【数学】宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高二下学期期末考试（理）
宁夏回族自治区银川一中 2019-2020 学年
高二下学期期末考试（理）
一、选择题：（每道题 5 分，共 60 分）
1．已知曲线 ： ，则曲线 的参数方程为( )
A． ( 为参数 ) B． ( 为参数 )
C． ( 为参数 ) D． ( 为参数 )
2．在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cosθ B．ρ＝sinθ C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1
3． 的展开式中 的系数为( )
A．-15 B．-20 C．20 D．15
4．若直线的参数方程为Error!(t 为参数)，则直线的斜率为( )
A．1
2 B．－1
2 C．2 D．－2
5．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了 5 天，其开业天数与每天的
销售额的情况如下表所示：
开业天数 10 20 30 40 50
销售额/天(万元) 62 75 81 89
根据上表提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为y^
＝0.67x＋54.9，由于表中有一
个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( )
A．67 B．68 C．68.3 D．71
6．求曲线 C：x2－y2
64＝1 经过Error!变换后所得曲线 C1 的焦点坐标为( )
A．F1(－5,0)，F2(5,0) B．F1(－ ,0)，F2( ,0)
C．F1(0,－5)，F2(0,5) D．F1(0, )，F2(0,－ )
7．一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直
到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X＝12)等于( )
A．C1012(3
8)10(5
8)2 B．C 912(3
8)9(5
8)2 C．C 911(5
8)9(3
8)2 D．C 911(3
8)10(5
8)2
8．分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里检查暖气管道，要求 4 名水暖工都分配出去，并
且每名水暖工只去一个居民家，每个居民家都要有人检查，则分配的方案共有( )
C 222 =+ yx C
θ
θ
sin2
cos2{ =
=
y
x θ [ )πθ 20，∈ θ
θ
sin2
cos2{ =
=
y
x θ [ )πθ 20，∈
θ
θ
cos2
sin2{ =
=
y
x θ [ )πθ ，0∈ θ
θ
cos2
sin2{ =
=
y
x θ [ )πθ ，0∈
2 61( )x x
− 3x
5 5
5 5
2( )
( )( )( )( )
n ad bck a b c d a c b d
−= + + + +
A．A 34种 B．A33·A 13种 C．C14·C13·A 33种 D．C24·A 33种
9．某大学组织了“强基计划数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布
N(75,121)(单位：分)，考生共有 1 000 人，估计数学成绩在 75 分到 86 分之间的人数约为
(参考数据 P(μ－σ
( 2 4)P − −，
22 2
24 2
x t
y t
= − +
= − +
14．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层停靠，若该电梯在底层有 5 个乘客，
且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为1
3，用 ξ 表示 5 位乘客在第 20 层下电梯的
人数，则 P(ξ＝4)＝____.
15．若 x、y∈R 且满足 x＋3y＝2，则 3x＋27y 的最小值是____.
16．设 a、b 为正实数，现有下列命题：
(1)若 ，则 ； (2)若 ，则 ；
(3)若 ，则 ； (4)若 ，则 ；
其中为真命题的是____.（写成所有真命题的序号）
三、解答题：(共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．（本小题满分 10 分）
已知：椭圆 C: ,直线 l : .
（1）求椭圆 C 的参数方程；
（2）求椭圆 C 上一点 到直线 l 的距离的最小值．
18．（本小题满分 12 分）
王府井百货分店今年春节期间，消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽
奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对春节前 7 天参加抽奖活动
122 =−ba 1<−ba 111 =−
ab 1<−ba
1=− ba 1<−ba 133 =−ba 1<−ba
11216
22
=+ yx 0122 =−− yx
P
的人数进行统计， 表示第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 5 8 8 10 14 15 17
经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
（2）若该活动只持续 10 天，估计共有多少名顾客参加抽奖．
参与公式： ， ，．
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）求不等式 f(x)＜3 的解集；
（2）若 ， ，且 ，求证： ．
20．(本小题满分 12 分）
y x
y x
y x +y bx a=
2
1
2
1
1
2
1
)(
))((
ˆ
xnx
yxnyx
xx
yyxx
b n
i
i
n
i
ii
n
i
i
i
n
i
i
−
−
=
−
−−
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= a y bx= − ∑
=
=
7
1
364
i
ii yx
( ) 2f x x= −
0a > 0b > 1 1 1a b
+ = ( ) ( )3 1 4f a f b+ + + ≥
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 ，曲线
的极坐标方程是 ．
（1）求直线 l 和曲线 的直角坐标方程，曲线 的普通方程；
（2）若直线 l 与曲线 和曲线 在第一象限的交点分别为 P，Q，求 的
值．
21．(本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集；
(2)设 a＞－1 时，且当 x∈[－a
2，1
2)时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围．
22．(本小题满分 12 分）
1C 3
3
cos
sin
t
t
x
y
= =
cos sinθ θ= 2C
6cos 4sinρ θ θ= +
2C 1C
1C 2C OP OQ+
2020 年 1 月 10 日，引发新冠肺炎疫情的 COVID-9 病毒基因序列公布后，科学家们便
开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕
能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种
疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种后
当天出现抗体的概率为 ，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.
（1）求一个接种周期内出现抗体次数 k 的分布列；
（2）已知每天接种一次花费 100 元，现有以下两种试验方案：
①若在一个接种周期内连续 2 次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验
持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 X 元；
②若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持
续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 Y 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案。
2
1
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D B A D D B C C A
二、填空题：
13、 14、 15、6 16、1,4
三、解答题：
17（1）椭圆的参数方程是
（2）依题意知椭圆的参数方程是 ，故椭圆上任意一点到直线 的
距离是 ，
当 时，
18.1）依题意： ，
，
，
，
则 关于 的线性回归方程为 ．
（2）预测 时， ， 时， ， 时， ，
此次活动参加抽奖的人数约为 人
19.（解：（1）， （5 分）
（2） ，因为 ， ， ， ，
3−
243
10
=
=
θ
θ
sin32
cos4
y
x
=
=
θ
θ
sin32
cos4
y
x 0122 =−− yx
|3)3cos(2|5
54|3sin3cos|5
54
21
|12sin322cos4|
22
−+=−−=
+
−×−= πθθθθθd
03
=+ πθ
5
54
min =d
( )1− ，5
1 1 1a b
+ = 0a > 0b > 10 1a
< < 10 1b
< <
所以 ， ，
由题意知 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 .
20.解：（1）由 ，得 ，
代入 ，得 ，
故直线 l 的直角坐标方程是 ．
由 ，
得 ，
代入 ，得 ，
即 ，
故曲线 的直角坐标方程是 ．
由 ，得
即 ．
故曲线 的普通方程是 ．
（2）曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
1a > 1b >
( ) ( )3 1 1 1 1 1f a f b a b a b a b+ + + = + + − = + + − = +
1 1 1a b
+ =
( )1 1 2 4b aa b a ba b a b
+ − = + + = + + ≥
b a
a b
= 2a b= =
( ) ( )3 1 4f a f b+ + + ≥
cos sinθ θ= cos sinρ θ ρ θ=
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= x y=
0x y− =
6cos 4sinρ θ θ= +
2 6 cos 4 sinρ ρ θ ρ θ= +
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2 6 4x y x y+ = +
2 2 6 4 0x y x y+ − − =
2C 2 2 6 4 0x y x y+ − − =
3 cos
3sin
x t
y t
= =
2 2
133
x y + =
2 2
13 9
x y+ =
1C
2 2
13 9
x y+ =
1C 2
2
9
1 2cos θρ = +
2C 6cos 4sinρ θ θ= +
所以 ， ． （9 分）
所以 ． （10 分）
21.(1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则 y＝Error!
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0
＜x＜2}．
(2)当 x∈[－a
2，1
2)时，f(x)＝1＋a，
不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3，
所以 x≥a－2 对 x∈[－a
2，1
2)都成立，故－a
2≥a－2，即 a≤4
3.
从而 a 的取值范围是(－1，4
3].
22.（1）由题意可知，随机变量 服从二项分布 ，
故 .
则 的分布列为
0 1 2 3
（2）①设一个接种周期的接种费用为 元，则 可能的取值为 200，300，
因为 ， ，
所以 .
所以三个接种周期的平均花费为
2
9 3 2
21 2cos 4
OP π= =
+
6cos 4sin 5 24 4OQ
π π= + =
13 2
2OP OQ+ =
②随机变量 可能的取值为 300，600，900，
设事件 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体”，由（1）知， .
所以 ， ，
，
所以 .
因为 .
所以选择方案二
