2020届二轮复习（文）基础考点第3讲　不等式课件（31张）

2020届二轮复习（文）基础考点第3讲　不等式课件（31张）

第3讲　不等式 总纲目录 ` 考点一　不等式的性质与解法 考点二　基本不等式及其应用 考点三　简单的线性规划问题 考点一　不等式的性质与解法 1 .若 x > y >0, m > n ,则下列不等式中正确的是   (　　) A. xm > ym 　    B. x - m ≥ y - n C.   >   　    D. x >   D 答案    D     A不正确,因为 m 可能为0或负数;B不正确,因为同向不等式相减,不 等号方向不确定;C不正确,因为 m , n 的正负不确定.故选D. 2 .已知关于 x 的不等式( ax -1)( x +1)<0的解集是(- ∞ ,-1) ∪   ,则 a =   (    　) A.2　    B.-2　    C.-   　    D.   答案    B 　根据一元二次不等式和与之对应方程的关系知-1,-   是一元二次 方程 ax 2 +( a -1) x -1=0的两个根,所以-1 ×   =-   ,所以 a =-2. B 3 .已知函数 f ( x )=   则不等式 f ( x -1) ≤ 0的解集为(　　) A.{ x |0 ≤ x ≤ 2}　    B.{ x |0 ≤ x ≤ 3} C.{ x |1 ≤ x ≤ 2}　    D.{ x |1 ≤ x ≤ 3} 答案    D 　由题意,得 f ( x -1)=   当 x ≥ 2时,由2 x -2 -2 ≤ 0,解得2 ≤ x ≤ 3;当 x <2时,由2 2- x -2 ≤ 0,解得1 ≤ x <2.综上所述,不等式 f ( x -1) ≤ 0的解集为{ x |1 ≤ x ≤ 3}. D 4 .若不等式( a 2 -4) x 2 +( a +2) x -1 ≥ 0的解集是空集,则实数 a 的取值范围是   (    　) A.   　    B.   C.   　    D.   ∪ {2} B 答案    B 　当 a 2 -4=0时,解得 a =2或 a =-2,当 a =2时,不等式可化为4 x -1 ≥ 0,解集不 是空集,不符合题意;当 a =-2时,不等式可化为-1 ≥ 0,此式不成立,解集为空集. 当 a 2 -4 ≠ 0时,要使不等式的解集为空集,则有   解得-2< a <   .综上,实数 a 的取值范围是   ,故选B. 总结提升 1.不等式的求解技巧     (1)对于与函数有关的不等式,可先利用函数的单调性进行转化;(2)求解一元 二次不等式的步骤:第一步,将二次项系数化为正数;第二步,解对应的一元二 次方程;第三步,若有两个不相等的实根,则利用“大于在两边,小于夹中间” 得不等式的解集;(3)含参数的不等式的求解,要对参数进行分类讨论. 2.不等式恒成立问题的解题方法 (1) f ( x )> a 对一切 x ∈ I 恒成立 ⇔ f ( x ) min > a , x ∈ I ; f ( x )< a 对一切 x ∈ I 恒成立 ⇔ f ( x ) max < a , x ∈ I . (2) f ( x )> g ( x )对一切 x ∈ I 恒成立 ⇔ 当 x ∈ I 时, f ( x )的图象在 g ( x )的图象的上方. (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法,一定要搞清谁是自变量,谁是参 数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.利用分离参数 法求解时,常用到函数的单调性、基本不等式等. 易错提醒      解形如 ax 2 + bx + c >0( a ≠ 0)的一元二次不等式时,易忽略对系数 a 的讨论从而导 致漏解或错解,因此要注意分 a >0和 a <0的情况进行讨论. 考点二　基本不等式及其应用 1 .已知正数 a , b 的等比中项是2,且 m = b +   , n = a +   ,则 m + n 的最小值是   (　　) A.3　    B.4　    C.5　    D.6 C 答案    C 　由正数 a , b 的等比中项是2,可得 ab =4,又 m = b +   , n = a +   ,所以 m + n = a + b +   +   ≥ 2   +   =5,当且仅当 a = b =2时取“=”,故 m + n 的最小值是5. 2 .(2019福建宁德模拟)已知 P ( a , b )为圆 x 2 + y 2 =4上任意一点,则当   +   取最小 值时 a 2 的值为   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.3 C 答案    C 　∵ P ( a , b )为圆 x 2 + y 2 =4上任意一点,∴ a 2 + b 2 =4.又 a ≠ 0, b ≠ 0,∴   +   =     ·( a 2 + b 2 )=     ≥     =   ,当且仅当 b 2 =2 a 2 =   时 取等号,故 a 2 =   ,故选C. 3 .(2019天津,13,5分)设 x >0, y >0, x +2 y =4,则   的最小值为 　　　     . 答案        解析        =   =   =2+   . ∵ x >0, y >0,∴4= x +2 y ≥ 2   ,解得0< xy ≤ 2,当且仅当 x =2 y =2,即 x =2且 y =1时 “=”成立.此时   ≥   ,∴2+   ≥ 2+   =   ,故   的最小值为   . 4 .设 x >0,则函数 y = x +   -   的最小值为 　　　     . 答案 　0 解析      y = x +   -   =   +   -2 ≥ 2-2=0,当且仅当 x +   =   ,即 x =   时等 号成立. 5 .已知正数 x , y 满足 x 2 +2 xy -3=0,则2 x + y 的最小值是 　　　     . 答案 　3 解析 　由题意得, y =   (0< x <   ), ∴2 x + y =2 x +   =   =     ≥ 3(0< x <   ), 当且仅当 x = y =1时,等号成立. 6 .已知 a , b ∈R,且 a -3 b +6=0,则2 a +   的最小值为 　　　     . 答案        解析 　∵ a -3 b +6=0,∴ a -3 b =-6, ∴2 a +   =2 a +2 -3 b ≥ 2   =2   =2   =   . 当且仅当2 a =2 -3 b ,即 a =-3, b =1时,2 a +   取得最小值   . 总结提升 掌握基本不等式求最值的3种解题技巧     (1)凑项:通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积或和为定值. (2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为 定值,从而可利用基本不等式求最值. (3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元 后将式子分开,即化为 y = m +   + Bg ( x )( AB >0), g ( x )恒正或恒负的形式,然后运 用基本不等式来求最值. 易错提醒     运用基本不等式时,一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指“正数”;“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积 为定值;“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续两次使用基本不等式求 最值,必须使两次等号成立的条件一致,否则最值取不到. 考点三　简单的线性规划问题 1 .(2017课标全国Ⅲ,5,5分)设 x , y 满足约束条件   则 z = x - y 的取值范 围是   (　　) A.[-3,0]　    B.[-3,2]　    C.[0,2]　    D.[0,3] B 答案    B　 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知 A (0,3), B (2,0). 由图可知,目标函数 z = x - y 在点 A , B 处分别取得最小值与最大值, z min =0-3=-3, z max =2-0=2, 故 z = x - y 的取值范围是[-3,2].故选B.   2 .(2019课标全国Ⅱ,13,5分)若变量 x , y 满足约束条件   则 z =3 x - y 的 最大值是 　　　     . 答案 　9 解析 　作出可行域(如图中阴影部分所示).   易得 A (3,0), B (1,2), C (0,2). 将 z =3 x - y 化为 y =3 x - z ,由图知,当直线 y =3 x - z 经过点 A (3,0)时,截距- z 取得最小值, 从而 z 取得最大值. z max =3 × 3=9. 3 .(2018课标全国Ⅰ,14,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z =3 x +2 y 的最大值 为 　　　     . 答案 　6 解析 　由 x , y 满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示).   由图知当直线3 x +2 y - z =0经过点 A (2,0)时, z 取得最大值, z max =2 × 3=6. 4 .若 x , y 满足约束条件   则 z = x 2 +2 x + y 2 的最小值为 　　　     . 答案 　-   解析 　画出约束条件对应的平面区域,如图中阴影部分所示,目标函数 z = x 2 +2 x + y 2 =( x +1) 2 + y 2 -1的几何意义是平面区域内的点到定点(-1,0)的距离的平方再 减去1,观察图形可得,平面区域内的点到定点(-1,0)的距离的最小值为   ,故 z min =   -1=-   .   5 .已知 x , y 满足约束条件   若 z = x +2 y 的最大值为4,则实数 m 的值为 　     　     . 答案 　-2 解析 　作出约束条件所对应的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知直线 z = x +2 y 过 A 点时 z 取得最大值4,由   得 A (0,2),所以 m =2 × 0-2=-2.   6 .某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙 两种产品都需要在 A , B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用 A 设备2小时, B 设备6小时,生产一件乙产品需用 A 设备3小时, B 设备1小时. A , B 两种设备每月 可使用的时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该 企业每月利润的最大值为 　　　     千元. 答案 　360 解析 　设生产甲产品 x 件,生产乙产品 y 件,利润为 z 千元, 则   每月利润z=2x+y,作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影 部分所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,当直线经过直线2x+3y=480与直线6x +y=960的交点A(150,60)时,z取得最大值,为360.   总结提升 记牢三种常见的目标函数及其求法     (1)截距型:形如 z = ax + by ,求这类目标函数的最值常将函数 z = ax + by 转化为 y =-   x +   ,通过求直线的截距   的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z =( x - a ) 2 +( y - b ) 2 ,设动点 P ( x , y ),定点 M ( a , b ),则 z =| PM | 2 . (3)斜率型:形如 z =   ,设动点 P ( x , y ),定点 M ( a , b ),则 z = k PM . 易错提醒     (1)一定要注意目标函数 z = ax + by 中 b 的符号与 z 的最值的对应,要注意结合图 形分析. (2)求解含参数的线性规划问题,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况 下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求 最优解,从而确定参数的值.