天津市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

天津市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

天津七中高一数学期中考试试卷 ‎2020.4.13‎ 一、选择题（本大题共10小题，共30分）‎ ‎1.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ 详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，‎ 在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；‎ 在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；‎ 在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；‎ 在D中，“至少有一个黑球”与“都红球”是对立事件，故D错误．‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.‎ ‎2.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：‎ A 100 B. ‎80 ‎C. 60 D. 40‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.已知为实数，为虚数单位，若 ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以是实数，且，故，应选答案A．‎ ‎4.已知向量满足，，则等于(　　)．‎ A. 1 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选D.‎ 点睛：求的常用的方法有：①若已知，则；②若已知表示的有向线段的两端点、的坐标，则；③构造关于 的方程，解方程求.‎ ‎5.已知复数（为虚数单位），则的虚部（　　）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. i D. -i ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,‎ 所以的虚部为1‎ 故选A ‎ ‎6.已知，，则的最大值和最小值分别是（ ）‎ A. 和 B. 3和1‎ C. 和 D. 和3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎，设，则 ,表示在以为圆心为半径的圆上，则表示到的距离，根据圆的几何性质可知，圆上的动点到点的最大值为，最小值为，故选A.‎ ‎7. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．‎ 考点：古典概型及其概率的计算．‎ ‎8.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】,,,‎ 可得:‎ 由 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,‎ 考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎9.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出答案．‎ ‎【详解】由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，‎ 由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，‎ 所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，‎ 所以ab＝6；‎ 则S△ABCabsinC；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积计算公式，关键是利用余弦定理求出ab的值.‎ ‎10.已知为的中心，，则的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出外接圆半径，利用向量数量积运算，即可求得，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可求得结果.‎ ‎【详解】不妨设外接圆半径为，‎ 因为 故可得，‎ 两边平方可得，‎ 则，‎ 故可得，‎ 故，‎ 解得，故可得，‎ 由同弧所对圆周角是圆心角的一半，‎ 故可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，属综合中档题.‎ 二、填空题（本大题共6小题，共24分）‎ ‎11.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.‎ ‎【答案】0.1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：这组数据的平均数为，．故答案应填：0.1‎ ‎【考点】方差 ‎【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.‎ ‎12.设向量，且，则m=_________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得 考点：向量的模 ‎13.已知向量，.若向量与垂直，则________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，又与垂直，‎ 故，‎ 解得，‎ 解得.‎ 故答案为：7.‎ ‎【点睛】本题考查通过向量数量积求参数的值.‎ ‎14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用正弦定理边化角，求得∠B的值，然后结合数量积的定义求解的值即可.‎ ‎【详解】 ‎ 根据正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为_____ N．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据力的平衡有，两边平方后可求．‎ ‎【详解】由题设有，故，‎ 所以，故，填．‎ ‎【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.‎ ‎16.如图所示，中，直线与边，及的延长线分别交于点，，则_________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得之间的关系，从而推出的等量关系，即可求得.‎ ‎【详解】连接，如下图所示：‎ 因为，故可得，‎ 因为三点共线，故可得，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及定比分点问题，属中档题.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共46分）‎ ‎17.在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．‎ ‎（Ⅰ）求∠A；‎ ‎（Ⅱ）求AC边上的高．‎ ‎【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为 ‎【解析】‎ 分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．‎ 详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．‎ 由正弦定理得 =，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．‎ ‎（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．‎ 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上高为．‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎18.已知.‎ ‎(1)求的最小正周期及单调递减区间;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；‎ ‎（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴的最小正周期.‎ 由，得，‎ ‎∴的单调递减区间为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 当，即时，函数取得最小值，为；‎ 当，即时，函数取得最大值，为.‎ 故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.‎ ‎19.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：‎ ‎(1)求频率直方图中a的值；‎ ‎(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；‎ ‎(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．‎ ‎【答案】(1)0.005 (2)2,3,(3)0.3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）据直方图知组距=10，‎ 由，解得 ‎（2）成绩落在中的学生人数为 成绩落在中的学生人数为 ‎（3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，‎ 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：‎ 其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：‎ 故所求概率为 ‎20.在中，角的对边分别为，向量，向量，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设的中点为，且，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由向量共线可得到坐标间的关系，即三角形边角的关系式，结合余弦定理可求得的大小；（2）由正弦定理将边转化为三角形的内角表示，借助于三角函数单调性可求得最大值.‎ 解：（1）因为，所以.由正弦定理可得，即.由余弦定理可知.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）设，则在中，由，可知.由正弦定理及，有，所以 ‎，所以，从而，由，可知，所以当，即时，取得最大值.‎ 点睛：本题是向量与解三角形结合，解答题中的向量运算以坐标运算为主，在解三角形问题中常利用正弦定理实现边化角，利用三角函数性质求最值，利用余弦定理由边可求得角的大小.‎ ‎ ‎