【数学】2020一轮复习北师大版（理）3 命题及其关系、充要条件作业
课时规范练 3 命题及其关系、充要条件
基础巩固组
1.命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是( )
A.若 a>b,则 a-1≤b-1
B.若 a>b,则 a-1
0,b>0,则“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2018 上海,14)已知 a∈R,则“a>1”是“1
푎<1”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
5.(2018 北京海淀期末,4)设 m 是不为零的实数,则“m>0”是“方程푥2
푚 ― 푦2
푚=1 表示的曲线为双曲线”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.下列命题为真命题的是( )
A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题
B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题
C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题
7.(2018 天津一中四月模拟,2)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题
是 .
9.已知 p:|x-1|≤2,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0).若p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围
是 .
10.已知集合 A={푥|1
2 < 2푥 < 8,푥 ∈ R},B={x|-10,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题;
④“若 x-3
1
2是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题.
A.①②③④
B.①③④
C.②③④
D.①④
15.已知 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a≠0,q:实数 x 满足{푥2 - 푥 - 6 ≤ 0,
푥2 + 2푥 - 8 > 0,若 p 是 q 的必要不充分条
件,则实数 a 的取值范围是 .
创新应用组
16.(2018 广东深圳模拟,3)对于任意实数 x,表示不小于 x 的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,那
么“|x-y|<1”是“=”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
17.(2018 广东汕头高考冲刺,12)已知直线 x-2y+a=0 与圆 O:x2+y2=2 相交于 A,B 两点(O 为坐标原点),
则“a= 5”是“푂퐴·푂퐵=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案
课时规范练 3 命题及其关系、充要条件
1.C 根据否命题的定义可知,命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题应为“若 a≤b,则 a-1≤b-1”.
2.A 关于 x 的方程 x2-3x+a=0 有实数根,则 Δ=9-4a≥0,∴a≤9
4,
据此可知,“a=1”是“关于 x 的方程 x2-3x+a=0 有实数根”的充分不必要条件.
3.C 设 f(x)=x+ln x,显然 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵a>b,∴f(a)>f(b),即 a+ln a>b+ln b,故充分性成立.
∵a+ln a>b+ln b,∴f(a)>f(b),
∴a>b,故必要性成立.
故“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的充要条件.故选 C.
4.A 由 a>1,两边同乘1
푎,得1
푎<1;
由1
푎<1,得1
푎-1<0,即1 - 푎
푎 <0,∴a>1 或 a<0,故选 A.
5.A 由题意得,方程푥2
푚-푦2
푚=1 表示双曲线,则 m≠0,
∴“m>0”是方程“푥2
푚-푦2
푚=1 表示双曲线”的充分不必要条件,故选 A.
6.A 对于 A,其逆命题是“若 x>|y|,则 x>y”,它是真命题.这是因为 x>|y|≥y,所以必有 x>y;对于 B,否命
题是“若 x≤1,则 x2≤1”,它是假命题,如 x=-5,x2=25>1;对于 C,其否命题是“若 x≠1,则 x2+x-2≠0”,因为当
x=-2 时,x2+x-2=0,所以它是假命题;对于 D,若 x2>0,则 x≠0,不一定有 x>1,因此原命题的逆否命题是假
命题.
7.A 不等式|x-2|<1 的解集 A=(1,3),不等式 x2+x-2>0 的解集是 B=(-∞,-2)∪(1,+∞).
∵集合 A 是集合 B 的真子集,
∴“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.故选 A.
8.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 否命题既否定题设又否定结论.
9.(0,2) 由|x-1|≤2,得-1≤x≤3,则p:x<-1 或 x>3.由 x2-2x+1-a2≥0,解得 x≤1-a 或 x≥1+a.令 P={x|x<-1 或
x>3},Q={x|x≤1-a 或 x≥1+a},因为p 是 q 的充分不必要条件,所以 P⫋Q,即{푎 > 0,
1 - 푎 ≥ -1,
1 + 푎 < 3
或{푎 > 0,
1 - 푎 > -1,
1 + 푎 ≤ 3,
解
得 03,即 m>2.故实数 m 的取值范围是(2,+∞).
11.1 由题意知 m≥(tan x)max.
∵x∈[0,π
4],∴tan x∈[0,1].
∴m≥1.故 m 的最小值为 1.
12.B 原命题 p 显然是真命题,故其逆否命题也是真命题.而其逆命题是“若 a1b2-a2b1=0,则两条直线
l1 与 l2 平行”,这是假命题.因为当 a1b2-a2b1=0 时,还有可能 l1 与 l2 重合,逆命题是假命题,从而否命题也
为假命题,故 f(p)=2.
13.C 当 a=1 时,直线 l1 与 l2 的斜率相等,都是-1
2,截距不相等,得到两条直线平行;
当 l1 与 l2 平行时,有푎
1= 2
푎 + 1≠ -1
4 ,解得 a=-2 或 a=1.故选 C.
14.B 对于①,其否命题是“若 x2+y2=0,则 x,y 全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命
题是“若两个多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,Δ=1+4m,
当 m>0 时,Δ>0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题,即③为真命题;对于④,原命题为真,故逆
否命题也为真.因此是真命题的是①③④.
15.(1,2] ∵p 是 q 的必要不充分条件,∴q⇒p,且 p q.
令 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 B⫋A.
又 B={x|20 时,A={x|a0 时,有{푎 ≤ 2,
3 < 3푎,解得 1=2,<0.9>=1,即|x-y|<1,可得不到=.
由=,易知|x-y|<1,所以“|x-y|<1”是“=”的必要不充分条件.
17.A 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立{푥 - 2푦 + 푎 = 0,
푥2 + 푦2 = 2, 得 5y2-4ay+a2-2=0,
直线 x-2y+a=0 与圆 O:x2+y2=2 相交于 A,B 两点,
∴Δ=16a2-20(a2-2)>0,解得 a2<10,
∴y1+y2=4푎
5 ,y1y2=푎2 - 2
5 ,
푂퐴·푂퐵=0⇔x1x2+y1y2=0,
∴(2y1-a)(2y2-a)+y1y2=0,
∴5y1y2-2a(y1+y2)+a2=0,
∴5×푎2 - 2
5 -2a×4푎
5 +a2=0,
解得 a=± 5,
则“a= 5”是“푂퐴·푂퐵=0”的充分不必要条件.故选 A.
