【数学】2018届一轮复习人教A版2-1多点开花巧求向量内积小题大做学案

【数学】2018届一轮复习人教A版2-1多点开花巧求向量内积小题大做学案

专题2.1 多点开花巧求向量内积 一、典例分析，融合贯通 典例1 如图为边长为2的等边三角形，在线段上有一点,则= .‎ ‎【解法1】（定义法）如图：‎ ‎.‎ ‎【点睛之笔】本题关键在于构造，求出.‎ ‎【解法2】（基底法）以为基底表示，‎ ‎，又三点共线，，‎ ‎=3=18.‎ ‎【点睛之笔】把化为,利用三点共线，再把用基底表示.‎ ‎【点睛之笔】建立坐标系，内积数量化.‎ ‎【解法4】（特值法）令与重合，‎ ‎【点睛之笔】小题小做，提速神器.‎ ‎【解后反思】解法1：从定义出发，直接在直角三角形求夹角的余弦，利用直角三角形中余弦的定义，化简求出最后结果. ‎ 解法2：利用平面向量基本定理，目标明确以 为基底，（注意必须是不共线的）利用了转化思想，简单实用. ‎ ‎ 解法3：利用数量积的计算公式，内积数量化，简化思维过程，体现数形结合思想.（适合有垂直的条件的习题）.‎ 解法4：充分利用填空题的特点，小题小做，以特殊代替一般，让动点P具体化，是解决选择填空题常用的方法.‎ 本题四种解法包括了求向量内积常用的几种方法和特值法，方法多元化，能举一反三，起到事半功倍的效果，与其跳进题海不能自拔，不如仔细研究这样一题收获丰厚. ‎ 典例2【2015天津，理14】在等腰梯形 中，已知，，，，动点 和分别在线段和上，且，，则的最小值为 .‎ ‎【解法1】【等价转化思想】因为，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，的最小值为.‎ ‎【点睛之笔】以为基底，利用均值不等式求解.‎ ‎【点睛之笔】等腰梯形适合建立坐标系，内积数量化之典例.‎ ‎【解法3】【数形结合思想】由题意得，，过、‎ 作，垂足分别为、．则，，，，设，则 ‎，‎ 当且仅当，即时，的最小值为.‎ A B H C D E F G ‎【点睛之笔】数形结合显神威！‎ ‎【解后反思】‎ 方法1：在向量运算中常用平面向量基本定理，即在平面内选一组适当的向量（必须不共线）作为基向量，根据向量加减法运算法则将所求向量数量积转化为基向量数量积，结合向量的数量积定义表示要运算的向量,充分体现了等价转化思想的应用；‎ 方法2：本解法通过建立平面直角坐标系，根据具体的图形性质用坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标式进行计算，体现了几何问题转化为代数问题的解题策略；‎ 方法3：从平面几何性质出发，利用三角形表示欲求向量的模及夹角，几何条件与三角代数结合是本方法的关键. ‎ 典例3（2017高考全国卷Ⅱ理12题）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解法1】（坐标法） 如图建系： ‎ ‎ ‎ 设点 点为中点 可以有两种思路：‎ ‎【点睛之笔】本题由于是在等边三角形中的问题，可以考虑用坐标法解决.把所求的向量内积转化成坐标形式，进一步求出最小值. ‎ ‎【解法2】(基底转换法)‎ ‎,当点与重合时=,等号成立. ‎ ‎【点睛之笔】基底表示法是解决向量问题的一利器！.‎ ‎【解法3】 极化恒等式法（1）‎ 由解法一可知：，由利用极化恒等式得：，当点与重合时=,.‎ ‎【解法4】极化恒等式法（2）‎ 设分别为中点，‎ ‎ ,‎ 利用性质：“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”得：‎ 当点与重合时取最小值. ‎ ‎【点睛之笔】利用极化恒等式进行转换.‎ ‎【点睛之笔】利用定义结合余弦定理.‎ ‎【解后反思】解法1：构造直角坐标系，典型又直接.在有垂直的条件下建立坐标系是首选方法.‎ 解法2：选择不共线的向量作为基底，把表示出来，体现了转化的思想.‎ 解法3和解法4利用了向量的一个性质.积累一些常见结论，适当运用可以起到事半功倍的效果.‎ 解法5：利用了余弦定理和“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”体现了数形结合的思想.‎ 二、精选试题，能力升级 ‎1. 在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则的取值范围为(　　)‎ A. B.[2,4] C.[3,6] D.[4,6]‎ ‎【答案】D　‎ ‎ 2. 已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）‎ A．13 B．‎15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，‎ ‎，即，所以，，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．‎ ‎3. 已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 6 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ， ，故选A.‎ ‎4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 A．3 B．‎2‎ C． D．2‎ ‎【答案】A ‎ 5.在中， ， ， ， 为边上的高， 为的中点， ，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎ 6.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】如下图所示，设，，∴，‎ ‎∴，又∵‎ ‎，由平面向量基本定理可得，，∴，故选C．‎ ‎7.已知菱形的边长为4， ，点， 分别在边， 上， ， （，且），若，则的值为 ‎__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎ 8.已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则 ， ，‎ ‎ ，则.‎ ‎9.在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎10．在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】-2 ‎ ‎【解析】由题意画出草图：‎