【数学】2018届一轮复习人教A版1-2四种命题及相互、充分条件与必要条件学案

【数学】2018届一轮复习人教A版1-2四种命题及相互、充分条件与必要条件学案

‎1．四种命题及相互关系 ‎2．四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；‎ ‎(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎【知识拓展】‎ 从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　×　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　×　)‎ ‎(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．(　√　)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)‎ ‎(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　√　)‎ ‎(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)‎ ‎1．下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 答案　A 解析　对于A，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.‎ ‎2．(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)‎ A．若xy，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2‎ 答案　B 解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．‎ ‎3．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由(x－1)(x＋2)＝0可得x＝1或x＝－2，‎ ‎∵{1}{1，－2}，‎ ‎∴“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．‎ ‎4．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．‎ ‎5．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；‎ ‎②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；‎ ‎③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．‎ 答案　①②‎ 解析　易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.‎ 题型一　命题及其关系 例1　(2016·宿州模拟)下列命题：‎ ‎①“若a21，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A．③④ B．①③ C．①② D．②④‎ 答案　A 解析　对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.‎ 思维升华　(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ ‎　(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是(　　)‎ A．若x>0，则x2≤0‎ B．若x2>0，则x>0‎ C．若x≤0，则x2≤0‎ D．若x2≤0，则x≤0‎ ‎(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)‎ A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 答案　(1)C　(2)D 题型二　充分必要条件的判定 例2　(1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3x2，得21且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，‎ 当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即q⇏p，‎ 故p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)(等价法)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，‎ 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，‎ 因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，‎ 所以綈q是綈p的充分不必要条件，‎ 即p是q的充分不必要条件，故选A.‎ 题型三　充分必要条件的应用 例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则 ‎∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．‎ 引申探究 ‎1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ 解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴方程组无解，‎ 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件，‎ ‎∴P⇒S且S⇏P.‎ ‎∴[－2,10][1－m,1＋m]．‎ ‎∴或 ‎∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．‎ 思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎　(1)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．‎ ‎(2)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(1)(0,3)　(2)[0，]‎ 解析　(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|01或x<}，‎ 綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]‎ 思想方法指导　等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．‎ 解析　(1)因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件．‎ ‎(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．‎ ‎∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.‎ 答案　(1)A　(2)A ‎1．命题“若α＝，则tan α＝1”的否命题是(　　)‎ A．若α≠，则tan α≠1‎ B．若α＝，则tan α≠1‎ C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ 答案　A ‎2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是(　　)‎ A．如果x2} D．{m|－23，‎ 即m>2，故选C.‎ ‎7．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.‎ 故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．‎ ‎ 8.(2015·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)‎ A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 答案　B 解析　若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)·a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.‎ ‎9．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案　充分不必要 解析　∵a－b>1，即a>b＋1.‎ 又∵a，b为正数，‎ ‎∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．‎ ‎10．有三个命题：‎ ‎①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；‎ ‎③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．‎ 其中真命题的序号为____________．‎ 答案　①‎ 解析　命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．‎ ‎11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案　充要 解析　若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，‎ 又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．‎ 当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，‎ ‎∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．‎ 故x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．‎ 反之，若x∈[3,4]时，f(x)是减函数，‎ 此时x－4∈[－1,0]，‎ ‎∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，‎ 则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．‎ ‎∵y＝f(x)是偶函数，‎ ‎∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．‎ 故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．‎ ‎12．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　[0,2]‎ 解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，‎ ‎∴或∴0≤m≤2.‎ ‎13．若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．‎ 答案　[，＋∞)‎ 解析　若数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*‎ 都成立，于是可得3>2λ，即λ<.‎ 故所求λ的取值范围是[，＋∞)．‎ ‎*14.下列四个结论中：‎ ‎①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．‎ 其中正确的是________．‎ 答案　①④‎ 解析　由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；‎ 由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；‎ 由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，‎ 反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，‎ 所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．‎ ‎*15.已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解　y＝x2－x＋1‎ ‎＝(x－)2＋，‎ ‎∵x∈[，2]，∴≤y≤2.‎ ‎∴A＝{y|≤y≤2}．‎ 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，‎ ‎∴B＝{x|x≥1－m2}．‎ ‎∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，‎ ‎∴A⊆B，∴1－m2≤，‎ 解得m≥或m≤－，‎ 故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．‎