【数学】2018届一轮复习人教A版第6章第3节基本不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第6章第3节基本不等式学案

第三节　基本不等式 ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；‎ ‎(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；‎ ‎(3)ab≤2(a，b∈R)；‎ ‎(4)2≤(a，b∈R)．‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．‎ ‎(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)‎ ‎(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)‎ ‎(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2‎ D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．‎ 对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]‎ ‎3．(2016·绍兴二模)若a，b都是正数，则的最小值为(　　)‎ A．7　　　 B．8‎ C．9 D．10‎ C　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝‎2a>0时取等号，故选C.]‎ ‎4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ A．1＋ B．1＋ C．3 D．4‎ C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ‎＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]‎ ‎5．(教材改编)若把总长为‎20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2. 【导学号：51062190】‎ ‎25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，‎ 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，‎ 则y＝x(10－x)≤2＝25，‎ 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]‎ 利用基本不等式求最值 ‎　(1)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A.　　 B．2‎ C．2 D．4‎ ‎(2)(2017·湖州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．‎ ‎(1)C　(2)3　[(1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]‎ ‎[规律方法]　1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．‎ ‎2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·金华十校4月联考)已知a>0，b>0，且‎2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)‎ A．10 B．9‎ C．8 D．7‎ ‎(2)(2017·杭州学军中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．‎ ‎(1)B　(2)－4　[(1)∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.‎ ‎(2)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，‎ ‎∴＋＝－(m＋n) ‎ ＝－≤－2－2＝－4，‎ 当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]‎ 利用基本不等式证明不等式 ‎　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：‎ ‎(1)＋＋≥8；‎ ‎(2)≥9.‎ ‎[证明]　(1)＋＋＝2，‎ ‎∵a＋b＝1，a>0，b>0，‎ ‎∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，4分 ‎∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).7分 ‎(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，‎ ‎∴＝ ‎＝5＋2≥5＋4＝9，12分 ‎∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).14分 法二：＝1＋＋＋，‎ 由(1)知，＋＋≥8，12分 故＝1＋＋＋≥9.14分 ‎[规律方法]　1.“‎1”‎的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．‎ ‎2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．‎ ‎[变式训练2]　设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.‎ ‎[证明]　由于a，b均为正实数，‎ 所以＋≥2＝，4分 当且仅当＝，即a＝b时等号成立，‎ 又因为＋ab≥2＝2，‎ 当且仅当＝ab时等号成立，‎ 所以＋＋ab≥＋ab≥2，12分 当且仅当即a＝b＝时取等号.14分 基本不等式的实际应用 ‎　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎[解]　(1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50,100].4分 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 y＝＋x，x∈.‎ ‎(或y＝＋x，x∈).6分 ‎(2)y＝＋x≥26 ，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18，等号成立.12分 故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.14分 ‎[规律方法]　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．‎ ‎[变式训练3]‎ ‎　某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．‎ ‎(1)用x表示y；‎ ‎(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．‎ ‎[解]　(1)由题意得，‎ y＝，‎ 即y＝x＋＋1.5(x∈N*).6分 ‎(2)由基本不等式得：‎ y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，12分 当且仅当x＝，即x＝10时取等号．‎ 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.14分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．‎ ‎2．基本不等式的两个变形：‎ ‎(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎(2)≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．‎ ‎2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．‎ ‎3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎ 课时分层训练(三十二)　基本不等式 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　)‎ A．－1　 B．0‎ C．1 D．2‎ C　[由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]‎ ‎2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥‎2”‎成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥‎2”‎的必要不充分条件．]‎ ‎3．(2017·金华十校联考)函数f(x)＝ax－1－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．3＋2 D　[由题意知A(1，－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝3＋＋，‎ 因为m>0，n>0，‎ 所以＋＝3＋＋≥3＋2 ‎＝3＋2.‎ 当且仅当＝时，取等号，故选D.]‎ ‎4．(2017·湖州二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)‎ ‎【导学号：51062191】‎ A．4 B．2 C．8 D．16‎ B　[由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，‎ 得ab＝1，‎ 则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.]‎ ‎5．(2017·杭州二中月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ‎，则(　　)‎ A．Rb>1，∴lg a>lg b>0，‎ (lg a＋lg b)>，‎ 即Q>P.∵>，∴lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为__________．‎ 　[由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，所以2＋1＝4，‎ 解得p＝.]‎ ‎8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．‎ ‎20　[每次都购买x吨，则需要购买次．‎ ‎∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，‎ ‎∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．‎ ‎∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号，‎ ‎∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]‎ 三、解答题 ‎9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；‎ ‎(2)设00，‎ ‎∴＋≥2＝4，4分 当且仅当＝，即x＝－时取等号．‎ 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.6分 ‎(2)∵00，‎ ‎∴y＝＝·≤·＝，10分 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，‎ ‎∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.15分 ‎10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值. 【导学号：51062192】‎ ‎[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，2分 又x>0，y>0，‎ 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.6分 ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋ ‎≥10＋2 ＝18.10分 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ ‎∴x＋y的最小值为18.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．要制作一个容积为‎4 m3‎ ，高为‎1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)‎ A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 C　[由题意知，体积V＝‎4 m3‎，高h＝‎1 m，‎ 所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m．又设总造价是y元，则 y＝20×4＋10×≥80＋20＝160.‎ 当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．]‎ ‎2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)设a>0，b>0，a＋b－‎2a2b2－6＝0，则＋的最小值是________，此时ab的值为________．‎ ‎4　　[∵a>0，b>0，a＋b＝‎2a2b2＋6，∴＋＝＝＋2ab≥4，当且仅当＝2ab，即ab＝时，＋取到最小值4.]‎ ‎3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.‎ ‎(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；‎ ‎(2)求该城市旅游日收益的最小值．‎ ‎[解]　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)‎ ‎＝6分 ‎(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值).9分 当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，‎ 所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，12分 所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.15分