高考卷 2006年普通高等学校招生全国统一考试 数学(江西卷

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高考卷 2006年普通高等学校招生全国统一考试 数学(江西卷

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。‎ 考生注意事项:‎ ‎1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。‎ ‎2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。‎ ‎4.考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回。‎ 参考公式:‎ 如果时间A、B互斥,那么 如果时间A、B相互独立,那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 球的表面积公式,其中R表示球的半径 球的体积公式,其中R表示球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合M={x|},N={y|y=3x2+1,xÎR},则MÇN=( )‎ A.Æ B. {x|x³1} C.{x|x>1} D. {x| x³1或x<0}‎ ‎2、已知复数z满足(+3i)z=3i,则z=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3、若a>0,b>0,则不等式-b< D.x<或x> ‎4、设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4‎ 则点A的坐标是( )‎ A.(2,±2) B. (1,±2) C.(1,2)D.(2,2)‎ ‎5、对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)³0,则必有( )‎ A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)£2f(1)‎ B. f(0)+f(2)³2f(1) C. f(0)+f(2)>2f(1)‎ ‎6、若不等式x2+ax+1³0对于一切xÎ(0,〕成立,则a的取值范围是( )‎ A.0 B. –2 C.- D.-3‎ ‎7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=( )‎ A.100 B. 101 C.200 D.201‎ ‎8、在(x-)2006 的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于( )‎ A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009‎ ‎9、P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )‎ A. 6 B.7 C.8 D.9‎ ‎10、将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组2 人,不同的分组数为a,甲、乙分到同一组的概率为p,则a、p的值分别为( )‎ A. a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=‎ ‎11、如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有( )‎ A. S1S2‎ C. S1=S2‎ D. S1,S2的大小关系不能确定 ‎12、某地一年的气温Q(t)(单位:ºc)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10ºc,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( )‎ ‎10ºc G(t)‎ ‎10ºc G(t)‎ G(t)‎ ‎10ºc t t t ‎12‎ ‎6‎ ‎6‎ O ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ O O 图(1)‎ ‎ ‎ B A D ‎10ºc G(t)‎ O ‎6‎ ‎12‎ t C G(t)‎ ‎10ºc ‎6‎ ‎12‎ t O ‎ ‎ 理科数学 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 注意事项:‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置。‎ ‎13、数列{}的前n项和为Sn,则Sn=______________‎ ‎14、设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27‎ 则f(m+n)=___________________‎ ‎15、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ÐACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是___________‎ ‎16、已知圆M:(x+cosq)2+(y-sinq)2=1,‎ 直线l:y=kx,下面四个命题:‎ (A) 对任意实数k与q,直线l和圆M相切;‎ (B) 对任意实数k与q,直线l和圆M有公共点;‎ (C) 对任意实数q,必存在实数k,使得直线l与 和圆M相切 ‎(D)对任意实数k,必存在实数q,使得直线l与 和圆M相切 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值 (1) 求a、b的值与函数f(x)的单调区间 (2) 若对xÎ〔-1,2〕,不等式f(x)b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点 (1) 求点P的轨迹H的方程 (2) 在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(01} D. {x| x³1或x<0}‎ 解:M={x|x>1或x£0},N={y|y³1}故选C ‎2、已知复数z满足(+3i)z=3i,则z=( D )‎ A. B. C. D.‎ 解:故选D ‎3、若a>0,b>0,则不等式-b< D.x<或x> 解:‎ 故选D ‎4、设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4‎ 则点A的坐标是(B )‎ A.(2,±2) B. (1,±2) C.(1,2)D.(2,2)‎ 解:F(1,0)设A(,y0)则=( ,y0),=(1-,-y0),由 · =-4Þy0=±2,故选B ‎5、对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)³0,则必有( C )‎ A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)£2f(1)‎ C. f(0)+f(2)³2f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1)‎ 解:依题意,当x³1时,f¢(x)³0,函数f(x)在(1,+¥)上是增函数;当x<1时,f¢(x)£0,f(x)在(-¥,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有 f(0)³f(1),f(2)³f(1),故选C ‎6、若不等式x2+ax+1³0对于一切xÎ(0,)成立,则a的取值范围是( C )‎ A.0 B. –2 C.- D.-3‎ 解:设f(x)=x2+ax+1,则对称轴为x=‎ 若³,即a£-1时,则f(x)在〔0,〕上是减函数,应有f()³0Þ ‎-£x£-1‎ 若£0,即a³0时,则f(x)在〔0,〕上是增函数,应有f(0)=1>0恒成立,故a³0‎ 若0££,即-1£a£0,则应有f()=恒成立,故-1£a£0‎ 综上,有-£a故选C ‎7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=( A )‎ A.100 B. 101 C.200 D.201‎ 解:依题意,a1+a200=1,故选A ‎8、在(x-)2006 的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=‎ 时,S等于(B )‎ A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009‎ 解:设(x-)2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006‎ 则当x=时,有a0()2006+a1()2005+…+a2005()+a2006=0 (1)‎ 当x=-时,有a0()2006-a1()2005+…-a2005()+a2006=23009 (2)‎ ‎(1)-(2)有a1()2005+…+a2005()=-23009¸2=-23008‎ 故选B ‎9、P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D )‎ A. 6 B.7 C.8 D.9‎ 解:设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时 ‎|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故选B ‎10、将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组2 人,不同的分组数为a,甲、乙分到同一组的概率为p,则a、p的值分别为( A )‎ A. a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=‎ 解:a==105‎ 甲、乙分在同一组的方法种数有 (1) 若甲、乙分在3人组,有=15种 (2) 若甲、乙分在2人组,有=10种,故共有25种,所以P=‎ 故选A ‎11、如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有( )‎ A. S1S2‎ C. S1=S2‎ D. S1,S2的大小关系不能确定 解:连OA、OB、OC、OD 则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+V O-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC又VA-BEFD=VA-EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC又面AEF公共,故选C ‎12、某地一年的气温Q(t)(单位:ºc)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10ºc,令G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( A )‎ ‎10ºc G(t)‎ ‎10ºc G(t)‎ G(t)‎ ‎10ºc t t t ‎12‎ ‎6‎ ‎6‎ O ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ O O 图(1)‎ ‎ ‎ B A D ‎10ºc G(t)‎ O ‎6‎ ‎12‎ t C G(t)‎ ‎10ºc ‎6‎ ‎12‎ t O ‎ ‎ 解:结合平均数的定义用排除法求解 理科数学 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 注意事项:‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置。‎ ‎13、数列{}的前n项和为Sn,则Sn=‎ ‎13、解: ‎ 故 ‎14、设f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),若〔f-1(m)+6〕〔f-1(n)+6〕=27‎ 则f(m+n)=___________________‎ 解:f-1(x)=3x-6故〔f-1(m)+6〕·〔f-1(x)+6〕=3m·3n=3m +n=27‎ m+n=3f(m+n)=log3(3+6)=2‎ ‎15、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ÐACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是___________‎ 解:连A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,‎ A1‎ C1‎ B C 连A1C,则A1C的长度就是所求的最小值。‎ 通过计算可得ÐA1C1C=90°又ÐBC1C=45° ÐA1C1C=135° 由余弦定理可求得A1C=‎ ‎16、已知圆M:(x+cosq)2+(y-sinq)2=1,‎ 直线l:y=kx,下面四个命题:‎ (A) 对任意实数k与q,直线l和圆M相切;‎ (B) 对任意实数k与q,直线l和圆M有公共点;‎ (C) 对任意实数q,必存在实数k,使得直线l与 和圆M相切 ‎(D)对任意实数k,必存在实数q,使得直线l与 和圆M相切 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)‎ 解:圆心坐标为(-cosq,sinq)d=‎ 故选(B)(D)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值 (1) 求a、b的值与函数f(x)的单调区间 (2) 若对xÎ〔-1,2〕,不等式f(x)f(2)=2+c 解得c<-1或c>2‎ ‎18、(本小题满分12分)‎ 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令x表示甲,乙摸球后获得的奖金总额。求:‎ ‎(1)x的分布列 (2)x的的数学期望 ‎18、解:(1)x的所有可能的取值为0,10,20,50,60‎ 分布列为 x ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎(2)Ex=3.3‎ ‎19、(本小题满分12分)‎ 如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是 边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,‎ 设ÐMGA=a()‎ (1) 试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)‎ 表示为a的函数 (1) 求y=的最大值与最小值 ‎19、解:‎ (1) 因为G是边长为1的正三角形ABC的中心,‎ 所以 AG=,ÐMAG=,‎ 由正弦定理 得 则S1=GM·GA·sina=‎ 同理可求得S2=‎ (2) y==‎ ‎=72(3+cot2a)因为,所以当a=或a=时,y取得最大值ymax=240‎ 当a=时,y取得最小值ymin=216‎ ‎20、(本小题满分12分)‎ 如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,‎ 且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形 (1) 求证:AD^BC (2) 求二面角B-AC-D的大小 (3) 在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD 成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由。‎ ‎20、解法一:‎ (1) 方法一:作AH^面BCD于H,连DH。‎ AB^BDÞHB^BD,又AD=,BD=1‎ AB==BC=AC BD^DC 又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH^BCAD^BC 方法二:取BC的中点O,连AO、DO 则有AO^BC,DO^BC,BC^面AOD BC^AD (1) 作BM^AC于M,作MN^AC交AD于N,则ÐBMN就是二面角B-AC-D的平面角,因为AB=AC=BC=M是AC的中点,且MN¤¤CD,则BM=,MN=CD=,BN=AD=,由余弦定理可求得cosÐBMN=‎ ÐBMN=arccos (2) 设E是所求的点,作EF^CH于F,连FD。则EF¤¤AH,EF^面BCD,ÐEDF就是ED与面BCD所成的角,则ÐEDF=30°。设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=, anÐEDF===解得x=,则CE=x=1‎ 故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角。‎ 解法二:此题也可用空间向量求解,解答略 ‎21、(本大题满分12分)‎ 如图,椭圆Q:(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点 (1) 求点P的轨迹H的方程 (2) 在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0b>0)‎ 上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),则 ‎1°当AB不垂直x轴时,x1¹x2,‎ 由(1)-(2)得 b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0‎ ‎ ‎ 2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)‎ ‎2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)‎ 故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0‎ ‎(2)因为,椭圆 Q右准线l方程是x=,原点距l 的距离为,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0…………2° 显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个nÎN*,有 ³1-()…………3° 用数学归纳法证明3°式:‎ (i) n=1时,3°式显然成立,‎ (ii) 设n=k时,3°式成立,‎ 即³1-()‎ 则当n=k+1时,‎ ³〔1-()〕·()‎ ‎=1-()-+()‎ ³1-(+)即当n=k+1时,3°式也成立。‎ 故对一切nÎN*,3°式都成立。‎ 利用3°得,³1-()=1-‎ ‎=1-> 故2°式成立,从而结论成立。‎
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