【数学】2020届一轮复习人教B版　直线的参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教B版　直线的参数方程学案

‎1．直线的参数方程 经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎2．直线的参数方程中参数t的几何意义 ‎(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．‎ ‎(2)当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．当与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.‎ ‎[问题思考]‎ ‎1．经过点M(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？‎ 提示：根据直线参数方程的定义，易得 即 ‎2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为何值？‎ 提示：直线l的参数方程可化为故直线的斜率为tan ＝－1.‎ ‎ 考点1‎ 直线参数方程的求法 ‎　　　已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5，4)和点N(－2,6)的距离．‎ ‎[精讲详析]　本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角α，然后再写出直线l的参数方程．‎ 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，‎ 设直线的倾斜角为α，‎ 则tan α＝，sin α＝，cos α＝.‎ 又点P(1,1)在直线l上，‎ 所以直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 因为3×5－4×4＋1＝0，‎ 所以点M在直线l上．‎ 由1＋t＝5，得t＝5，‎ 即点P到点M的距离为5.‎ 因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式，‎ 可得|PN|＝＝.‎ 直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，其中k＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式，得y－y0＝·(x－x0)，α≠，即＝.‎ 记上式的比值为t，整理后得 ‎1．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．‎ 解：设直线的参数方程为 将它代入已知直线3x＋2y－6＝0得3＋24＋t＝6，解得t＝－，∴|MP0|＝|t|＝.‎ ‎ 考点2‎ 直线与圆的参数方程的综合应用 ‎　‎ ‎　　　直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A、B两点．‎ ‎(1)求弦长|AB|；‎ ‎(2)过P0作圆的切线，求切线长；‎ ‎(3)求|P0A|和|P0B|的长；‎ ‎(4)求交点A、B的坐标．‎ ‎[精讲详析]　本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用．解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可．‎ ‎∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，‎ ‎∴可设直线l的参数方程为 代入圆方程，得2＋2＝7，‎ 整理得t2－4t＋9＝0.‎ ‎(1)设A、B对应的参数分别t1和t2，‎ 由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1t2＝9，‎ ‎∴|AB|＝|t2－t1|＝＝2.‎ ‎(2)设圆过T，它们切线为P0T，则 ‎|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，‎ ‎∴切线长|P0T|＝3.‎ ‎(3)解方程t2－4t＋9＝0，得t1＝3，t2＝，‎ ‎∴|P0A|＝3，|P0B|＝.‎ ‎(4)将t1＝3，t2＝代入直线参数方程 得A点坐标为，B点坐标为.‎ 不用求出A、B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB、P0A，P0B以及切线P0T的长．‎ ‎2．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，‎ ‎(1)写出直线l的参数方程．‎ ‎(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P 到A，B两点的距离之积．‎ 解：(1)直线的参数方程为即 ‎(2)把直线代入x2＋y2＝4，‎ 得2＋2＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，‎ t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.‎ ‎ 考点3‎ 直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用 ‎　‎ ‎　　　过点P作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．‎ ‎[精讲详析]　本题考查直线与椭圆的位置关系．解答本题需要先确定直线的参数方程，然后利用参数的几何意义求解．‎ 设直线的参数方程为(t为参数)，‎ 代入曲线方程并整理得(1＋sin2α)t2＋(cos α)t＋＝0，‎ 则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝，‎ 所以当sin 2α＝1时，|PM|·|PN|的最小值为，此时α＝.‎ 直线的参数方程中参数t具有明显的几何意义，搞清参数t的几何意义是解决此类问题的关键．‎ ‎3．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为α的弦，若弦长不超过8，求α的取值范围．‎ 解：根据题意可将弦所在的直线设成 代入抛物线方程得t2sin 2α＝4＋4tcos α，‎ 即(sin2α)·t2－4tcos α－4＝0.‎ 因为(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝2＋＝＋＝≤64，‎ 所以sin4α≥，‎ 解得sin α≥，‎ 所以α∈.‎ ‎[本节热点命题关注]‎ 本课时考点是直线的参数方程中参数的几何意义及直线的参数方程与圆锥曲线的综合应用．江苏高考以直线、曲线的参数方程为背景考查点到直线的距离问题，代表了高考命题的方向．‎ ‎[考题印证]‎ ‎(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎[命题立意]　本题主要考查参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离．‎ ‎[解]　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上，‎ 设P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线l的距离 d＝＝.‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.‎ 一、选择题 ‎1．直线(t为参数)的倾斜角α等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．30° B．60° ‎ C．－45° D．135°‎ 解析： 选B　由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B.‎ ‎2．直线(α为参数，0≤α<π)必过点(　　)‎ A．(1，－2) B．(－1,2) ‎ C．(－2,1) D．(2，－1)‎ 解析： 选A　直线表示过点(1，－2)的直线．‎ ‎3．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是(　　)‎ A.(t为参数) B.(t为参数)‎ C.(t为参数) D.(t为参数)‎ 解析：选C　题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.‎ ‎4．直线与曲线ρ＝2cos θ相交，截得的弦长为(　　)‎ A. B. C. D. 解析： 选A　曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，标准方程为(x－1)2＋y2＝1，表示以点(1,0)为圆心，半径长为1的圆，直线的一般式方程为x＋2y－3＝0，则圆心到直线的距离为d＝＝，因此直线与圆相交所得的弦长为2＝2 ＝.‎ 二、填空题 ‎5．直线l过点M0(1,5)，倾斜角是，且与直线x－y－2＝0交于M，则|MM0|的长为________．‎ 解析：直线l的方程为 代入x－y－2＝0，得(1－)t＝8＋4.‎ 解得|MM0|＝|t|＝10＋6.‎ 答案：10＋6 ‎6．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.‎ 解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝.‎ 答案： ‎7．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．‎ 解析：直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，‎ 弦长的一半为 ＝，得弦长为.‎ 答案： ‎8．直线(t为参数)过定点________．‎ 解析：消去t得＝，‎ 即－(y＋1)a＋4x－12＝0，‎ 则x＝3，且y＝－1时，对于任何a都成立．‎ 答案：(3，－1)‎ 三、解答题 ‎9．已知直线l1的参数方程为l2的参数方程为试判断l1与l2的位置关系．‎ 解：法一：将直线l1化为普通方程，得y＝2x＋1，将l2化为普通方程，得y＝－x－2.‎ 因为k1·k2＝2×＝－1，所以两直线垂直．‎ 法二：由参数方程已知l1的方向向量是a1＝(2,4)，l2的方向向量是a2＝(2，－1)，‎ 又2×2＋4×(－1)＝0，∴l1⊥l2.即两条直线垂直．‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的单位长度，在该极坐标系中，圆C的方程为ρ＝－4cos θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为(－2,1)，求|MA|·|MB|的值．‎ 解： (1)由极坐标与直角坐标的互化公式得圆C的直角坐标方程为(x＋2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由题易求得直线l的普通方程为y＝x＋3，‎ 所以点M(－2,1)在直线l上，‎ 所以过点M的直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程得t2＋t－3＝0.‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、 t2，则t1t2＝－3.‎ 于是|MA|·|MB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝3.‎ ‎11．(全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数), 直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程．‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ 解： (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，‎ 从而cos2θ＝，sin2θ＝，‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎