【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案

第62讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考试说明 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.‎ ‎2.借助实际问题的直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量的期望与方差 ‎2017全国卷Ⅲ 18,2016全国卷Ⅰ19,2016全国卷Ⅱ18,‎ ‎★★★‎ 正态分布 正态分布 ‎2017全国卷Ⅰ19,2014全国卷Ⅰ18‎ ‎★★☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2017·全国卷Ⅲ 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高 气温 ‎[10,‎ ‎15)‎ ‎[15,‎ ‎20)‎ ‎[20,‎ ‎25)‎ ‎[25,‎ ‎30)‎ ‎[30,‎ ‎35)‎ ‎[35,‎ ‎40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数 期望达到最大值?‎ 解:(1)由题意知,X的所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时,‎ 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.‎ 因此E(Y)=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.‎ 当200≤n<300时,‎ 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.‎ 因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.‎ 所以n=300时,Y的数 期望达到最大值,最大值为520元.‎ ‎2.[2017·全国卷Ⅰ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).‎ ‎(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数 期望;‎ ‎(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;‎ ‎(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:‎ ‎9.95　 10.12　 9.96　 9.96　 10.01　 9.92‎ ‎9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02‎ ‎9.22 10.04 10.05 9.95‎ 经计算得=xi=9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.‎ 用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).‎ 附:若随机变量 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ< <μ+3σ)=0.997 4,0.997 416≈0.959 2,≈0.09.‎ 解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X B(16,0.002 6).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.‎ X的数 期望E(X)=16×0.002 6=0.041 6.‎ ‎(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎(ii)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值=9.97,σ的估计值=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.‎ 剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为×(16×9.97-9.22)=10.02,‎ 因此μ的估计值为10.02.‎ ‎=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,‎ 剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,‎ 因此σ的估计值为≈0.09.‎ ‎3.[2016·全国卷Ⅱ 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60 的概率;‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ 解:(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,‎ 故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.‎ ‎(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60 ”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,‎ 故P(B)=0.10+0.05=0.15.‎ 又P(AB)=P(B),‎ 故P(B|A)====, ‎ 因此所求概率为.‎ ‎(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为 X ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a P ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ E(X)=‎0.85a×0.30+a×0.15+‎1.25a×0.20+‎1.5a×0.20+‎1.75a×0.10+‎2a×0.05=‎1.23a.‎ 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.‎ ‎4.[2016·全国卷Ⅰ 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?‎ 解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04;‎ P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;‎ P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;‎ P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;‎ P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;‎ P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;‎ P(X=22)=0.2×0.2=0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).‎ 当n=19时,‎ E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040. ‎ 当n=20时,‎ E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.‎ 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.‎ ‎5.[2014·全国卷Ⅰ 从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图:‎ ‎(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).‎ ‎(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.‎ ‎(i)利用该正态分布,求P(187.8< <212.2);‎ ‎(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求E(X).‎ 附:≈12.2.‎ 若 N(μ,σ2),则p(μ-σ< <μ+σ)=0.682 6,‎ p(μ-2σ< <μ+2σ)=0.954 4.‎ 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为 ‎=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200.‎ s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.‎ ‎(2)(i)由(1)知, N(200,150),从而P(187.8< <212.2)=P(200-12.2< <200+12.2)=0.682 6.‎ ‎(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知X B(100,0.682 6),所以E(X)=100×0.682 6=68.26.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2017·浙江卷 已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0D(ξ2)‎ C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)‎ ‎[解析 A　由随机变量的均值公式,得E(ξ1)=1·p1+0·(1-p1)=p1,E(ξ2)=1·p2+0·(1-p2)=p2,而0120)= [1-2P(110≤X≤120) =0.16,故估计该班 生数 成绩在120分以上的有0.16×50=8(人).‎ ‎6.,1　[解析 由X N得E=1,D=4.又X+2Y=4,所以Y=2-,所以E=2-E=,D=D=1.‎ ‎7.　[解析 ξ的可能取值为0,1,2,3.∵P(ξ=0)=××=,P(ξ=1)=××+××+××=,P(ξ=2)=××+××+××=,P(ξ=3)=××=,∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.‎ ‎8.1　　[解析 由a++=1,得a=,所以期望E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)对A餐厅“满意度指数”为0,是指分数在[0,30)内,由频率分布直方图求出在[0,30)内的频率,再求出人数.(2)分别求出对A,B餐厅评价“满意度指数”为0,1,2时的概率.对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高包括:对A餐厅评价的“满意度指数”为1,对B餐厅评价的“满意度指数”为0;对A餐厅评价的“满意度指数”为2,对B餐厅评价的“满意度指数”为0;对A餐厅评价的“满意度指数”为2,对B餐厅评价的“满意度指数”为1.由相互独立事件计算公式,求出结果.(3)从 生对A,B餐厅评价的“满意度指数”的期望的角度来选择,分别求出分布列,算出期望,得出结果.‎ 解:(1)由A餐厅分数的频率分布直方图,得对A餐厅评价“满意度指数”为0的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,‎ 所以,对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20.‎ ‎(2)设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C.‎ 记“对A餐厅评价‘满意度指数’为‎1”‎为事件A1;“对A餐厅评价‘满意度指数’为‎2”‎为事件A2;“对B餐厅评价‘满意度指数’为‎0”‎为事件B0;“对B餐厅评价‘满意度指数’为‎1”‎为事件B1.‎ 所以P(A1)=(0.02+0.02)×10=0.4,P(A2)=0.4,‎ 用频率估计概率得P(B0)==0.1,P(B1)==0.55.‎ 因为事件Ai与Bj相互独立,其中i=1,2,j=0,1,‎ 所以P(C)=P(A1B0+A2B0+A2B1)=P(A1)P(B0)+P(A2)P(B0)+P(A2)P(B1)=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3.‎ 所以该 生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3.‎ ‎(3)选择B餐厅用餐.理由如下:‎ A餐厅“满意度指数”X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ B餐厅“满意度指数”Y的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.55‎ ‎0.35‎ 因为E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2,E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25,‎ E(X)

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