【数学】重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期期末联考试题（解析版）

【数学】重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期期末联考试题（解析版）

重庆市主城区七校 2019-2020 学年 高二下学期期末联考试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150 分，考试时间120 分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题.（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项） 1．（改编）若 2 1 iz i   （其中i 是虚数单位）,则 z  （ ） A． 4 B． 2 C．1 D． 2 2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出 四种模型的相关指数 R2 分别为 0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对 应的相关指数 R2 的值是（ ） A．0.55 B．0.86 C．0.65 D．0.97 3．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布 N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为 0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ） A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2 4．（改编）曲线 y＝x2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为（ ） A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝0 5．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 B，C， D 中选择，其他四个号码可以从 0～9 这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个 号码(从左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择，其他号码只想在 1,3,6,9 中选择，则他的车 牌号码可选的所有可能情况有（ ） A．180 种 B．360 种 C．720 种 D．960 种 6．从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)＝3，则 D(X)＝（ ） A．8 5 B．6 5 C．4 5 D．2 5 7．（改编）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程   axby 中的  b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 额为（ ） A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架歼-15 飞机准备 着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方 法有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．48 种 9．下图是相关变量 yx, 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所 有数据，得到线性回归方程： 11   axby ，相关系数为 1r ；方案二：剔除点 32,10 ，根 据剩下数据，得到线性回归方程: 22   axby ，相关系数为 2r ；则（ ） A． 1 21 0r r    B． 2 10 1r r   C． 1 20 1r r   D． 2 11 0r r    10．设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f′(x)的图象可能是（ ） 11．（原创）有 6 名医生到 3 个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不 同分派方法种数为（ ） A． 216 B． 729 C．540 D． 420 12．已知函数 2( ) 3 5f x x x   ， ( ) lng x ax x  ，若对 (0, )x e  ， 1 2, (0, )x x e  且 1 2x x ，使得 ( ) ( )( 1,2)if x g x i  ，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1 6,e e      B． 7 41 ,ee      C． 7 41 60, ,ee e          D． 7 46 ,ee      第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡相应位置） 13．（原创）若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z 的虚部为 . 14．（改编）篮子里装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球。某人从篮子中随机取出两个球， 记事件 A＝“取出的两个球颜色不同”，事件 B＝“取出一个红球，一个白球”，则 P(B|A) ＝ 15．（改编）若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则 a1＋a2＋…＋a7 的值是 . 16．（改编）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲 只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四 名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有 种． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）（改编）已知二项式 n xx       13 的展开式中各项的系数和为 256. （1）求 n； （2）求展开式中的常数项. 18．（本小题满分 12 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银 行卡将被锁定。小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银 行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝 试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。 （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望。 19．（本小题满分 12 分）（改编）已知函数 f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0)) 处的切线方程为 y＝4x＋4. （1）求 a，b 的值； （2）讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值. 20．（本小题满分 12 分）（改编）对甲、乙两名篮球运动员分别在 100 场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布 直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示： （1）估计甲在一场比赛中得分不低于 20 分的概率。 （2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明) （3）在甲所进行的 100 场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的 得分，试计算甲每场比赛的平均得分 分值 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) 场数 10 20 40 30 21．（本小题满分 12 分）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题 的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数 学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使 用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查 的学生中抽取了男、女学生各 50 人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表： 将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过 20 次的行为视为“经常使用网络搜题”，不 超过 20 次的视为“偶尔或不用网络搜题”. （1）根据已有数据，完成下列 2 2 列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在 犯错误的概率不超过 1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样 的方法每次抽取一个人，抽取 4 人，记经常使用网络搜题的人数为 X ，若每次抽取的结果 是相互独立的，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcx a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据： 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) ln( 1) ( 1) 1( R)f x x k x k      . （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若 ( ) 0f x  在定义域内恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）证明：  2 *ln 2 ln3 ln 4 ln 2, N3 4 5 1 4 n n n n nn       . 参考答案 1--4 D D B A 5---8 D B B C 9---12 C A C D 13．－3 14． 3 13 15．125 16．20 一、选择题.（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项） 1．（改编）若 2 1 iz i   （其中i 是虚数单位）,则 z  （ ） A． 4 B． 2 C．1 D． 2 【解析】      2 12 11 1 1 i iiz ii i i       ,故 2 21 1 2z    . 故选：D 2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出 四种模型的相关指数 R2 分别为 0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对 应的相关指数 R2 的值是（ ） A．0.55 B．0.86 C．0.65 D．0.97 【解析】由题意，四种模型的相关指数 R2 分别为 0.97，0.86，0.65，0.55， 根据在回归分析中，模型的相关指数 R2 越接近于 1，其拟合效果就越好， 可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数 R2 的值是 0.97．故选 D． 3．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布 N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为 0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ） A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2 解析：由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝ 0.1. 答案：B 4．（改编）曲线 y＝x2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为（ ） A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝0 解析 y′＝2x＋1 x ，故 y′|x＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝3(x－1)，化简整理得 3x－y －2＝0. 答案 A 5．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 B，C， D 中选择，其他四个号码可以从 0～9 这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个 号码(从左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择，其他号码只想在 1,3,6,9 中选择，则他的车 牌号码可选的所有可能情况有（ ） A．180 种 B．360 种 C．720 种 D．960 种 解析 按照车主的要求，从左到右第一个号码有 5 种选法，第二位号码有 3 种选法，其 余三位号码各有 4 种选法。因此车牌号码可选的所有可能情况有 5×3×4×4×4＝960(种)。 答案 D 6．从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取 5 次，设摸得白球数为 X，已知 E(X)＝3，则 D(X)＝（ ） A．8 5 B．6 5 C．4 5 D．2 5 解析 由题意，X～B 5， 3 m＋3 ， 又 E(X)＝ 5×3 m＋3 ＝3，∴m＝2， 则 X～B 5，3 5 ，故 D(X)＝5×3 5× 1－3 5 ＝6 5. 答案 B 7．（改编）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 中的b ^ 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为（ ） A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 解析：样本中心点是(3.5,42)，a ^ ＝ y －b ^ x ，则a ^ ＝ y －b ^ x ＝42－9.4×3. 5＝9.1，所以 回归直线方程是y ^＝9.4x＋9.1，把 x＝6 代入得y ^＝65.5，故选 B。 8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架歼-15 飞机准备 着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方 法有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．48 种 解析 将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有 A22·A 22种排法。而 后将丙、丁进行插空，有 3 个空，有 A 23种排法，故共有 A22·A22·A23＝24 种排法。 答案 C 9．下图是相关变量 ,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中 所有数据，得到线性回归方程： 1 1ˆy b x a  ，相关系数为 1r ；方案二：剔除点(10,32) ， 根据剩下数据，得到线性回归方程： 2 2ˆy b x a  ，相关系数为 2r ；则（ ） A． 1 21 0r r    B． 2 10 1r r   C． 1 20 1r r   D． 2 11 0r r    【解析】由散点图分布图可知,变量 x 和 y 成正相关，所以 1 20 1,0 1r r    ，在剔除 点 (10,32) 之后，且可看出回归直线 2 2ˆy b x a  的线性相关程度更强, 2r 更接近 1.所以 1 20 1r r   .故选 C. 10．设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f′(x)的图象可能是（ ） 解析 如图所示，当 x∈(－∞，x0)时，函数 f(x)为增函数，当 x∈(x0，0)和 x∈(0，＋∞) 时，函数 f(x)为减函数，∴x＝x0 是函数 f(x)的极大值点，可得 f′(x0)＝0，且当 x∈(－∞，x0) 时，f′(x)＞0，当 x∈(x0，0)和 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.由此对照各个选项，可得函数 y＝f′(x) 的图象只有 A 项符合. 答案 A 11．（原创）有 6 名医生到 3 个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不 同分派方法种数为（ ） A． 216 B． 729 C．540 D． 420 【解析】人数进行分组共有三种情况：1,1,4 ；1,2,3； 2,2,2 ， 若分组分1,1,4 ，共有 4 1 1 36 2 1 1 32 2 C C C A 90AN     ；若分组分1,2,3，共有 4 2 1 3 2 6 3 1 3C C C A 360N      ； 若分组分 2,2,2 ，共有 2 2 2 36 4 2 3 33 3 C C C A 90AN     .不同分派方法种数为 540N  .故 选 C. 12．已知函数 2( ) 3 5f x x x   ， ( ) lng x ax x  ，若对 (0, )x e  ， 1 2, (0, )x x e  且 1 2x x ，使得 ( ) ( )( 1,2)if x g x i  ，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1 6,e e      B． 7 41 ,ee      C． 7 41 60, ,ee e          D． 7 46 ,ee      【答案】D 【详解】因为  g x ax lnx  ，故   1axg x x   ， 下面讨论  g x 的单调性： 当 0a  时，   0g x  ，故  g x 在区间 0,e 上单调递减； 当 10,a e     时，  0,x e 时，   0g x  ，故  g x 在区间 0,e 上单调递减； 当 1a e  时，令   0g x  ，解得 1x a  ， 故  g x 在区间 10, a      单调递减，在区间 1 ,ea      上单调递增. 又  1 1 , 1ag lna g ea e         ，且当 x 趋近于零时，  g x 趋近于正无穷； 对函数  f x ，当  0,x e 时，   11,54f x     ； 根据题意，对 (0, )x e  ， 1 2, (0, )x x e  且 1 2x x ，使得 ( ) ( )( 1,2)if x g x i  成立， 只需  1 11, 54g g ea       ， 即可得 111 , 1 54lna ae    ， 解得 7 46 ,a ee      . 故选：D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡相应位置） 13．（原创）若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z 的虚部为 ________. 解析 因为 z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以 z ＝2－3i，故 z 的虚部为－3 14．（改编）篮子里装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球。某人从篮子中随机取出两个球， 记事件 A＝“取出的两个球颜色不同”，事件 B＝“取出一个红球，一个白球”，则 P(B|A) ＝ ________ 解析：事件 A 的选法有 C12C13＋C12C14＋C13C14＝26 种，事件 B 的选法有 C12C13＝6，所以 P(B|A) ＝ 6 26 ＝ 3 13 。 15．（改编）若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则 a1＋a2＋…＋a7 的值是 ________. 解析 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2， 又 a0＝C071720＝1，a8＝C77(－2)7＝－128， 所以 a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125. 16．（改编）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客 甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这 四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________ 种． 【答案】20 【解析】 当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支 付宝或现金，故有 1+C21C21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人 选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有 1+C21C21＝5，此时共有 5+5=10 种， 当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信 或现金，故有 1+C21C21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择 支付宝，另一人只能选微信或现金，故有 1+C21C21＝5，此时共有 5+5=10 种， 综上故有 10+10＝20 种， 故答案为 20. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 17．（本小题满分 10 分）(改编）已知二项式 3 x＋1 x n 的展开式中各项的系数和为 256. （1）求 n；（2）求展开式中的常数项. 解 （1）由题意得 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝256， ∴2n＝256，解得 n＝8. ----------------------------------4 分 （2）该二项展开式中的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr8(3 x)8－r· 1 x r ＝Cr8·x 8－4r 3 ，-------------------------8 分 令8－4r 3 ＝0，得 r＝2，此时，常数项为 T3＝C28＝28. -----10 分 18．（本小题满分 12 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银 行卡将被锁定。小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银 行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝 试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。 （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望。 解析：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A， 则 P(A)＝5 6×4 5×3 4 ＝1 2 。------3 分 （2）依题意得，X 所有可能的取值是 1,2,3。-----5 分 又 P(X＝1)＝1 6 ，P(X＝2)＝5 6×1 5 ＝1 6 ，P(X＝3)＝5 6×4 5×1＝2 3 。----8 分 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 6 1 6 2 3 所以 E(X)＝1×1 6 ＋2×1 6 ＋3×2 3 ＝5 2 。------12 分 19．（本小题满分 12 分）（改编）已知函数 f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0)) 处的切线方程为 y＝4x＋4. （1）求 a，b 的值； （2）讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值. 解 （1）f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.--------2 分 由已知得 f(0)＝4，f′(0)＝4，故 b＝4，a＋b＝8.从而 a＝4，b＝4.-----5 分 （2）由（1）知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2) ex－1 2 .-------------------------7 分 令 f′(x)＝0，得 x＝－ln 2 或 x＝－2. 从而当 x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当 x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0. 故 f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增， 在(－2，－ln 2)上单调递减. ------------------------------------10 分 当 x＝－2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(－2)＝4(1－e－2.)-----12 分 20．（本小题满分 12 分）（改编）对甲、乙两名篮球运动员分别在 100 场比赛中的得分情况 进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示： 分值 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) 场数 10 20 40 30 （1）估计甲在一场比赛中得分不低于 20 分的概率。 （2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明) （3）在甲所进行的 100 场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的 得分，试计算甲每场比赛的平均得分。 解析：（1）根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于 20 分的频率为 0.048×10 ＋0.024×10＝0.48＋0.24＝0.72。 即甲在一场比赛中得分不低于 20 分的概率为 0.72。------4 分 （2）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中在[20,30)，乙的成绩比较分散， 所以甲更稳定。----------------------------------------7 分 （3）因为组距为 10， 所以甲在区间[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)上得分频率值分别为 8 100 ，20 100 ，48 100 ，24 100 。 设甲的平均得分为 S， 则 S＝ 1 100(5×8＋15×20＋25×48＋35×24)＝23.80。--------12 分 21．（本小题满分 12 分）（改编）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各 学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但 是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学 生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从 参与调查的学生中抽取了男、女学生各 50 人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表： 将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过 20 次的行为视为“经常使用网络搜题”，不 超过 20 次的视为“偶尔或不用网络搜题”. （1）根据已有数据，完成下列 2 2 列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在 犯错误的概率不超过 1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样 的方法每次抽取一个人，抽取 4 人，记经常使用网络搜题的人数为 X ，若每次抽取的结果 是相互独立的，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcx a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据： 【解析】 【详解】（1）由题意得： 经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计 男生 22 28 50 女生 38 12 50 合计 60 40 100 ∵ 2 2 100 (22 12 38 28) 32 10.667 6.63560 40 50 50 3         x ∴在犯错误的概率不超过 1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.-------5 分 （2）依题意， 2 3~ 4, 5     x B . 0 4 0 4 3 2 16( 0) 5 5 625             P X C ； 1 3 1 4 3 2 96( 1) 5 5 625             P X C 2 2 2 4 3 2 216( 2) 5 5 625             P X C 3 1 3 4 3 2 216( 3) 5 5 625             P X C 4 0 4 4 3 2 81( 4) 5 5 625             P X C .-----------------------------------------8 分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 ----------------------------------------------------------------------------------10 分 3 12( ) 4 5 5E X    ----------------------------------------------------------12 分 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) ln( 1) ( 1) 1( R)f x x k x k      . （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若 ( ) 0f x  在定义域内恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）证明：  2 *ln 2 ln3 ln 4 ln 2, N3 4 5 1 4 n n n n nn       . 试题解析：（1）定义域为  1, ，   1 1 1 1 k kxf x kx x       --------2 分 若 0k  ，   1 01f x kx     ，  f x 在 1, 上单调递增 若 0k  ，   1 1 kk x kf x x        ， 所以，当   0f x  时， 11 1x k    ，当   0f x  时， 1 1x k   综上：若 0k  ，  f x 在 1, 上单调递增； 若 0k  ，  f x 在 11, 1k     上单调递增，在 1 1,k      上单调递减-------5 分 （2）由（1）知， 0k  时，  2 1 0f k   不可能成立； 若 0k  ，   0f x  恒成立  max 1 1 0f x f k        ， 1 1 ln 0f kk        ，得 1k  综上， 1k  .------------------------------------------------9 分 （3）由（2）知，当 1k  时，有   0f x  在 1, 上恒成立，即  ln 1 2x x   令  2 *1 N , 1x n n n    ，得 2 2ln 1n n  ，即 ln 1 1 2 n n n  ln2 ln3 ln4 ln 3 4 5 1 n n       11 2 3 1 2 2 2 2 4 n nn       ，得证.-----12 分