【数学】2018届一轮复习北师大版不等式的证明学案
第2讲 不等式的证明
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1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
2．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．
3．数学归纳法证明不等式的关键
使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．
比较法证明不等式
求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；
(2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab).
【证明】 (1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)
＝(x－1)
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2.
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
所以1＋2x4≥2x3＋x2.
(2)＝ab＝，当a＝b时，＝1；当a>b>0时，>1，>0，>1；
当b>a>0时，0<<1，<0，>1.
所以aabb≥(ab).
作商比较法证明不等式的一般步骤
(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商；
(2)变形：将商式的分子放(缩)，分母不变，或分子不变，分母放(缩)，或分子放(缩)，分母缩(放)，从而化简商式为容易和1比较大小的形式；
(3)判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1；
(4)结论．
1．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．
由a，b是非负实数，作差得
a3＋b3－(a2＋b2)
＝a2(－)＋b2(－)
＝(－)．
当a≥b时，≥，
从而()5≥()5，
得(－)≥0；
当a
0，
所以a3＋b3≥(a2＋b2)．
2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证abba≤(ab).
＝ab－ba－＝.
当a＝b时，＝1；
当a>b>0时，0<<1，
>0，<1.
当b>a>0时，>1，<0，<1.
所以abba≤(ab).
用综合法、分析法证明不等式
设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy.
【证明】 由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋≤＋＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
因为－
＝－
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
所以＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
反证法证明不等式
设0，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>，①
又因为00，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.
(1)设a<0，因为abc>0，所以bc<0.
又由a＋b＋c>0，则b＋c>－a>0，
所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与题设矛盾．
(2)若a＝0，则与abc>0矛盾，所以必有a>0.
同理可证：b>0，c>0.
综上可证a，b，c>0.
放缩法证明不等式
若a，b∈R，求证：≤＋.
【证明】 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．
当|a＋b|≠0时，
由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，
所以＝≤＝
＝＋≤＋.
“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性；
(3)真分数性质“若00，则<”．
在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．
设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.
由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得≤<.
当k＝1时，≤<；
当k＝2时，≤<；
…
当k＝n时，≤<，
所以＝≤＋＋…＋<＝1.
所以原不等式成立．
用数学归纳法证明不等式
证明贝努利不等式：
设x∈R，且x>－1，x≠0，n∈N，n>1，则(1＋x)n>1＋nx.
【证明】 (1)当n＝2时，因为x≠0.
所以(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，
即有(1＋x)k>1＋kx，
则当n＝k＋1时，由于x>－1，x≠0.
所以(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)
＝1＋x＋kx＋kx2>1＋(k＋1)x，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)可知，贝努利不等式成立．
用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：
(1)证明当n＝n0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确．
(2)在假设n＝k(k≥n0)时命题正确的基础上，推证当n＝k＋1时，命题也正确．
这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．
证明：对于n∈N*，不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立．
(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，
即有|sin kθ|≤k|sin θ|.
当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin kθcos θ＋cos kθsin θ|
≤|sin kθcos θ|＋|cos kθsin θ|
＝|sin kθ|·|cos θ|＋|cos kθ|·|sin θ|
≤|sin kθ|＋|sin θ|
≤k|sin θ|＋|sin θ|
＝(k＋1)|sin θ|.
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．
1．若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
(1)由＝＋≥，
得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，
且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，
使得2a＋3b＝6 .
2．(2017·贵州省六校第一次联考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，
所以＋＋＝＋＋
＝2
＝2
＝2＋4
≥4 ＋4＝8
，
所以＋＋≥8.
(2)因为＝＋＋＋1，
由(1)知＋＋≥8.
所以≥9.
3．(2017·沈阳模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：
(1)a＋b＋c≥.
(2)＋＋≥(＋＋)．
(1)要证a＋b＋c≥，
由于a，b，c>0，
因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.
而ab＋bc＋ca＝1，
故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
所以原不等式成立．
(2)＋＋＝.
在(1)中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成 立，
只需证明≥＋＋，
即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，
b≤，c≤，
所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)．
所以原不等式成立．
4．(20 16·高考全国卷甲)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1，
所以－1＜x≤－；
当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1，
所以≤x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
5．已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，求证：＋＋≥.
法一：因为(a－d)
＝
≥3·3＝9，
当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，
所以＋＋≥.
法二：因为(a－d)
＝
≥＝9，
当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，
所以＋＋≥.
6．求证：＋＋＋…＋<2.
因为<＝－，
所以＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋＝2－<2.
