2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．已知，，则“”是“表示椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分。‎ ‎【详解】‎ 当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系。‎ ‎2．已知集合，,则MN=（ ）‎ A．{1} B．｛1，2｝ C．{} D．｛｝‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合N，再求M∩N即可．‎ ‎【详解】‎ 集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ ‎＝{0，1，2}，‎ ‎∴M∩N＝{0，1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．‎ ‎3．已知p(x,y)‎是不等式组x+y−1≥0‎x−y+3≥0‎x≤0‎的表示的平面区域内的一点，A(1,2)‎，O为坐标原点，则OA‎⋅‎OP的最大值（ ）‎ A．2 B．3 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，OP‎⋅OA=x+2y，令目标函数z=x+2y，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z=x+2y经过点B(0,3)‎时取得最大值，最大值为‎0+2×3=6‎，故选D．‎ 考点：简单的线性规划问题．‎ ‎4．设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，故，故选B 考点：集合运算.‎ ‎5．已知下列三个命题：‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x+y+1=0与圆相切．‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；‎ ‎③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d=‎ ‎=半径r，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．‎ 故选C．‎ ‎6．设全集I={1,2,3,4,5}‎，集合A={2,3,5}‎，集合B={1,2}‎，则‎(‎∁‎IB)∩A=‎（ ）‎ A．‎{2}‎ B．‎{3,5}‎ C．‎{1,3,4,5}‎ D．‎‎{3,4,5}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得CIB={3,4,5},‎所以‎(CIB)∩A={3,5}‎，所以选B ‎7．设集合， ，则集合等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,选A.‎ ‎8．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知：，则 ： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎9．已知集合，则下列关系正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，且，即；故选D．‎ 考点：1.对数不等式；2.指数的运算；3.元素与集合间的关系．‎ 二、填空题 ‎10．若实数x，y满足约束条件，则z＝lny－lnx的最小值是___．‎ ‎【答案】－ln3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再分析目标函数，确定其取得最小值时对应的最优解，解方程组，求得点的坐标，代入求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图所示：‎ 又因为，当取最小值时即得结果，‎ 根据表示的是点与原点连线的斜率，根据图形可知，在点C处取得最小值，‎ 解方程组，解得，此时z取得最小值，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意对目标函数进行分析，注意其对应的意义，分清目标函数的形式，注意找对最优解.‎ ‎11．已知等差数列‎{an}‎的通项公式为an‎=3n−2‎，等比数列‎{bn}‎中，b‎1‎‎=a‎1‎，b‎4‎=a‎3‎+1‎.记集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素接从小到大依次排列，构成数列‎{cn}‎，则数列‎{cn}‎的前‎50‎项和S‎50‎‎=‎ .‎ ‎【答案】3321‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列‎{bn}‎的公比为q，b‎1‎‎=a‎1‎=1,b‎4‎=a‎3‎+1=8‎，则q‎3‎‎=8⇒q=2,∴bn=‎‎2‎n−1‎，根据数列‎{an}‎和数列‎{bn}‎的增长速度．数列‎{cn}‎的前50项至多在数列‎{an}‎中选50项，数列‎{an}‎的前50项所构成的集合为‎{1,4,7,10,…,148}‎，‎2‎n−1‎‎<148‎得n≤8‎．数列‎{bn}‎的前8项构成的集合为‎{1,2,4,8,16,32,64,128}‎，其中1 ，4，16，64是等差数列‎{an}‎中的项；‎2,8,32,128‎不是等差数列中的项．a‎15‎‎=136>128‎．故数列‎{cn}‎的前50项应包含数列‎{an}‎的前46项和数列‎{bn}‎中的‎2,8,32,128‎这4项，所以S‎50‎‎=‎46(a‎1‎+a‎46‎)‎‎2‎+2+8+32+128=3321‎.‎ 考点：数列的性质.‎ ‎12．设满足约束条件：，则的最小值为 ____________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：可行域为一个开放区域，两条平行射线，一条线段AB及其内部，其中，所以直线过点B时取最小值-3.‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎13．设正实数满足，则的最大值为 ，的最小值为 ‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，变形可得的最大值；又可得且由二次函数区间的最值可得，最小值 考点：基本不等式 ‎14．设集合，，若，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若A∩B≠∅，得x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，分离变量再构造函数g（t），转为求函数最值即可得解.‎ ‎【详解】‎ 集合A＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0}，B＝{x|0≤x≤3}，‎ 若A∩B≠∅，得x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，‎ 即（2x+1）a≥x2+2x+3在x∈[0，3]有解，‎ 设t＝2x+1，则t∈[1，7]，则x＝，‎ 则a≥＝，‎ 设g（t）＝，t∈[1，7]，‎ 由对勾函数的性质可得y＝g（t）在（1，3）为减函数，在（3，7）上为增函数，又g（t）的最小值为g(3)＝2，‎ 所以实数a的取值范围是[2，+∞），‎ 故答案为[2，+∞）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式有解问题及集合交集的运算，考查转化与化归思想，考查对勾函数图像的性质，属中档题．‎ ‎15．不等式组表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则 =____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 因为直线恒过定点 所以当时，与平行 不等式组表示的区域是一个等腰梯形，符合题意；‎ 当时，与垂直 不等式组表示的区域是由两个全等的直角三角形组成的四边形，符合题意；‎ 综上可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用不等式组表示的区域形状求解参数，侧重考查对区域的理解.‎ ‎16．已知圆：，点为圆上任意一点，则的最大值______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，考虑直线 ，利用直线与圆有公共点可得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为：.‎ 设，则方程为直线的方程，因点为圆上任意一点，‎ 所以直线与圆有公共点，‎ 故即，故 ‎ 故的最大值为.‎ 故填.‎ ‎【点睛】‎ 对于非线性规划问题，我们要注意两个问题：（1）可能平面区域是由直线和某些曲线（如等），此时表示函数的图像的上方，表示函数的图像的下方；（2）目标函数可能是非线性的，此时需考虑目标函数对应的几何意义，比如非线性目标函数，如果令，那么就有，的含义就是直线的斜率．‎ 三、解答题 ‎17．解下列不等式：‎ ‎(1) ；(2) .‎ ‎【答案】（1） （2 ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分式不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）将移项、通分后式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求解即可得结果.‎ 试题解析：(1) <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－20;命题q：实数x满足x2-5x+6≤0‎ ‎（1）若a=1，且为真命题，求实数x的取值范围。‎ ‎（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分别求解命题p,q为真命题时对应的x的取值范围，由为真命题可知只需求x的范围的交集；（2）由p是q成立的必要不充分条件可知，由此可得到两集合边界值的大小关系，从而解不等式可求得a的取值范围 试题解析：（1）由得a， ......1分 又，所以， ......2分 当时，，即为真命题时，实数的取值范围是， ......3分 由得 ， ‎ 所以为真时实数的取值范围是， ......5分 若为真，则，所以实数的取值范围是； .....6分 ‎ ‎（2）设，， ......8分 是成立的必要不充分条件，则， ......10分 所以，即，所以实数的取值范围是。 ......12分 ‎ 考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎19．已知命题p：不等式恒成立；命题q：不等式有解，若P是真命题，q是假命题，求a的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解:或 故命题p为真命题时,或………………………………4分 又命题q：不等式有解 ‎………………………8分 从而命题q为假命题时，………………………10分 所以命题p为真命题，q为假命题时，‎ a的取值范围为……………………………………12分 ‎20．已知函数，求 ‎（1）函数的定义域；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性.‎ ‎【答案】(1) 且；(2)奇函数 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解不等式即得函数的定义域；（2）利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得得 且x，‎ 所以函数的定义域为且.‎ ‎（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称.‎ ‎,‎ 所以函数是奇函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21．已知集合，或．‎ 若，求，；‎ 若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)或，或； (2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出集合，集合，根据交并补的定义进行运算，‎ ‎（2）根据题意求出集合包含关系，解出参数．‎ ‎【详解】‎ 解：当时，则，‎ 所以或，‎ 由或，‎ 所以或，‎ 或；‎ 因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 当时，有，解得；‎ 当时，有，解得；‎ 综上：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算及由集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题．‎ ‎22．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：‎ ‎（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；‎ ‎（2）p：∃x∈R，x2+2x+5＞0．‎ ‎【答案】（1）全称量词命题；￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”；（2）存在量词命题；￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用全称命题的定义进行判断，并写出否定．‎ ‎（2）利用特称命题的定义进行判断，并写出否定．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；‎ 又由于“任意的”的否定为“存在一个”，‎ 因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”；‎ ‎（2）由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，‎ 因而是存在量词命题；‎ 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，‎ 因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的判断，以及含有量词的命题的否定形式，比较基础．‎