【数学】2019届一轮复习人教A版随机抽样学案

【数学】2019届一轮复习人教A版随机抽样学案

随机抽样 ‎【考点梳理】‎ ‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．‎ ‎2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．‎ ‎(1)先将总体的N个个体编号．‎ ‎(2)确定分段间隔 ，对编号进行分段，当是整数时，取 ＝，当不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取 ＝(N′为从总体中剔除余数后的总数)．‎ ‎(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤ )．‎ ‎(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔 得到第2个个体编号(l＋ )，再加 得到第3个个体编号(l＋2 )，依次进行下去，直到获取整个样本．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：‎ 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、简单随机抽样 ‎【例1】(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)‎ ‎①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；‎ ‎②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；‎ ‎③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．‎ A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3‎ ‎(2)福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为(　　)‎ A．23 B．09 C．02 D．17‎ ‎[答案] (1) A (2) C ‎[解析] (1)①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.‎ ‎(2)从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等．‎ ‎2．(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎(2)随机数法适用于总体中个体数较多的情形．其中随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)‎ ‎①‎ 盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；‎ ‎②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；‎ ‎③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．‎ A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3‎ ‎[答案] A ‎[解析] ①②③中都不是简单随机抽样，这是因为：①是放回抽样，②中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，③中“指定个子最高的5名同学”，不存在随机性，不是等可能抽样．‎ ‎2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07‎ C．02 D．01‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01.‎ 考点二、系统抽样及其应用 ‎【例2】(1)某大学工程学院有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为(　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎(2)从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为(　　)‎ A．480 B．481 C．482 D．483‎ ‎[答案] (1) B (2) 76‎ ‎[解析] (1)使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人.所以从编号1 480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481 720共240人中抽取＝12人.‎ ‎(2)由系统抽样知，抽样间隔 ＝＝16，‎ 因为样本中含编号为28的产品，‎ 则与之相邻的产品编号为12和44.‎ 故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为 ＝，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样．特别注意，每个个体被抽到的机会均是.‎ ‎2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939.落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n ‎＝10.所以做问卷B的有10人.‎ ‎2．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________. ‎ ‎[答案] 76‎ ‎[解析] 由系统抽样知，抽样间隔 ＝＝16，‎ 因为样本中含编号为28的产品，‎ 则与之相邻的产品编号为12和44.‎ 故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76.‎ 考点三、分层抽样及应用 ‎【例3】(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)‎ A．90 B．100‎ C．180 D．300‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1 800‎ 青年教师 ‎1 600‎ 合计 ‎4 300‎ ‎(2) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　　)‎ A．9　　　 B．10‎ C．12　　　 D．13‎ ‎[答案] (1) C　(2) D ‎[解析] (1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝‎ eq f(320,1 600)，故x＝180.‎ ‎(2)依题意得＝，故n＝13.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．‎ ‎2．为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.分层抽样的有关计算，转化为按比例列方程或算式求解．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．‎ ‎[答案] 1 800‎ ‎[解析] 由题设，抽样比为＝.‎ 设甲设备生产的产品为x件，则＝50，∴x＝3 000.‎ 故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.‎ ‎2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎[答案] A ‎[解析] 法一　由题意可得＝，解得n＝100.‎ 法二　由题意，抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×＝100.‎