湖北省武汉市钢城四中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
www.ks5u.com
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，
，选C
2.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求出函数的值域.
【详解】因为，
所以函数的值域为：.
故选：D.
【点睛】本题考查利用不等式的性质求函数的值域，注意不等式两边取倒数时，不会改变两边的正负，所以不能弄错，考查基本运算求解能力.
3.函数(且)的图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令对数的真数为1，求出的值，从而得到函数过的定点坐标.
【详解】令，所以，
所以函数过定点坐标为.
故选：C.
【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查对概念的理解，即只要对数的真数为1，不管底数如何变化，其对数值恒为1，考查基本运算求解能力.
4.下图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则图象对应的值依次是（ ）
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
【答案】C
【解析】
【分析】
作出直线与曲线分别相交于四点，则的横坐标即为底数的值.
【详解】作出直线与曲线分别相交于四点，
则的横坐标即为底数的值，
因为，
所以四个数分别对应于的底数.
故选：C.
【点睛】本题考查底数对函数图象的影响变化，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，求解时注意利用直线进行问题转化.
5.设（为自然对数的底数），则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据对数函数与指数函数的性质可借助中间数比较．
详解：，，，∴．
故选D．
点睛：比较大小时，能用一个函数的，可根据函数的单调性进行比较，不能归到一个函数的可借助于中间数比较，如0，1，2等等．
6.已知函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系中的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由幂函数的图象得，则为增函数，为减函数，从而得到答案.
【详解】由幂函数的图象得，
由，得该函数单调递增，
由，得该函数单调递减，
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数、指数函数、对数函数的图象，考查数形结合思想的运用，求解的关键是抓住函数的单调性.
7.已知，则＝ （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：,故选B．
考点：分段函数．
8.已知是定义在上的减函数，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数单调性和运算关系，得到不等式组，解不等式即得答案。
【详解】
解得：，
所以不等式的解集为：.
故选：B.
【点睛】本题考查指数函数的单调性、指数不等式的解法，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查指数幂的运算与求解.
9.某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
2
3
2.5
2.75
2.625
2.5625
1.0986
0.512
0.215
0.066
则方程的近似解（精确度0.1）可取为（ ）
A. 2.52 B. 2.625 C. 2.47 D. 2.75
【答案】A
【解析】
【分析】
利用零点存在定理，找到两个端点值，使得，并使得，从而得到或为方程的近似解.
【详解】由表格的数据得：，
因为函数在单调递增，
所以在存在唯一的零点，且，
所以方程的近似解可取区间内任意数，故可取.
故选：A.
【点睛】本题考查函数零点存在定理的运用、函数零点与方程根的转化关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，求解时注意对近似解精确度的要求.
10.已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2) B. [2，＋∞)
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：可看出该函数是由和复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义便可建立关于a的不等式组，解出即可.
详解：令t＝g(x)＝x2－ax＋3a,易知f(t)＝log0.5t在其定义域上单调递减,要使f(x)＝log0.5 (x2－ax＋3a)在[1,＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1,＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即所以即－
0且a≠1)的图象．有以下叙述：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为，，时，所经过时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是________．
【答案】①③
【解析】
根据题意，函数的图象经过点，故函数为
令时，，故①正确；
令时，，减少，当时，减少，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；
分别令，解得 t1＋t2＝t3故③正确；
答案：①③.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）（2）19
【解析】
【分析】
（1）由指数的运算性质,对数换底公式,对数的运算性质,即可求解；
（2）由对数换底公式,对数的运算性质,指数的运算性质,即可求解；
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查指数的运算性质,以及对数的运算性质,对数换底公式的化简、求值问题,解答时需熟记指数、对数的运算性质与公式,准确运算是解答关键,着重考查运算能力
18.已知集合A={x|x2-4x+3≤0}，B={x|log2x＞1}，
（I）求A∩B，（∁RB）∪A；
（II）若{x|1＜x＜a}⊆A，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）A∩B={x|2＜x≤3}，（∁RB）∪A={x|x≤3}．（Ⅱ）a≤3．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先解不等式得集合A，B，再根据交集、补集、并集定义求结果，（II）根据子集为空集与非空分类讨论，解得结果.
【详解】解：（Ⅰ）
则,
（Ⅱ）若,即，满足条件,
若，则需
综上．
【点睛】本题考查集合交并补运算以及解不等式，考查基本运算求解能力，属基础题.
19.已知关于x的二次函数
（1）求证：对于任意方程必有实数根；
（2）若方程在区间和内各有一个实数根，求实数的范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将方程整理成，再计算判别式；
（2）因为方程在区间和内各有一个实数根，利用一元二次函数根的分布得到区间端点函数值的三个不等式.
【详解】（1）方程必有实根必有实根，
因为，
所以方程必有实根.
（2）因方程在区间和内各有一个实数根，
所以解得：.
所以实数的范围是.
【点睛】本题考查一元二次函数与一元二次方程之间的关系、及一元二次函数零点分布，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
20.已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数的单调性；
【答案】（1）奇函数；（2）单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求出定义域关于原点对称，再判断，从而得到函数为奇函数；
（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义进行证明.
【详解】（1）的定义域为关于原点对称，，
因为，
所以为奇函数.
（2）任取，且，
，
因为，所以，
所以函数单调递减.
【点睛】本题考查函数奇函数的判断、单调递减函数的定义证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，再判断奇函数和证明函数的单调性时，要注意指数幂的相关运算.
21.某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图甲，B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图乙注：利润与投资单位为万元
分别将A，B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式；
该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？
【答案】（1），，
（2）当A产品投入万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润约为万元。
【解析】
【分析】
（1）根据题意可设代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式;
（2）设设A产品投入x万元，则B产品投入万元，企业获利利用换元法结合二次函数的性质即可求出.
【详解】解：投资为x万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题设，由图知，，又，，
从而，，
设A产品投入x万元，则B产品投入万元，设企业的利润为y万元
，令，
，
当，此时，
当A产品投入万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润约为万元。
【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
22.已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数．
（1）确定，的解析式；
（2）若在上有零点，求的取值范围；
（3）若对任意的，不等式 恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）、；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的性质得从而求得的值；
（2）先求得，问题转化为函数与在有交点，求导得函数单调性，进而求得的取值范围；
（3）利用函数为奇函数且单调递减，将不等式对任意的恒成立，转化成对任意的恒成立，再利用判别式求解.
【详解】（1）设且，
因为，所以，
所以；
因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）得，
因为在上有零点，
所以方程在有解，
所以函数与在有交点，
令，则，
当，所以在单调递增；
当，所以在单调递减，且，
所以，
所以
（3）不等式，
因为函数在上单调递减，
所以对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
所以.
【点睛】本题考查指数函数的定义、零点存在定理、利用奇偶性和单调性解不等式恒成立，考查转化与化归思想、数形结合思想的应用，求解时要注意一元二次不等式恒成立问题与判别式之间的关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
