【数学】2020届一轮复习人教A版复数的解题策略（理）学案

【数学】2020届一轮复习人教A版复数的解题策略（理）学案

专题31 复数的解题策略 一．【学习目标】‎ ‎1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．‎ ‎2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．‎ ‎3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．‎ 二．知识点与方法总结 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a=0，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．‎ ‎(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔a =c ,b=d (a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a =c ,b=-d (a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|．‎ ‎2．复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(4)除法：＝＝ ‎＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎3．两条性质 ‎(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；‎ ‎(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.‎ ‎4.方法规律总结 ‎（1）.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.‎ ‎（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.‎ ‎（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.‎ 三．典例分析 ‎（一）复数的概念 例1．若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，‎ 故选 练习1．若复数z＝（3﹣6i）（1+9i），则（　　）‎ A．复数z的实部为21‎ B．复数z的虚部为33‎ C．复数z的共轭复数为57﹣21i D．在复平面内，复数z所对应的点位于第二象限 ‎【答案】C 练习2．若复数（为虚数单位），则复数在坐标平面内对应点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】z，则复数z在复平面内对应点的坐标是：（1，-1）．‎ 故选：B．‎ ‎（二）复数的几何意义 例2．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），‎ ‎∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．‎ 练习1．复数在复平面上对应的点位于　　‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】因为 ‎ 所以复数z在复平面所对应的点是（1,3）‎ 练习2．设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，‎ ‎∴，‎ ‎∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．‎ 故选：D．‎ 练习3．已知，且，则实数的值为（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴‎ ‎∴＝3,得，则，‎ ‎∴a=，故选：C． ‎ ‎，建立等式,‎ 建立等式，得到，解得，故错误。故选B。‎ 练习4．复数（是虚数单位）的共轭复数表示的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以表示的点在第二象限，故选B．‎ 练习5．复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以其对应点的坐标为，‎ 设对应点的坐标为，由得，即 所以可看出，点与圆上任意一点的距离，所以其最大值为.‎ 故答案为 ‎（六）复数综合 例6．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以对应点，在第二象限，选B.‎ 练习1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ ‎①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，a－c＝0⇒a＝c”；‎ ‎②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；‎ ‎③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．‎ ‎④“若x∈R，则|x|<1⇒－1

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