2019届二轮复习第2讲　空间中的平行与垂直课件（53张）（全国通用）

2019届二轮复习第2讲　空间中的平行与垂直课件（53张）（全国通用）

第 2 讲　空间中的平行与垂直 专题四　立体几何与空间向量 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题 . 2 . 以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 空间线面位置关系判断的常用方法 (1) 根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题 . (2) 必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 . 热点一　空间线面位置关系的 判定 例 1 　 (1) 已知直线 l ， m 与平面 α ， β ， l ⊂ α ， m ⊂ β ，则下列命题中正确的是 A. 若 l ∥ m ，则必有 α ∥ β B . 若 l ⊥ m ，则必有 α ⊥ β C. 若 l ⊥ β ，则必有 α ⊥ β D . 若 α ⊥ β ，则必有 m ⊥ α 解析 答案 解析　 对于选项 A ，平面 α 和平面 β 还有可能相交，所以选项 A 错误 ； 对于 选项 B ，平面 α 和平面 β 还有可能相交且不垂直或平行，所以选项 B 错误 ； 对于 选项 C ，因为 l ⊂ α ， l ⊥ β ，所以 α ⊥ β ，所以选项 C 正确 ； 对于 选项 D ，直线 m 可能和平面 α 平行或相交，所以选项 D 错误 . √ 解答 (2) 如图，平面 α ⊥ 平面 β ， α ∩ β ＝ l ， A ， C 是 α 内不同的两点， B ， D 是 β 内不同的两点，且 A ， B ， C ， D ∉ 直线 l ， M ， N 分别是线段 AB ， CD 的中点 . 下列判断正确的是 A. 当 CD ＝ 2 AB 时， M ， N 两点不可能重合 B. M ， N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C. 当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交 D. 当 AB ， CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行 解析 答案 √ 解析　 由于直线 CD 的两个端点都可以动 ，所以 M ， N 两点可能重合 ， 此时 两条直线 AB ， CD 共面，由于两条线段互相平分 ， 所以 四边形 ACBD 是平行四边形 ， 因此 AC ∥ BD ，而 BD ⊂ β ， AC ⊄ B ， 所以 由线面平行的判定定理可得 AC ∥ β ， 又 因为 AC ⊂ α ， α ∩ β ＝ l ， 所以 由线面平行的性质定理可得 AC ∥ l ，故选 B. 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 . 思维升华 跟踪演练 1 　 (1)(2018· 揭阳模拟 ) 已知直线 a ， b ，平面 α ， β ， γ ，下列命题正确的是 A. 若 α ⊥ γ ， β ⊥ γ ， α ∩ β ＝ a ，则 a ⊥ γ B. 若 α ∩ β ＝ a ， α ∩ γ ＝ b ， β ∩ γ ＝ c ，则 a ∥ b ∥ c C. 若 α ∩ β ＝ a ， b ∥ a ，则 b ∥ α D. 若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ a ， b ∥ α ，则 b ∥ a 解析 答案 √ 解析　 A 中，若 α ⊥ γ ， β ⊥ γ ， α ∩ β ＝ a ，则 a ⊥ γ ，该说法正确； B 中，若 α ∩ β ＝ a ， α ∩ γ ＝ b ， β ∩ γ ＝ c ， 在三棱锥 P － ABC 中，令平面 α ， β ， γ 分别为平面 PAB ， PAC ， PBC ， 交线 a ， b ， c 为 PA ， PB ， PC ，不满足 a ∥ b ∥ c ，该说法错误； C 中，若 α ∩ β ＝ a ， b ∥ a ，有可能 b ⊂ α ，不满足 b ∥ α ，该说法错误； D 中，若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ a ， b ∥ α ， 正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，取平面 α ， β 为平面 ABCD ， ADD 1 A 1 ， 直线 b 为 A 1 C 1 ，满足 b ∥ α ，不满足 b ∥ a ，该说法错误 . 解析 答案 (2)(2018· 上海市长宁、嘉定区调研 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α 内， l 2 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是 A. l 与 l 1 ， l 2 都相交 B. l 与 l 1 ， l 2 都不相交 C. l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D. l 至多与 l 1 ， l 2 中的一条相交 √ 解析 　方法一 　如图 1 ， l 1 与 l 2 是异面直线， l 1 与 l 平行， l 2 与 l 相交，故 A ， B 不正确 ； 如 图 2 ， l 1 与 l 2 是异面直线， l 1 ， l 2 都与 l 相交 ， 故 D 不正确，故选 C. 方法二 　因为 l 分别与 l 1 ， l 2 共面，故 l 与 l 1 ， l 2 要么都不相交，要么至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 . 若 l 与 l 1 ， l 2 都不相交，则 l ∥ l 1 ， l ∥ l 2 ，从而 l 1 ∥ l 2 ，与 l 1 ， l 2 是异面直线矛盾 ，故 l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交，故选 C. 热点二　空间平行、垂直关系的 证明 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化 . 例 2 　 (1)(2018· 资阳模拟 ) 如图，三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的各棱长均为 2 ， AA 1 ⊥ 平面 ABC ， E ， F 分别为棱 A 1 B 1 ， BC 的中点 . ① 求证：直线 BE ∥ 平面 A 1 FC 1 ； 证明 证明 　 取 A 1 C 1 的中点 G ，连接 EG ， FG ， ∵ 点 E 为 A 1 B 1 的中点， ∴ EG ∥ B 1 C 1 ∵ F 为 BC 中点， 所以 BF ∥ EG 且 BF ＝ EG . 所以四边形 BFGE 是平行四边形 ，所以 BE ∥ FG ， 又 BE ⊄ 平面 A 1 FC 1 ， FG ⊂ 平面 A 1 FC 1 ， 所以直线 BE ∥ 平面 A 1 FC 1 . ② 平面 A 1 FC 1 与直线 AB 交于点 M ，指出点 M 的位置，说明理由，并求三棱锥 B － EFM 的体积 . 解 答 解　 M 为棱 AB 的中点 . 理由如下： 因为 AC ∥ A 1 C 1 ， AC ⊄ 平面 A 1 FC 1 ， A 1 C 1 ⊂ 平面 A 1 FC 1 ， 所以直线 AC ∥ 平面 A 1 FC 1 ， 又平面 A 1 FC 1 ∩ 平面 ABC ＝ FM ， 所以 AC ∥ FM . 又 F 为棱 BC 的中点， 所以 M 为棱 AB 的中点 . (2)(2018· 衡水调研 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形， PD ⊥ 平面 ABCD ， ∠ BAD ＝ 60° ， PD ＝ 2 a ， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点 . 证明 ① 证明：平面 EAC ⊥ 平面 PBD ； 证明 　 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ， AC ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ AC . 又四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥ BD ， 又 PD ∩ BD ＝ D ， PD ， BD ⊂ 平面 PBD ， 所以 AC ⊥ 平面 PBD . 又 AC ⊂ 平面 EAC ， 所以平面 EAC ⊥ 平面 PBD . ② 若 PD ∥ 平面 EAC ，三棱锥 P － EAD 的体积为 18 ， 求 a 的值 . 解答 解　 连接 OE . 因为 PD ∥ 平面 EAC ，平面 EAC ∩ 平面 PBD ＝ OE ， 所以 PD ∥ OE . 又 AC ∩ BD ＝ O ， 所以 O 是 BD 的中点，所以 E 是 PB 的中点 . 因为四边形 ABCD 是菱形，且 ∠ BAD ＝ 60° ， 所以取 AD 的中点 H ，连接 BH ， 可知 BH ⊥ AD ， 又因为 PD ⊥ 平面 ABCD ， BH ⊂ 平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ BH . 又 PD ∩ AD ＝ D ， PD ， AD ⊂ 平面 PAD ， 所以 BH ⊥ 平面 PAD . 解得 a ＝ 6. 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1) 证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法： ① 利用等腰三角形底边中线即高线的性质； ② 勾股定理； ③ 线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可， l ⊥ α ， a ⊂ α ⇒ l ⊥ a . 思维升华 跟踪演练 2 　 如图，在四棱锥 P － ABCD 中， ∠ ADB ＝ 90° ， CB ＝ CD ，点 E 为棱 PB 的中点 . (1) 若 PB ＝ PD ，求证： PC ⊥ BD ； 证明 证明 　 取 BD 的中点 O ，连接 CO ， PO ， 因为 CD ＝ CB ， 所以 △ CBD 为等腰三角形， 所以 BD ⊥ CO . 因为 PB ＝ PD ， 所以 △ PBD 为等腰三角形，所以 BD ⊥ PO . 又 PO ∩ CO ＝ O ， PO ， CO ⊂ 平面 PCO ， 所以 BD ⊥ 平面 PCO . 因为 PC ⊂ 平面 PCO ，所以 PC ⊥ BD . (2) 求证： CE ∥ 平面 PAD . 证明 证明 　 由 E 为 PB 的中点，连接 EO ，则 EO ∥ PD ， 又 EO ⊄ 平面 PAD ， PD ⊂ 平面 PAD ， 所以 EO ∥ 平面 PAD . 由 ∠ ADB ＝ 90° 及 BD ⊥ CO ，可得 CO ∥ AD ， 又 CO ⊄ 平面 PAD ， AD ⊂ 平面 PAD ， 所以 CO ∥ 平面 PAD . 又 CO ∩ EO ＝ O ， CO ， EO ⊂ 平面 COE ， 所以平面 CEO ∥ 平面 PAD ， 而 CE ⊂ 平面 CEO ，所以 CE ∥ 平面 PAD . 平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键 . 一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法 . 热点三　平面图形的翻折问题 例 3 　 (2018· 北京海淀区期末 ) 如图 1 ，已知菱形 AECD 的对角线 AC ， DE 交于点 F ，点 E 为 AB 中点 . 将 △ ADE 沿线 证明　 折叠前，因为四边形 AECD 为菱形， 所以 AC ⊥ DE ， 所以折叠后， DE ⊥ PF ， DE ⊥ CF ， 又 PF ∩ CF ＝ F ， PF ， CF ⊂ 平面 PCF ， 所以 DE ⊥ 平面 PCF . 证明 段 DE 折起到 △ PDE 的位置，如图 2 所示 . (1) 求证： DE ⊥ 平面 PCF ； 证明 (2) 求证：平面 PBC ⊥ 平面 PCF ； 证明 　 因为四边形 AECD 为菱形， 所以 DC ∥ AE ， DC ＝ AE . 又点 E 为 AB 的中点， 所以 DC ∥ EB ， DC ＝ EB ， 所以四边形 DEBC 为平行四边形， 所以 CB ∥ DE . 又由 (1) 得， DE ⊥ 平面 PCF ， 所以 CB ⊥ 平面 PCF . 因为 CB ⊂ 平面 PBC ， 所以平面 PBC ⊥ 平面 PCF . 解答 (3) 在线段 PD ， BC 上是否分别存在点 M ， N ，使得平面 CFM ∥ 平面 PEN ？若存在，请指出点 M ， N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由 . 解　 存在满足条件的点 M ， N ， 且 M ， N 分别是 PD 和 BC 的中点 . 如图，分别取 PD 和 BC 的中点 M ， N . 连接 EN ， PN ， MF ， CM . 因为四边形 DEBC 为平行四边形， 所以四边形 ENCF 为平行四边形， 所以 FC ∥ EN . 在 △ PDE 中， M ， F 分别为 PD ， DE 的中点， 所以 MF ∥ PE . 又 EN ， PE ⊂ 平面 PEN ， PE ∩ EN ＝ E ， MF ， CF ⊂ 平面 CFM ， MF ∩ CF ＝ F ， 所以平面 CFM ∥ 平面 PEN . (1) 折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口 . (2) 存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (2018· 北京朝阳区模拟 ) 如图，在 △ PBE 中， AB ⊥ PE ， D 是 AE 的中点， C 是线段 BE 上的一点，且 AC ＝ ， AB ＝ AP ＝ AE ＝ 2 ，将 △ PBA 沿 AB 折起使得二面角 P － AB － E 是直二面角 . 证明 ( 1) 求证： CD ∥ 平面 PAB ； 又 AB ＝ 2 ， AB ⊥ PE ， 所以 AC 是 Rt △ ABE 的斜边 BE 上的中线， 所以 C 是 BE 的中点， 又因为 D 是 AE 的中点， 所以 CD 是 Rt △ ABE 的中位线 ，所以 CD ∥ AB ， 又因为 CD ⊄ 平面 PAB ， AB ⊂ 平面 PAB ， 所以 CD ∥ 平面 PAB . 解答 (2) 求三棱锥 E － PAC 的体积 . 解　 由 (1) 知，直线 CD 是 Rt △ ABE 的中位线， 因为二面角 P － AB － E 是直二面角，平面 PAB ∩ 平面 EAB ＝ AB ， PA ⊂ 平面 PAB ， PA ⊥ AB ， 所以 PA ⊥ 平面 ABE ， 又因为 AP ＝ 2 ， 真题押题精练 真题体验 解析 1.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ________.( 填序号 ) (1) 答案 解析 　 对于 (1) ，作如图 ① 所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD ∥ AB . ∵ QD ∩ 平面 MNQ ＝ Q ， ∴ QD 与平面 MNQ 相交， ∴ 直线 AB 与平面 MNQ 相交； 对于 (2) ，作如图 ② 所示的辅助线， 则 AB ∥ CD ， CD ∥ MQ ， ∴ AB ∥ MQ ， 又 AB ⊄ 平面 MNQ ， MQ ⊂ 平面 MNQ ， ∴ AB ∥ 平面 MNQ ； 对于 (3) ，作如图 ③ 所示的辅助线， 则 AB ∥ CD ， CD ∥ MQ ， ∴ AB ∥ MQ ， 又 AB ⊄ 平面 MNQ ， MQ ⊂ 平面 MNQ ， ∴ AB ∥ 平面 MNQ ； 对于 (4) ，作如图 ④ 所示的辅助线， 则 AB ∥ CD ， CD ∥ NQ ， ∴ AB ∥ NQ ，又 AB ⊄ 平面 MNQ ， NQ ⊂ 平面 MNQ ， ∴ AB ∥ 平面 MNQ . 2.(2017· 江苏 ) 如图，在三棱锥 A — BCD 中， AB ⊥ AD ， BC ⊥ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，点 E ， F ( E 与 A ， D 不重合 ) 分别在棱 AD ， BD 上，且 EF ⊥ AD . 求证： (1) EF ∥ 平面 ABC ； 证明 证明 　 在 平面 ABD 内，因为 AB ⊥ AD ， EF ⊥ AD ， 所以 AB ∥ EF . 又 EF ⊄ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ， 所以 EF ∥ 平面 ABC . (2) AD ⊥ AC . 证明 证明 　 因为平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， 平面 ABD ∩ 平面 BCD ＝ BD ， BC ⊂ 平面 BCD ， BC ⊥ BD ， 所以 BC ⊥ 平面 ABD . 因为 AD ⊂ 平面 ABD ，所以 BC ⊥ AD . 又 AB ⊥ AD ， BC ∩ AB ＝ B ， AB ⊂ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 AD ⊥ 平面 ABC . 又 AC ⊂ 平面 ABC ，所以 AD ⊥ AC . 押题预测 解析 押题依据 押题依据 　空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点 . 此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力 . 1. 不重合的两条直线 m ， n 分别在不重合的两个平面 α ， β 内，下列为真命题的是 A. m ⊥ n ⇒ m ⊥ β B. m ⊥ n ⇒ α ⊥ β C. α ∥ β ⇒ m ∥ β D. m ∥ n ⇒ α ∥ β 答案 √ 解析　 构造长方体，如图所示 . 因为 A 1 C 1 ⊥ AA 1 ， A 1 C 1 ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， AA 1 ⊂ 平面 AA 1 B 1 B ， 但 A 1 C 1 与平面 AA 1 B 1 B 不垂直 ， 平面 AA 1 C 1 C 与平面 AA 1 B 1 B 也不垂直 ， 所以 选项 A ， B 都是假命题 . CC 1 ∥ AA 1 ，但平面 AA 1 C 1 C 与平面 AA 1 B 1 B 相交而不平行，所以选项 D 为假命题 . “ 若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面 ” 是真命题，故选 C. 押题依据 　以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向 . 证明 押题依据 2. 如图 (1) ，在正 △ ABC 中， E ， F 分别是 AB ， AC 边上的点，且 BE ＝ AF ＝ 2 CF . 点 P 为边 BC 上的点，将 △ AEF 沿 EF 折起 到 △ A 1 EF 的位置，使平面 A 1 EF ⊥ 平面 BEFC ， 连接 A 1 B ， A 1 P ， EP ，如图 (2) 所示 . (1) 求证： A 1 E ⊥ FP ； 证明 　 在正 △ ABC 中，取 BE 的中点 D ，连接 DF ，如图所示 . 因为 BE ＝ AF ＝ 2 CF ， 所以 AF ＝ AD ， AE ＝ DE ，而 ∠ A ＝ 60° ， 所以 △ ADF 为正三角形 . 又 AE ＝ DE ，所以 EF ⊥ AD . 所以在题图 (2) 中， A 1 E ⊥ EF ， 又 A 1 E ⊂ 平面 A 1 EF ，平面 A 1 EF ⊥ 平面 BEFC ， 且平面 A 1 EF ∩ 平面 BEFC ＝ EF ， 所以 A 1 E ⊥ 平面 BEFC . 因为 FP ⊂ 平面 BEFC ，所以 A 1 E ⊥ FP . 解答 (2) 若 BP ＝ BE ，点 K 为棱 A 1 F 的中点，则在平面 A 1 FP 上是否存在过点 K 的直线与平面 A 1 BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 . 解　 在平面 A 1 FP 上存在过点 K 的直线与平面 A 1 BE 平行 . 理由如下： 如题图 (1) ，在正 △ ABC 中，因为 BP ＝ BE ， BE ＝ AF ， 所以 BP ＝ AF ，所以 FP ∥ AB ，所以 FP ∥ BE . 如图所示，取 A 1 P 的中点 M ，连接 MK ， 因为点 K 为棱 A 1 F 的中点， 所以 MK ∥ FP . 因为 FP ∥ BE ，所以 MK ∥ BE . 因为 MK ⊄ 平面 A 1 BE ， BE ⊂ 平面 A 1 BE ， 所以 MK ∥ 平面 A 1 BE . 故在平面 A 1 FP 上存在过点 K 的直线 MK 与平面 A 1 BE 平行 .