>0(或x≥0)
5. 如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的算法框图，则正整数n＝________.
解析：第一次判断执行后，
i＝2，s＝12；
第二次判断执行后，
i＝3，s＝12＋22，
而题目要求计算12＋22＋…＋1002，
故n＝100.
答案：100
类型一 顺序结构与选择结构
题点1 顺序结构
[例1] 已知f (x)＝x2－2x－3，求f (3)、f (－5)、f (5)，并计算f (3)＋f (－5)＋f (5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图．
解 算法如下：
第一步，令x＝3.
第二步，把x＝3代入y1＝x2－2x－3.
第三步，令x＝－5.
第四步，把x＝－5代入y2＝x2－2x－3.
第五步，令x＝5.
第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.
第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.
第八步，输出y1，y2，y3，y的值．
该算法对应的算法框图如图所示：
题点2 选择结构
[例2] 执行如图所示的算法框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析 根据算法框图可以得到分段函数s＝进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t＜1时，s＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时3≤s≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s属于[－3,4]．
答案 A
[引申探究]
若将本例中判断框的条件改为“t≥1”，则输出的s的范围是什么？
解：根据算法框图可以得到，当－1≤t＜1时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，此时－5≤s＜3；当1≤t≤3时，s＝3t∈[3,9]．
综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s属于[－5,9]．
[方法引航] 应用顺序结构与选择结构的注意点
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
(2)选择结构
①选择结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．
②
对选择结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
1．执行如图所示的算法框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1；当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.
类型二 循环结构
题点1 由算法框图求输出结果
[例3] (2015·高考安徽卷)执行如图所示的算法框图，输出的n为________．
解析 结合算法框图逐一验证求解．
执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414＞0.005，a＝，n＝2；
执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086＞0.005，a＝，n＝3；
执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014＞0.005，a＝，n＝4；
执行第四次判断：|a－1.414|＜0.005，输出n＝4.
答案 4
题点2 完善算法框图
[例4] 如图给出了计算＋＋＋…＋的值的框图，其中①②分别是( )
A．i<30？，n＝n＋2 B．i＝30？，n＝n＋2
C．i>30？，n＝n＋2 D．i>30？，n＝n＋1
解析 因为算法框图的功能是计算＋＋＋…＋的值，所以若i<30，n＝n＋2，则1<30，输出S＝0，故排除A；若i＝30，n＝n＋2，则输出S＝＋＋…＋，故排除B；若i>30，n＝n＋1，则输出S＝＋＋…＋，故排除D，应选C.
答案 C
题点3 辨析算法框图的功能
[例5] 根据下面框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )
A．an＝2n
B．an＝2(n－1)
C．an＝2n
D．an＝2n－1
解析 由算法框图可知
第一次运行：i＝1，a1＝2，S＝2；
第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；
第三次运行：i＝3.a3＝8，S＝8；
第四次运行：i＝4，a4＝16，S＝16.
故选C.
答案 C
[方法引航] 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知算法框图，求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行，最后得出结果．
(2)完善算法框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)对于辨析算法框图功能问题，可将算法执行几次，即可根据结果作出判断．
2．(1)阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出s的值等于( )
A．－3 B．－10
C．0 D．－2
解析：选A.第一次循环：k＝0＋1＝1，满足k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环：k＝1＋1＝2，满足k<4，s＝2×1－2＝0；第三次循环：k＝2＋1＝3，满足k<4，s＝2×0－3＝－3；第四次循环：k＝3＋1＝4，不满足k<4，故输出的s＝－3.
(2)(2017·湖北黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．
解析：由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i<5？或i≤4？.
答案：i<5？或i≤4?
类型三 基本算法语句
[例6] (2017·安徽蚌埠模拟)已知语句：
说明其功能并画出算法框图．
解 该程序的功能为求分段函数y＝的值．
算法框图如图．
[方法引航] 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．
3．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
A．25 B．30
C．31 D．61
解析：选C.由题意，得
y＝
当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.
所以输出y的值为31.
[易错警示系列]
变量的含义理解不准致误(十四)
典例 执行如图所示的算法框图，输出的S值为( )
A．2
B．4
C．8
D．16
[易错] (1)读不懂算法框图，把执行循环体的次数n误认为是变量k的值，没有注意到k的初始值为0.
(2)对循环结构：①判断条件把握不准；②循环次数搞不清楚；③初始条件容易代错．
[解析] 当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；
当k＝1时，满足k<3，则S＝1×21＝2；
当k＝2时，满足k<3，则S＝2×22＝8；
当k＝3时，不满足k<3，输出S＝8.
[答案] C
[警示] (1)要分清两种循环结构；要理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律．
(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S、k值都要被新的S、k值所替换．
思想方法 感悟提高
[方法与技巧]
1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：
概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．
2．在画算法框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．
[失误与防范]
1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．
2．注意选择结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体．
3．循环语句有“F or”语句与“Do Loop语句”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序．
4．关于赋值语句，有以下几点需要注意：
(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．
(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．
(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．
课时规范训练[单独成册]
[A组 基础演练]
(时间：25分钟)
1．执行如图所示的算法框图，输出的k值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.第一次循环：a＝3×＝，k＝1；
第二次循环：a＝×＝，k＝2；
第三次循环：a＝×＝，k＝3；
第四次循环：a＝×＝<，k＝4.
故输出k＝4.
2．下边算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于( )
A．0 B．2
C．4 D．14
解析：选B.由题知，若输入a＝14，b＝18，则
第一次执行循环结构时，由ab知，a＝a－b＝14－4＝10，b＝4；
第三次执行循环结构时，由a>b知，a＝a－b＝10－4＝6，b＝4；
第四次执行循环结构时，由a>b知，a＝a－b＝6－4＝2，b＝4；
第五次执行循环结构时，由aB；进入循环，i＝2，A＝4，B＝2，A>B；进入循环，i＝3，A＝8，B＝6，A>B；进入循环，i＝4，A＝16，B＝24，A2，不满足条件，输出S＝7.
15．已知数列{an}满足如图所示的算法框图．
(1)写出数列{an}的一个递推关系式．
(2)证明：{an＋1－3an}是等比数列，并求{an}的通项公式．
(3)求数列{n(an＋3n－1)}的前n项和Tn.
解：(1)由算法框图可知，
a1＝a2＝1，an＋2＝5an＋1－6an.
(2)由an＋2－3an＋1＝2(an＋1－3an)，且a2－3a1＝－2可知，数列{an＋1－3an}是以－2为首项，2为公比的等比数列，可得an＋1－3an＝－2n，
即＝－，
因为－1＝，
又－1＝－，
所以数列是以－为首项，
为公比的等比数列，
所以－1＝－n－1，
所以an＝2n－3n－1(n∈N*)．
(3)因为n(an＋3n－1)＝n·2n，
所以Tn＝1·2＋2·22＋…＋n·2n①，
2Tn＝1·22＋2·23＋…＋n·2n＋1②，
两式相减得
Tn＝(－2－22－……－2n)＋n·2n＋1
＝＋n·2n＋1
＝－2n＋1＋2＋n·2n＋1
＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N＋)．
§12.4 复数
[知识梳理]
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b是实数，i是虚数单位)的数叫作复数，其中a
叫作实部，b叫作虚部．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|，即|z|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(4)原点是实轴与虚轴的交点．( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
[基础自测]
1．(2016·高考山东卷)若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选B.z＝＝＝1＋i，∴＝1－i.
2．(2016·高考全国丙卷)若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C.＋i D．－i
解析：选D.先求出与|z|，再计算.
∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C.∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.
4．(2015·陕西汉中模拟)已知i是虚数单位，若＝2＋i(a，b∈R)，则ab
＝________.
解析：由＝2＋i，得a＋bi＝1＋3i，所以a＝1，b＝3，ab＝3.
答案：3
5．(教材改编)已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
解析：∵＝＝＝＝2－i，
∴z＝2＋i.
答案：2＋i
类型一 复数的概念
[例1] (1)设i是虚数单位．若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析 z＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且z＝a－为纯虚数知a＝3.
答案 D
(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为( )
A．1 B．i
C. D．0
解析 由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.
答案 A
(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 由解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
答案 A
[引申探究]
1．对本例(1)中的复数z，若|z|＝，求a的值．
解：若|z|＝，则(a－3)2＋1＝10，
∴|a－3|＝3，∴a＝0或a＝6.
2．在本例(2)中，若为实数，则a＝________.
解析：若为实数，则＝0.
∴a＝－4.
答案：－4
[方法引航] 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部与虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
1．(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
解析：选A.由复数z为纯虚数，得
解得x＝－1，故选A.
(2)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若ab＝0，则a＝0或b＝0，∴a＋是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a＋为纯虚数，则a＋＝a－bi，∴a＝0且b≠0，∴ab＝0，是必要条件．
类型二 复数的运算
题点1 复数的运算与复数概念的综合问题
[例2] (1)(2015·高考天津卷)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.
答案 －2
(2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析 因为z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2
＝25＋20i－4＝21＋20i，
所以z的实部为21.
答案 21
题点2 复数的综合运算
[例3] (1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，
∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
答案：C
(2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D．
解析 设z＝a＋bi，
故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，
所以解得b＝.
答案 D
[方法引航] 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．
2．(1)(2016·高考全国丙卷)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选C.因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)·(1－2i)＝5，则＝
＝i.故选C.
(2)＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D.＝＝
＝＝＝－1－i.
(3)(2015·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D.由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.
类型三 复数的几何意义
[例4] (1)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析 向量对应的复数是2＋i，
则对应的复数是－2－i，
∵＝＋，
∴对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.
答案 D
(2)复数＋i2 014(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ＋i2 014＝＋i4×503＋2＝－1＋i，故复数对应的点是(－1,1)，在第二象限．
答案 B
(3)(2017·山西大同模拟)已知f (x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ＝＝＝＝＝＋i，
故复数对应的点是，在第一象限．
答案 A
[方法引航] 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
3．(1)已知i是虚数单位，则复数z＝i＋2i2＋3i3所对应的点落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.z＝i＋2i2＋3i3＝i－2－3i＝－2－2i，
对应的点是(－2，－2)，故选C.
(2)已知复数－i的对应点在复平面的第二、四象限的角平分线上，则实数a＝________.
解析：已知复数－i＝－1－(a＋1)i，
由题意知a＋1＝－1，解得a＝－2.
答案：－2
[思想与方法系列]
解决复数问题的实数化思想(二十三)
典例 (12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
思维点拨 (1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．
[解] 设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，[3分]
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，[5分]
根据复数相等得[7分]
解得或或或[9分]
故所求复数为
或或或[12分]
[警示] (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．
(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．
思想方法 感悟提高
[方法与技巧]
1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整数，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识．
3．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
[失误与防范]
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．两个虚数不能比较大小．
3．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数．
课时规范训练[单独成册]
[A组 基础演练]
(时间：25分钟)
1．设复数z满足z＋i＝3－i，则 ＝( )
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
解析：选C.先求复数z，再利用共轭复数定义求.
由z＋i＝3－i得z＝3－2i，
∴＝3＋2i，故选C.
2．复数＝( )
A．i B．1＋i
C．－i D．1－i
解析：选A.＝＝i，故选A.
3．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选A.先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解．
(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
4．复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.＝＝－i，其对应的点为，位于第四象限，故选D.
5．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选D.因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，
又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，
所以t＝－，故选D.
6．设i是虚数单位，复数z1，z2互为共轭复数，z1＝1＋i，则z1z2＝( )
A．2 B．－2
C．1＋i D．1－i
解析：选A.∵z1与z2互为共轭复数，∴z2＝1－i.∴z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2.
7．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝( )
A. B．2
C. D．1
解析：选A.∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，∴(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，|(1－z)·|＝|－3＋i|＝，故选A.
8．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝7＋ni，则
＝________.
解析：因为m和n都是实数，且m(1＋i)＝7＋ni，所以m＋mi＝7＋ni.所以m＝7，n＝7，所以＝＝i.
答案：i
9．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若对应的点在复平面内的第四象限，则实数a的取值范围为________．
解析：＝＝＝－i，
因为对应的点在复平面内的第四象限，
所以解得－6＜a＜.
答案：
10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
又(a＋5)(a－1)≠0，
∴a≠－5且a≠1，故a＝3.
[B组 能力突破]
(时间：20分钟)
11．已知2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )
A．－7 B．7
C．－4 D．4
解析：选A.∵2＝1＋＋＝－3－4i，
∴－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，
∴a＋b＝－7，故选A.
12．已知复数z＝(其中i是虚数单位)在复平面内对应的点Z落在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－1,1)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选C.若z＝＝在复平面内对应的点Z落在第二象限，则解得a<－1，故a的取值范围为(－∞，－1)．
13．已知i是虚数单位，若z1＝a＋i，z2＝a－i，若为纯虚数，则实数a＝( )
A. B．－
C.或－ D．0
解析：选C.＝＝
＝是纯虚数，
∴解得a＝±.
14．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3
＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由已知得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得∴λ＋μ＝1.
答案：1
15．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝＋i.
∵z＋是实数，∴b－＝0.
又∵b≠0，
∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0.②
由解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.
