【数学】2018届一轮复习人教A版(理)11-3二项式定理学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版(理)11-3二项式定理学案

‎§11.3 二项式定理 考纲展示► ‎ ‎1.能利用计数原理证明二项式定理.‎ ‎2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ 考点1 二项展开式中特定项或系数问题 二项式定理 二项式定理 ‎(a+b)n=________________‎ 二项式系数 二项展开式中各项系数C ‎(k=0,1,…,n)‎ 二项式通项 Tk+1=________,它表示第 ‎________项 答案:Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*) Can-kbk k+1‎ ‎(1)[教材习题改编](1-2x)7的展开式的第4项的系数是________.‎ 答案:-280‎ 解析:展开式中,Tr+1=C·(-2x)r=C·(-2)rxr,当r=3时,T4=C·(-2)3·x3=-280x3,所以第4项的系数为-280.‎ ‎(2)[教材习题改编]12的展开式的常数项是________.‎ 答案:495‎ 解析:展开式中,Tr+1=Cx12-r·r=(-1)rCx12-3r,当r=4时,T5=C=495为常数项.‎ ‎[典题1] (1)在二项式5的展开式中,含x4的项的系数是(  )‎ A.10 B.-‎10 C.-5 D.20‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由二项式定理可知,‎ 展开式的通项为C(-1)rx10-3r,‎ 令10-3r=4,得r=2,‎ 所以含x4项的系数为C(-1)2=10,故选A.‎ ‎(2)[2017·吉林长春模拟]5的展开式中的常数项为(  )‎ A.80 B.-‎80 C.40 D.-40‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵Tr+1=C(x2)5-rr ‎=(-2)rCx10-5r,‎ 由10-5r=0,得r=2,‎ ‎∴T3=(-2)‎2C=40.‎ ‎(3)[2015·湖南卷]已知5的展开式中含x的项的系数为30,则a=(  )‎ A. B.- ‎ C.6 D.-6‎ ‎[答案] D ‎[解析] Tr+1=C()5-r·r ‎=C(-a)rx,由=,解得r=1.‎ 由C(-a)=30,得a=-6.故选D.‎ ‎(4)8的展开式中的有理项共有________项.‎ ‎[答案] 3‎ ‎[解析] 8的展开式的通项为Tr+1=C·()8-rr=-rCx (r=0,1,2,…,8),为使Tr+1为有理项,r必须是4的倍数,所以r=0,4,8,故共有3个有理项.‎ ‎(5)二项式n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为________.‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 二项展开式的的通项是Tr+1=Cx3n-3rx-2r=Cx3n-5r,‎ 令3n-5r=0,得n=(r=0,1,2,…,n),‎ 故当r=3时,n有最小值5.‎ ‎[点石成金] 1.求展开式中的特定项,可依据条件 写出第k+1项,再由特定项的特点求出k的值即可.‎ ‎2.已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k+1项,由特定项得出k的值,最后求出其参数.‎ 考点2 二项式系数及项的系数问题 ‎                   ‎ 二项式系数的性质 答案:相等 递增的 递减的 一项 两项 ‎2n 2n-1‎ 二项式系数与项的系数的区别.‎ 已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为________.‎ 答案:29‎ 解析:因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C=C,解得n=10.根据二项式系数和的相关公式得,奇数项的二项式系数和为2n-1=29.‎ ‎1.系数和:赋值法.‎ 若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为________.‎ 答案:8‎ 解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=0;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=16.故a0+a2+a4=8.‎ ‎2.通项公式:Tr+1=Can-rbr.‎ 7的展开式中x5的系数是________.(用数字填写答案)‎ 答案:35‎ 解析:Tr+1=C(x3)7-rr=C·x21-4r,令21-4r=5,得r=4,因此x5的系数为C=35.‎ ‎[典题2] [2017·四川成都一中模拟]设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为(  )‎ A.-2 B.-1 ‎ C.1 D.2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 令等式中x=-1,可得a0+a1+a2+…+a11=(1+1)(-1)9=-2,故选A.‎ ‎[点石成金] 1.赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.‎ ‎2.二项式系数最大项的确定方法 ‎(1)如果n是偶数,则中间一项的二项式系数最大;‎ ‎(2)如果n是奇数,则中间两项第项与第+1项的二项式系数相等并最大.‎ ‎1.在(1+x)n(x∈N*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=(  )‎ A.8 B.‎9 C.10 D.11‎ 答案:C 解析:二项式中仅x5的系数最大,其最大值必为,即得=5,解得n=10.‎ ‎2.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为(  )‎ A.1或3 B.-3‎ C.1 D.1或-3‎ 答案:D 解析:令x=0,得a0=(1+0)6=1.‎ 令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.‎ 又a1+a2+a3+…+a6=63,‎ ‎∴(1+m)6=64=26,‎ ‎∴m=1或m=-3.‎ 考点3 多项式展开式中的特定项或系数问题 ‎[考情聚焦] 在高考中,常常涉及一些多项式问题,主要考查学生的化归能力.‎ 主要有以下几个命题角度:‎ 角度一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 ‎[典题3] [2017·山东荣成模拟]在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2项的系数是(  )‎ A.10 B.‎15 C.20 D.25‎ ‎[答案] C ‎[解析] 含x2项的系数为C+C+C+C=20.‎ 角度二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 ‎[典题4] [2015·新课标全国卷Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.‎ ‎[答案] 3‎ ‎[解析] 设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.‎ 令x=1,得 ‎(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①‎ 令x=-1,得 ‎0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②‎ ‎①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,‎ ‎∴a=3.‎ 角度三 三项展开式中的特定项(系数)问题 ‎[典题5] [2015·新课标全国卷Ⅰ](x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.‎20 C.30 D.60‎ ‎[答案] C ‎[解析] 解法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.‎ 其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC=30.故选C.‎ 解法二:(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC=30.故选C.‎ ‎[点石成金] 1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题,只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定的项,再求和即可.‎ ‎2.对于几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.‎ ‎3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.‎ 考点4 二项式定理的应用 ‎[典题6] (1)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=(  )‎ A.0 B.‎1 C.11 D.12‎ ‎[答案] D ‎[解析] 512 012+a=(52-1)2 012+a=C·522 012-C·522 011+…-C×52+C+a,‎ ‎∵C·522 012-C·522 011+…-C×52能被13整除,且512 012+a能被13整除,‎ ‎∴C·(-1)2 012+a=1+a也能被13整除,‎ 又0≤a<13,因此a的值为12.‎ ‎(2)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.‎ ‎[证明] ∵1+2+22+…+25n-1= ‎=25n-1=32n-1=(31+1)n-1‎ ‎=C×31n+C×31n-1+…+C×31+C-1‎ ‎=31(C×31n-1+C×31n-2+…+C),‎ 显然C×31n-1+C×31n-2+…+C为整数,‎ ‎∴原式能被31整除.‎ ‎(3)用二项式定理证明2n>2n+1(n≥3,n∈N*).‎ ‎[证明] 当n≥3,n∈N*时,‎ ‎2n=(1+1)n=C+C+…+C+C ‎≥C+C+C+C=2n+2>2n+1,‎ ‎∴不等式成立.‎ ‎[点石成金] 1.整除问题和求近似值是二项式定理的两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.‎ ‎2.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.‎ ‎3.由于(a+b)n的展开式共有n+1项,故可通过对某些项的取舍来放缩,从而达到证明不等式的目的.‎ ‎1-‎90C+‎902C-‎903C+…+(-1)k90kC+…+‎9010C除以88的余数是(  )‎ A.-1 B.1 ‎ C.-87 D.87‎ 答案:B 解析:1-‎90C+‎902C-‎903C+…+(-1)k90kC+…+‎9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,‎ ‎∵前10项均能被88整除,∴余数是1.‎ ‎[方法技巧] 二项展开式的通项Tk+1=Can-kbk中含有a,b,n,k,Tk+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求第五个元素,这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程(或方程组)的问题,这里必须注意n是正整数,k是非负整数,且k≤n.‎ ‎(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.‎ ‎(2)常数项:即项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.‎ ‎(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1.[2016·新课标全国卷Ⅰ](2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)‎ 答案:10‎ 解析:由(2x+)5,得Tr+1=C(2x)5-r()r=25- rCx,令5-=3,得r=4,此时系数为10.‎ ‎2.[2016·北京卷]在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________.(用数字作答)‎ 答案:60‎ 解析:(1 -2x)6的展开式的通项Tr+1=C(-2)rxr,‎ 当r=2时,T3=C(-2)2x2=60x2,‎ 所以x2的系数为60.‎ ‎3.[2016·天津卷]8的展开式中x7的系数为________.(用数字作答)‎ 答案:-56‎ 解析:二项展开式的通项Tr+1=C(x2)8-rr=(-1)rCx16-3r,令16-3r=7,得r=3,故x7的系数为-C=-56.‎ ‎4.[2016·山东卷]若5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.‎ 答案:-2‎ 解析:5的展开式的通项Tr+1=C(ax2)5-r·x=Ca5-r·x,令10-r =5,得r=2,所以Ca3=-80,解得a=-2.‎ ‎5.[2014·新课标全国卷Ⅰ](x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)‎ 答案:-20‎ 解析:x2y7=x·(xy7),其系数为C,‎ x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,‎ ‎∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 二项展开式中赋值法的应用 ‎[典例] 在(2x-3y)10的展开式中,求:‎ ‎(1)二项式系数的和;‎ ‎(2)各项系数的和;‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和;‎ ‎(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.‎ ‎[审题视角] 求二项式系数的和或各项系数的和的问题,常用赋值法求解.‎ ‎[解] 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)‎ 各项系数的和即为a0+a1+…+a10,‎ 奇数项系数的和为a0+a2+…+a10,‎ 偶数项的系数和为a1+a3+a5+…+a9,‎ x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,‎ x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.‎ 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.‎ ‎(1)二项式系数的和为C+C+…+C=210.‎ ‎(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.‎ 偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.‎ ‎(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1.①‎ 令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),‎ 得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②‎ ‎①+②,得2(a0+a2+…+a10)=1+510,‎ ‎∴奇数项系数的和为;‎ ‎①-②,得2(a1+a3+…+a9)=1-510,‎ ‎∴偶数项系数的和为.‎ ‎(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=;‎ x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.‎ 方法点睛 ‎(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+‎ c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.‎ ‎(2)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解题易出现漏项等情况,应引起注意.例:若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数的和为f(1),奇数项系数的和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…=,令x=0,可得a0=f(0).‎
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