2020届二轮复习平面向量（一）学案（全国通用）

2020届二轮复习平面向量（一）学案（全国通用）

年 级： 辅导科目：数学 课时数：‎ 课 题 平面向量(一)‎ 教学目的 教学内容 一、 知识网络 ‎ ‎ 二、命题分析 从近几年的高考可以看出，命题呈现以下特点：‎ ‎1．对于平面向量的基本概念及运算，将继续以选择题或填空题的形式单独考查，难度较低．‎ ‎2．重点考查向量的运算，向量的坐标运算和数量积为必考内容．‎ ‎3．依然有可能出现以向量为工具，在二次曲线、不等式、三角恒等变换、解三角形等知识交汇点处命题的题目，而且综合性可能会加强，难度在中档以上．‎ 三、复习建议 ‎1．数形结合思想是向量加法、减法运算的核心．向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．‎ ‎2．向量有几何法和坐标法两种表示形式，因此它的运算也有两种方式，故向量问题的解决有两种途径——几何法和代数法，在解决具体问题时要善于从不同的角度考虑问题．引入平面向量的坐标可以使向量运算完全代数化，成为数与形结合的载体；同时，增强数形转化的能力和培养运用运动变化的思想进行等价转化问题的能力，初步领会数学建模的思想和方法．‎ ‎3．数量积及其应用是本单元的重点和难点，只有对其定义及运算律理解透彻，才能准确灵活地运用．高考中主要考查判断两个向量是否垂直或是寻求两个向量垂直的条件，利用向量的数量积等条件求向量或向量的坐标．‎ 四、知识讲解 第一节 平面向量的概念及其线性运算 ‎（一）高考目标 考纲解读 ‎1．了解向量的实际背景．‎ ‎2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．‎ ‎3．理解向量的几何表示．‎ ‎4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎6．了解向量线性运算的性质及其几何意义 考向预测 ‎1．重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示．‎ ‎2．多以选择题、填空题的形式呈现，常与解析几何相结合，在知识的交汇点处命题．‎ ‎3．向量是“形”与“数”的具体体现，注意数形结合思想的应用．‎ ‎（二）课前自主预习 知识梳理 ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或模)．‎ ‎(2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于 的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向 或 的 向量．平行向量又叫 ，任一组平行向量都可以移到同一条直线上．‎ 规定：0与任一向量 ．‎ ‎(5)相等向量：长度 且方向 的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度 且方向 的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 法则 法则 ‎(1)交换律：a＋b＝ .‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝ ‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 法则 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝ .‎ ‎(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ .‎ λ(μa)＝ ‎ ‎ (λ＋μ)a＝ ‎ λ(a＋b)＝ ‎ ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎（三）基础自测 ‎1．(2018·四川理)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)‎ A．8　　　　　　B．‎4 ‎‎ C．2 D．1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵|＋|＝|－|，‎ ‎∴△ABC是以A为直角顶点的三角形，‎ 又M是BC的中点，则||＝||＝×4＝2.‎ ‎2．(教材改编题)下列命题正确的是(　　)‎ A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个 C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D．相等的向量必是共线向量 ‎[答案]　D ‎[解析]　向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方向，又规定零向量与任一向量平行，所以零向量是唯一的一个方向不确定的向量，故A错误；对平面内的任一向量a而言，由于＝1，所以即是一个单位向量，由a的任意性，可知B错误；共线向量即平行向量，包括方向相同或方向相反的非零向量及零向量，故C错误；由于相等向量即长度相等且方向相同的向量，所以D正确．‎ ‎3．(2009·湖南文)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)‎ A.＋＋＝0 B.－＋＝0‎ C.＋－＝0 D.－－＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　考查平面向量的线性运算．‎ ＋＋＝＋＋＝0.‎ ‎4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)‎ A.＋＝0 B.＋＝‎0 ‎‎ C.＋＝0 D.＋＋＝0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　方法一：由向量加法的平行四边形法则易知，与的和向量过AC边上的中点，长度是AC边上的中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故＋＝0.‎ 方法二：∵＋＝2，‎ ‎∴＋＋＋＝0，即＋＝0.‎ ‎5．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，且＝a，＝b，则等于________．‎ ‎[答案]　b－a ‎[解析]　设F是AB的中点，连接FD，则＝＝－＝－＝b－a.‎ ‎6．将4(‎3a＋2b)－2(b－‎2a)化简成最简式为________．‎ ‎[答案]　‎16a＋6b ‎[解析]　4(‎3a＋2b)－2(b－‎2a)＝‎12a＋8b－2b＋‎4a＝‎16a＋6b.‎ ‎7．如图，＝，AN＝.求证：＝.‎ ‎[证明]　＝－＝－＝(－)＝.‎ ‎（四）典型例题 ‎1.命题方向：向量的有关概念 ‎[例1]　给出下列六个命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎③若＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④在▱ABCD中，一定有＝；‎ ‎⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；‎ ‎⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.‎ 其中不正确的个数是(　　)‎ A．2　　 B．‎3　　‎　　 C．4　　　 D．5‎ ‎[分析]　正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可．‎ ‎[解析]　①两个向量相等，只需大小相等，方向相同，起点不一定相同，∴向量只要不改变它的大小和方向可自由移动．∴①不正确．‎ ‎②|a|＝|b|，但方向不一定相同．‎ ‎∴a不一定等于b，∴②错．‎ ‎③＝时，A、B、D、C有可能共线，∴③错．‎ ‎④正确．⑤正确．‎ ‎⑥中当b＝0时，a与c不一定平行，∴⑥错．‎ ‎∴①②③⑥不正确．④⑤正确．∴应选C.‎ ‎[答案]　C ‎[点评]　准确理解向量的有关概念是解决这类题目的关键，一定要注意向量不仅有大小，而且有方向，这是与数量的最大不同之处，且莫忽视解决与向量概念有关的问题时，一定要考虑全面，要考虑一些特殊情况，如零向量、共线向量所在直线是平行向量还是重合等，有时还需结合图形来分析．‎ 跟踪练习1：‎ 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由：‎ ‎(1)向量a与向量b平行，则向量a与向量b方向相同或相反；‎ ‎(2)向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；‎ ‎(3)若干个向量首尾相接，形成封闭的图形(即向量链)，则这些向量的和等于0；‎ ‎(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量．‎ ‎[解析]　(1)不正确，因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．‎ ‎(2)不正确．若向量与向量是共线向量，则向量与向量在同一直线上或者所在直线平行，因此A、B、C、D四点不一定共线．(3)正确．(4)正确．‎ ‎[点评]　本题主要考查学生对于零向量有关性质的掌握及相等向量的充要条件．学习0应掌握的几点：(1)0的相等向量是0；0的相反向量是0；0与任一向量的数量积为0；(2)0与任一向量平行(共线)；(3)0与任一向量a垂直；(4)0能与任一向量a进行加法、减法、数乘等运算.‎ ‎2.命题方向：向量的线性运算 ‎[例2]　在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使＝.DC与OA交于E，设＝a，＝b，用a，b表示向量及向量.‎ ‎[分析]　本题关键是寻找、与a，b的联系，因此可由向量线性运算来解决问题．‎ ‎[解析]　∵A是BC的中点，‎ ‎∴＝(＋)，‎ 即＝2－＝‎2a－b，‎ ＝－＝－＝‎2a－b－b＝‎2a－b.‎ 跟踪练习2：‎ 如图，D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，求证：＋＋＝0.‎ ‎[分析]　在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢，即用，，来分别表示待求的向量．‎ ‎[证明]　因为＝＋，＝＋，‎ 所以2＝＋＋＋.‎ 即2＝＋.‎ 同理2＝＋，2＝＋。‎ 所以2(＋＋)＝＋＋＋＋＋＝0.‎ 故＋＋＝0.‎ ‎3.命题方向：向量共线问题 ‎[例3]　已知非零向量e1和e2不共线．‎ ‎(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；‎ ‎(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．‎ ‎[分析]　对于(1)，要证明A、B、D三点共线，只需证存在λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2和e1＋ke2共线，则一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．‎ ‎[解析]　(1)证明：∵＝e1＋e2，‎ ＝＋＝2e1＋8e2＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，‎ ‎∴＝5.∴、共线．‎ 又∵有公共点B，∴A、B、D三点共线．‎ ‎(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，‎ ‎∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．‎ ‎∴(k－λ)e1＝(λk－1)e2.‎ ‎∵e1与e2不共线，‎ ‎∴只能有 解得k＝±1.‎ ‎[点评]　解答这类题目的关键是应用向量共线的条件，要注意两向量共线和三点共线的联系．在本例中，(1)题中向量共线并不能等同于两向量一定在同一直线上，还需确定有一个公共点．‎ 跟踪练习3：‎ 设两非零向量a和b不共线，如果＝a＋b，＝3(a－b)，＝‎2a＋8b，求证：A、B、D三点共线．‎ ‎[分析]　用向量法证明A、B、D三点共线，可以利用共线向量定理，得到＝λ(或＝λ等).∥说明直线BD和AB平行或共线；因为有公共点B，所以只能共线；从而由向量共线推出三点共线．‎ ‎[证明]　∵＝‎2a＋8b，‎ ‎∴＝＋＝‎2a＋8b＋‎3a－3b＝5(a＋b)，‎ ‎∴＝5.‎ 由向量共线定理得∥，又直线AB和BD有公共点B，因此A、B、D三点共线.‎ ‎（五）思想方法点拨：‎ ‎1．正确理解向量的概念 ‎(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．‎ ‎(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征，借助于向量，可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．‎ ‎(3)向量可以自由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上．‎ ‎2．对共线(平行)向量的理解 共线向量与平行向量是同一个概念，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．正确理解共线向量的定义，也就领会了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．‎ ‎3．平行向量基本定理 a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的互相转化，体现了数形结合的高度统一．在解题时常据此建立方程或方程组．‎ 注意：如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb，这里要注意b≠0这一限制条件，如b＝0，a≠0时，虽然有a∥b，但不存在实数λ使a＝λb；当a＝b＝0时，对任意实数λ，均有a＝λb.‎ ‎4．两个向量的和与差 两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．‎ ‎(1)向量加法法则有着丰富的几何背景，简记为“首尾相连，始终如一”；‎ ‎(2)向量减法是向量加法的逆运算，简记为“共起点，连终点，指向被减”；‎ ‎(3)向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量连加，称之为多边形法则．‎ ‎(六)课后强化作业 一、选择题 ‎1．(2018·泰安模拟)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－‎4a－b，＝－‎5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(　　)‎ A．平行四边形　　　 B．矩形 C．梯形 D．菱形 ‎[答案]　C ‎[解析]　＝＋＋＝－‎8a－2b＝2(－‎4a－b)＝2，‎ ‎∴∥，且||＝2||，‎ ‎∴ABCD为梯形．故选C.‎ ‎2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A.　　　 B.　　　 C．－　　　 D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＝2，∴－＝2(－)，‎ ‎∴＝＋.‎ 又∵＝＋λ，∴λ＝.‎ ‎3．(2009·海南、宁夏理)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)‎ A．重心　外心　垂心 B．重心　外心　内心 C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心 ‎(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题主要考查向量知识和学生分析问题的能力．‎ ‎∵O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，‎ ‎∴O是△ABC外接圆的圆心，‎ 由＋＋＝0，得N是△ABC的重心；‎ 由·＝·＝·得 ·(－)＝·＝0，‎ ‎∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC，‎ ‎∴P为△ABC的垂心．‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅱ)△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b ‎[答案]　B ‎[解析]　由角平分线定理得＝，即＝2，‎ 即＋＝2(＋)，‎ ‎∴3＝2＋，∴＝a＋b.‎ ‎5．(2009·北京理)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)‎ A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 ‎[答案]　D ‎[解析]　考查向量相等及向量平行的条件．‎ ‎∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，‎ ‎∴，∴k＝－1，λ＝－1.故选D.‎ ‎6．下列命题中真命题是(　　)‎ ‎①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb ‎②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ‎1a＋λ2b＝0‎ ‎③a与b不共线⇔若λ‎1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0‎ ‎④a与b不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ‎1a＋λ2b＝0‎ A．①或③ B．②或③ C．①或④ D．②或④‎ ‎[答案]　B ‎7．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)‎ A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查平面向量的共线问题，由＝λ＋得－＝λ，∴＝λ.则与为共线向量，又与 有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B.‎ ‎8．(2018·营口一模)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 ‎[答案]　A ‎[解析]　＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋ ‎＝＋＝－，故选A.‎ 二、填空题 ‎9．化简：‎ ‎(1)－－＝________ ；(2)(－)－(－)＝________‎ ‎[答案]　，0‎ ‎[解析]　运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．‎ ‎(1)－－＝－＝ ‎(2)解法1：(－)－(－)＝－－＋＝(＋)－(＋)＝－＝0.‎ 解法2：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.‎ 解法3：设O为平面内任意一点，则有 ‎(－)－(－)＝－－＋ ‎＝(－)－(－)－(－)＋(－)‎ ‎＝－－＋－＋＋－＝0.‎ ‎10．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，‎ 如图所示．故＝＝.‎ ‎11．若＝‎3a，＝－‎5a，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．‎ ‎[答案]　等腰梯形 ‎[解析]　∵＝‎3a，＝－‎5a，∴＝－，‎ ‎∴∥，且||≠||，‎ ‎∴四边形ABCD为梯形．‎ 又∵||＝||，∴ABCD为等腰梯形．‎ 三、解答题 ‎12．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？‎ ‎[分析]　运用向量共线的条件，确定是否存在实数k，使是d＝kc.‎ ‎[解析]　d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)‎ ‎＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.‎ 要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，‎ 即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，‎ ‎∵e1，e2不共线，∴ ‎∴λ＝－2μ.‎ 故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d与c共线．‎ ‎13．如图所示，点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.‎ ‎[解析]　如图所示，取AB中点P，连接EP、FP.‎ 在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，‎ ‎∴＝＝a.‎ 在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，‎ ‎∴＝＝－b.‎ 在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)．‎ ‎14．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.若A，B，D三点共线，试求k的值．‎ ‎[解析]　＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.若A，B，D三点共线，则∥，从而存在唯一实数λ，使＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，‎ 整理得(2－λ)e1＝－(k＋4λ)e2，‎ ‎∵e1，e2不共线，∴ 解得 即k的值为－8时，A，B，D三点共线. ‎ ‎15．如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且＝，F为BE与AC的交点．设＝a，＝b，若＝k，＝h，求k、h的值．‎ ‎[解析]　＝＋＝a＋b，∴＝h＝ha＋hb，＝＋＝－a＋ha＋hb＝(h－1)a＋hb，‎ 又＝k＝k(＋)＝k(－a＋b)＝－ka＋b，‎ ‎∴(h－1)a＋hb＝－ka＋b，‎ ‎∴，解得.‎ 第二节 平面向量的基本定理及其坐标运算 ‎（一）高考目标 考纲解读 ‎1．了解平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎2．掌握平面向量的坐标表示．‎ ‎3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ 考向预测 ‎1．平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件，是高考考查的重点，也是历年高考的热点．‎ ‎2．以选择题、填空题的形式进行考查，以中低档题为主．‎ ‎3．向量的坐标运算及共线条件，常与三角、解析几何等知识结合，在知识的交汇点处命题，以解答题形式出现，属中档题．‎ ‎（二）课前自主预习 知识梳理 ‎1．平面向量基本定理及坐标表示 ‎(1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．‎ ‎(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．‎ ‎(3)平面向量的坐标表示 ‎①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫a在x轴上的坐标， 叫a在y轴上的坐标．‎ ‎②设＝xi＋yj，则 就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立．(O是坐标原点)‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)加法、减法、数乘运算．‎ ‎(2)向量坐标的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于其 的相应坐标减去 的相应坐标．‎ ‎(3)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝λb⇔ .‎ ‎3．平面向量的坐标运算 ‎(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝.‎ ‎(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，a－b＝ ‎ λa＝ ，a∥b的充要条件是 .‎ ‎(3)非零向量a的单位向量为±a.‎ ‎（三）基础自测 ‎1．(2018·湖北理)已知ΔABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)‎ A．2　　　　 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由＋＋＝0可知，M为△ABC的重心，故＝×(＋)＝(＋)，‎ 所以＋＝3，即m＝3.‎ ‎2．(教材改编题)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(2，－3) B．e1＝(2，－3)，e2＝(5,7)‎ C．e＝(1，－2)，e2＝(－2,4) D．e1＝，e2＝ ‎[答案]　B ‎[解析]　根据基底的定义知，非零且不共线的两个向量才能可以作为平面内的一组基底．‎ A中显然e1∥e2；C中e2＝－2e1，所以e1∥e2；D中e1＝－2e2，所以e1∥e2.‎ ‎3．(2018·广东汕头模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　　)‎ A．‎3a＋b B．‎3a－b C．－a＋3b D．a＋3b ‎[答案]　B ‎[解析]　设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，‎ 即解得 ‎∴c＝‎3a－b.‎ ‎4．(2018·福建泉州模拟)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则等于(　　)‎ A．(8,1) B．(－8,1 )C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　＝(－)＝[(－5，－1)－(3，－2)]＝.‎ ‎5．已知点A(1，－2)，若点A、B的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由A、B的中点坐标为(3,1)可知B(5,4)，‎ ‎∴＝(4,6)，‎ 又∵∥a，∴4λ－1×6＝0，‎ ‎∴λ＝.‎ ‎6．(2018·海南模拟)设向量a＝，b＝，且a与b共线，则锐角α＝________.‎ ‎[答案]　30°‎ ‎[解析]　∵a与b共线，∴cosα－sinα＝0，‎ ‎∴sin(30°－α)＝0，∴锐角α＝30°‎ ‎7．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝‎2a－2b，且u∥v，求x.‎ ‎[解析]　u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，‎ v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．‎ ‎∵u∥v，‎ ‎∴由向量平行的充要条件得 ‎(2x＋1)·3－4(2－x)＝0，‎ 解得x＝ ‎（四）典型例题 ‎1.命题方向：平面向量的基本定理 ‎[例1]　如图所示，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a、b为基底表示.‎ ‎[分析]　先用平面向量基本定理设出＝ma＋nb，再利用共线向量的条件列出方程组，确定m，n的值．‎ ‎[解析]　设＝ma＋nb(m，n∈R)，‎ 则＝－＝(m－1)a＋nb，‎ ＝－＝b－a＝－a＋b.‎ 因为A，M，D三点共线，所以＝，即m＋2n＝1.‎ 而＝－＝(m－)a＋nb，‎ ＝－＝b－a＝－a＋b，‎ 因为C，M，B三点共线，所以＝，即‎4m＋n＝1.‎ 由，解得，所以＝a＋b.‎ ‎[点评]　(1)本题利用了两次共线的条件，并且注意方程思想的利用；‎ ‎(2)解决类似问题应重视平面几何的知识；‎ ‎(3)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，并熟练掌握．‎ 跟踪练习1：如图，PQ过△ABO的重心G，＝a，＝b，＝ma，＝nb，试求＋的值．‎ ‎[解析]　∵G是△ABO的重心，‎ ‎∴＝＝(＋)＝(a＋b)，‎ ‎∴＝－＝ma－(a＋b)＝a－b，‎ ＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，‎ 又∥，∴＝，‎ ‎∴(m＋n)＝mn，即＋＝3.‎ ‎2.命题方向：平面向量的坐标运算 ‎[例2]　已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C、D的坐标和的坐标．‎ ‎[分析]　根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式列方程组，求出坐标．‎ ‎[解析]　设点C、D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．‎ 因为＝，＝－，‎ 所以有和解得 和 所以点C、D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，‎ 跟踪练习2：已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M、N及的坐标．‎ ‎[解析]　∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，‎ ‎∴＝(1,8)，＝(6,3)，‎ ‎∴＝3＝(3,24)，＝2＝(12,6)．‎ 设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)，‎ ‎∴∴，‎ ‎∴M(0,20)．‎ 同理可求N(9,2)，因此＝(9，－18)．‎ ‎∴M(0,20)，N(9,2)，＝(9，－18).‎ ‎3.命题方向：平面向量共线的坐标表示 ‎[例3]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；‎ ‎(2)设d＝(x，y)，满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.‎ ‎[分析]　(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值．‎ ‎(2)由两向量平行及|d－c|＝1得出关于x，y的两个方程，解方程组即可得出x，y的值，从而求出d.‎ ‎[解析]　(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，‎ 又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ ‎∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.‎ ‎(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，‎ 又(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，‎ ‎∴ ‎∴解得或 ‎∴d＝或.‎ ‎[点评]　1.解决向量平行有关的问题，一般考虑运用向量平行的充要条件．‎ ‎2．向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．‎ 提醒：利用共线向量证明三点共线，有坐标时，只需使三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理．‎ 跟踪练习3：(2009·广东理)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.‎ ‎[答案]　(－3,1)或(－1,1)‎ ‎[解析]　考查平面向量的线性运算、共线、模及数量积的坐标表示等．‎ 设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)，‎ ‎∵|a＋b|＝1，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1①‎ 又∵a＋b平行于x轴，∴a＋b与e1＝(1,0)或e2＝(－1，0)共线，∴y－1＝0，∴y＝1.‎ 代入①中得x＝－3或－1，∴a＝(－3,1)或(－1,1).‎ ‎（五）思想方法点拨 ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)平面向量基本定理的作用 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了以原点为始点的向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．‎ ‎(2)用向量证明几何问题的一般思路 先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明．‎ 特别提醒：(1)零向量不能作为基底．‎ ‎(2)两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底．‎ ‎2．对向量a＝(x，y)的理解 ‎(1)a＝xe1＋ye2(e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的单位向量)；‎ ‎(2)若向量a的始点是原点，则(x，y)就是其终点的坐标．‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 ‎(1)需注意的几点 ‎①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，若a＝(x1，y1)，b＝(x1，y2)，则a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．‎ ‎②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．‎ ‎(2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，‎ 则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)，‎ 若(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，‎ 则A、B、C三点共线．‎ ‎(六)课后强化作业 一、选择题 ‎1．(2009·重庆文)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－‎2a平行，则实数x的值是(　　)‎ A．－2　　　　 B．‎0　　‎　　 C．1　　　　 D．2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件．‎ a＋b＝(3,1＋x)，4b－‎2a＝(6,4x－2)，‎ 由题意可得3×(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.‎ ‎2．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足(　　)‎ A．a>0，b>0 B．a>0，b<0‎ C．a<0，b>0 D．a<0，b<0‎ ‎ ‎ ‎ [答案]　B ‎[解析]　由于点P落在第Ⅲ部分，‎ 且＝a＋b，‎ 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知 a>0，b<0.‎ ‎3．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)‎ A.　 　 B.　 　 C.　 　 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，‎ 即ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，‎ 又∵C∈(0，π)，∴C＝，故选B.‎ ‎4．c，d是不共线向量，则下列选项中不共线的一组是(　　)‎ A．a＝－2(c＋d)，b＝2(c＋d) B．a＝c－d，b＝－‎2c＋2d C．a＝‎4c－d，b＝c－d D．a＝c＋d，b＝‎2c－2d ‎[答案]　D ‎[解析]　∵A选项中a＝－b，∴a与b共线；B选项中b＝－‎2a，∴a与b共线；C选项中a＝4b，∴a与b共线．‎ ‎5．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于(　　)‎ A．2 B．‎1 ‎‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，‎ ‎∵＝2，‎ ‎∴解得 ‎∴C(3,3)．‎ 又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，‎ ‎∴a＝2.‎ ‎6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　　)‎ ‎ ‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　令λ＝0，μ＝1时，＝，‎ 当λ＝μ＝0时，＝0，C(0,0)．所以由图可知，只有A正确．‎ ‎7．(2018·济南模拟)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4，－1)，＝(－5，－3)，则四边形ABCD是(　　)‎ A．长方形 B．梯形 C．平行四边形 D．以上都不对 ‎[答案]　B ‎[解析]　＝＋＋＝(1,2)＋(－4，－1)＋(－5，－3)＝(－8，－2)＝2(－4，－1)＝2，‎ ‎∴∥.‎ 又∵＝(1,2)，＝(－5，－3)，‎ ‎∴2×(－5)－1×(－3)＝－7≠0，‎ ‎∴与不共线，故四边形ABCD为梯形．‎ ‎8．(2018·汕头模拟)已知两个向量a＝(t，)，b＝，其中t，u都是正实数，且a＝2b，则的取值范围是(　　)‎ A．[1,6] B．[－6,1] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查平面向量的坐标运算及均值不等式的应用．‎ 由a＝2b得：t＝2x＋2，＝u，‎ 故＝＝2≥2×2＝4，当且仅当x＝1时取得等号．‎ 二、填空题 ‎9．(2018·陕西理)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，‎ ‎∵(a＋b)∥c，∴＝，‎ ‎∴m＝－1.‎ ‎10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　解法1：设BC方程为＋＝1，‎ ‎∵A、B、C共线，∴＋＝1，‎ ‎∴＋＝－.‎ 解法2：∵A、B、C共线，∴∥，‎ ‎∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，‎ ‎∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，‎ ‎∴mn＋‎2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴＋＝－.‎ ‎11．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　解法1：如图，在y轴正向上取点A′，使OA′＝OB，‎ ‎∵|OB|＝5，∴A′(0,5)，‎ ‎∵C在∠A′OB的平分线上．‎ ‎∴M为A′B中点，M，为的方向向量，‎ ‎∴＝λ＝　(λ>0)，‎ ‎||＝2⇒2＋2＝4，‎ ‎∴λ＝，‎ ‎∴＝.‎ 解法2：＝2×＝＝.‎ ‎[点评]　解法2连续应用单位向量来表示向量，请仔细体会赏析，学用．‎ 三、解答题 ‎12．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(3,2)、＝＋t，‎ ‎(1)t为何值时，点P在x轴上？‎ ‎(2)以O、A、B、P为顶点的四边形能否为平行四边形？‎ ‎[解析]　＝＋t ‎＝(2，－1)＋t(1,3)＝(t＋2,3t－1)．‎ ‎(1)若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝.‎ ‎(2)若OB为四边形OABP的一条对角线，则＝，‎ ‎∴无解；‎ 若AB为四边形OAPB一条对角线，则＝，‎ ‎∴无解．‎ 若OA为四边形OBAP的对角线，则＝，‎ ‎∴无解．‎ ‎∴以O、A、B、P四点为顶点不可能构成平行四边形．‎ ‎13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，m＝(bcosC，－1)，n＝((c－‎3a)cosB,1)，m与n为共线向量，求sinB.‎ ‎[解析]　∵m与n为共线向量，∴设m＝λn，λ∈R，‎ 则，解得λ＝－1，‎ ‎∴bcosC＋(c－‎3a)cosB＝0.‎ ‎∴sinBcosC＋sinCcosB－3sinAcosB＝0，‎ ‎∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，即sinA＝3sinAcosB，‎ ‎∵sinA≠0，∴cosB＝，∴sinB＝.‎ ‎14．已知a＝(sinx,0)，b＝(cos2x,1)，c＝(y,1)＝b＋μa.求y的最大值．‎ ‎[解析]　由题意得(y,1)＝(cos2x＋μsinx,1)，‎ ‎∴y＝cos2x＋μsinx＝－sin2x＋μsinx＋1.‎ 令sinx＝t，则－1≤t≤1，‎ 所以y＝－t2＋μt＋1.‎ ‎①若<－1，即μ<－2，‎ 当t＝－1时，ymax＝－μ.‎ ‎②若－1≤≤1，即－2≤μ≤2，‎ 当t＝时，ymax＝＋1.‎ ‎③若>1，即μ>2，当t＝1时，ymax＝μ.‎ ‎∴ymax＝.‎ ‎15．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)‎ ‎(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ ‎[解析]　本题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积等知识点，考查考生的运算求解能力．‎ ‎(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．‎ 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线长分别为4，2.‎ ‎(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．‎ 由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，所以t＝－.‎