2019届二轮复习第1讲　“六招”秒杀客观题——快得分学案（全国通用）

2019届二轮复习第1讲　“六招”秒杀客观题——快得分学案（全国通用）

第1讲　“六招”秒杀客观题——快得分 题型解读　高考客观题分为选择题与填空题，选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选项两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解.而填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”.解答此类题目的方法一般有直接法、特例法、数形结合法、构造法、排除法等.‎ 方法一　直接法 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.‎ ‎【例1】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________.‎ 解析　(1)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.‎ ‎(2)设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.‎ 由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　(1)　(2)＋＝1‎ 探究提高　1.直接法是解答客观题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果.‎ ‎2.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝(　　)‎ A.8 B.－8 C.4 D.－4‎ ‎(2)(2018·石家庄质检)若抛物线y 2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.‎ 解析　(1)由{an}为等比数列，设公比为q.‎ 即 显然q≠－1，a1≠0，‎ 得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，‎ 所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.‎ ‎(2)设点M的横坐标为x0，易知准线x＝－1，∵点M到焦点的距离为10，根据抛物线定义，x0＋1＝10，∴x0＝9，因此点M到y轴的距离为9.‎ 答案　(1)B　(2)9‎ 方法二　特例法 在求解选择题或填空题时，可以取一个(或一些)特殊值(特殊点、特殊函数、特殊位置、特殊图形)来确定结果进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.‎ ‎【例2】 (1)(2017·山东卷)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A.a＋＜＜log2(a＋b)‎ B.＜log2(a＋b)＜a＋ C.a＋＜log2(a＋b)＜ D.log2(a＋b)＜a＋＜ ‎(2)AD，BE分别是△ABC的中线，||＝||＝1，且与的夹角为120°，则·＝________.‎ 解析　(1)令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)，则＜log2(a＋b)＜a＋，B正确.‎ ‎(2)等边三角形为符合题意的△ABC的一个特例，则AB＝，‎ ‎∴·＝||||cos 60°＝.‎ 答案　(1)B　(2) 探究提高　1.特例法具有简化运算和推理的功效，填空题的结论唯一或题设条件暗示答案为定值是利用该法的前提.‎ ‎2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·长春一模)已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2－y2＝λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为(　　)‎ A. B. C.λ D.无法确定 ‎(2)(2018·佛山调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.‎ 解析　(1)因为点M为双曲线上任一点，所以可取点M双曲线的右顶点，由渐近线y＝x知△OMN为等腰直角三角形，此时|OM|＝，|ON|＝|MN|＝，所以|ON|·|MN|＝.‎ ‎(2)法一　当△ABC为等边三角形时，满足题设条件，‎ 则c＝，C＝且a＝b＝.‎ ‎∴△ABC的面积S△ABC＝absin C＝.‎ 法二　∵c2＝(a－b)2＋6，‎ ‎∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①‎ ‎∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②‎ 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ 答案　(1)B　(2) 方法三　图解法(数形结合法)‎ 对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.‎ ‎【例3】 (1)设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2018·武汉模拟改编)若函数y＝f(x)图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有________对.‎ 解析　(1)直线y＝kx＋k(k>0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝kx＋k(k>0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以≤k<.‎ ‎(2)作出f(x)＝的图象，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数(如图).‎ 由图象知，函数f(x)有两对“和谐点对”.‎ 答案　(1)B　(2)2‎ 探究提高　1.本例的求解转化为研究函数图象的位置关系，利用几何直观，再辅以简单的计算，可有效提高解题速度和准确性.‎ ‎2.运用数形结合(图解法)的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象导致错误的选择.‎ ‎【训练3】 (1)记集合P＝，Q＝{(x，y)|0≤y≤}表示的平面区域分别为区域P，区域Q，P∩Q表示的平面区域为区域M，若向区域Q内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在区域M内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2018·潍坊质检)已知函数f(x)在区间[－1，1]上的解析式为f(x)＝2|x|，且周期为2，若在区间[－2，3]上关于x的方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　(1)在平面直角坐标系中分别作出区域P，Q，则区域M是图中的阴影部分.‎ 由图形的对称性可知，区域M可以看作半径为2的半圆的.‎ 又区域Q表示的平面图形是半径为2的半圆，‎ 于是所求的概率P＝.‎ ‎(2)作出y＝f(x)，x∈[－2，3]的图象(如图)，‎ 又直线y＝(x＋2)a过定点(－2，0)，依题意y＝a(x＋2)与y＝f(x)，x∈[－2，3]的图象有四个交点，‎ 则解之得5π，只有D满足.‎ ‎(2)满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上.事件“x＋y≥”对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较，可得p2b>c.‎ ‎(2)如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，故C项满足.‎ 答案　(1)a>b>c　(2)C 方法五　构造法 用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型，从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的，首先应观察题目，观察已知条件形式上的特点，然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型，深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.‎ ‎【例5】 (1)(2015·全国Ⅱ卷改编)设函数f′(x)是定义在(0，＋∞)上函数f(x)的导函数，f(1)＝0，如果满足xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.‎ ‎(2)(2018·合肥模拟)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.‎ 解析　(1)令g(x)＝，则g′(x)＝，由于xf′(x)－f(x)<0，得g′(x)<0，‎ ‎∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 由f(1)＝0，知g(1)＝0，∴g(x)>0的解集为(0，1)，‎ 因此f(x)>0的解集为(0，1).‎ ‎(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.‎ ‎∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的体积V＝＝π.‎ 答案　(1)(0，1)　(2)π 探究提高 ‎　1.第(1)题构造函数，利用函数的单调性解不等式；第(2)题将三棱锥补成正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，使问题容易得到解决.‎ ‎2.构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.‎ ‎【训练5】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)‎ A.－ B. C. D.1‎ ‎(2)在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________.‎ 解析　(1)法一　构造函数g(x)＝ex＋e－x，可知该函数为偶函数，其图象关于y轴对称.把g(x)的图象向右平移一个单位长度，得到函数h(x)＝ex－1＋e－x＋1的图象，该函数图象关于直线x＝1对称.‎ 函数y＝x2－2x的图象也关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.函数f(x)有唯一零点，则该零点只能是x＝1.‎ 由f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.‎ 法二　构造函数g(x)＝f(x＋1)＝x2－1＋a(ex＋e－x)，易知函数g(x)的图象是由函数f(x)的图象向左平移一个单位长度得到的，所以函数f(x)有唯一的零点等价于函数g(x)有唯一零点.‎ 显然函数g(x)为偶函数，如果其有唯一零点，则该零点只能是x＝0，由g(0)＝－1＋2a＝0，解得a＝.‎ ‎(2)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，‎ 又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，‎ ‎∴数列{an＋1}是首项为2，公比q＝2的等比数列，‎ 因此an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.‎ 答案　(1)C　(2)an＝2n－1‎ 方法六　排除(淘汰)法 排除(淘汰)法是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.‎ ‎【例6】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)‎ ‎(2)若函数f(x)＝x＋asin x－sin 2x在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)‎ A.[－1，1] B. C. D. 解析　(1)当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.‎ ‎(2)根据选项特点验证a＝1，a＝－1是否符合题意.‎ 当a＝1时，f(x)＝x＋sin x－sin 2x，‎ 则f′(x)＝1＋cos x－cos 2x，‎ 当x＝π时，f′(π)＝－<0，不符合题意，排除选项A.‎ 当a＝－1时，f(x)＝x－sin x－sin 2x，‎ 则f′(x)＝1－cos x－cos 2x，‎ 当x＝0时，f′(0)＝－<0，不符合题意，排除选项B，D.只有选项C满足.‎ 答案　(1)D　(2)C 探究提高　1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.‎ ‎2.‎ ‎(1)排除法常与特例法、数形结合法联合使用，在高考题求解中更有效发挥功能.(2)如果选项之间存在包含关系，必须根据题意才能判定.‎ ‎【训练6】 (1)(2018·潍坊质检)函数y＝x2－ln|x|的图象大致为(　　)‎ ‎(2)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则下面正确的是(　　)‎ A.|x|＝x|sgn x| B.|x|＝xsgn |x|‎ C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x 解析　(1)由y＝x2－ln|x|的定义域{x|x∈R且x≠0}，排除B，C；当x>0时，y＝x2－ln x，令y′＝2x－＝0，得x＝，∴f(x)＝x2－ln x在(0，＋∞)上不单调，排除选项D，A项正确.‎ ‎(2)当x<0时，|x|＝－x，sgn x＝－1.‎ 则x·|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝x.‎ 因此，选项A，B，C均不成立.‎ 答案　(1)A　(2)D ‎1.从考试的角度来看，解客观题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以解题可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因.另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大做，真正做到准确和快速.‎ ‎2.填空题的主要特征是题目小、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.‎