郴州市 2017 届高三第三次教学质量监测试卷 文科数学

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郴州市 2017 届高三第三次教学质量监测试卷 文科数学 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一 项符合题目要求. 1.已知集合    2| 6 5 0 , 1,2,3,4,5M x x x N     ，则 M N  A. 1,2,3,4 B.  2,3,4,5 C.  2,3,4 D. 1,2,4,5 2.设 1 i a bii   （ ,a b R ,i 是虚数单位），则 a bi  A. 1 B. 1 2 C. 2 D. 2 2 3.从集合  2, 1,2A    中随机选取一个数记为 a，从集合  1,1,3B   中随机选取一个数记为 b， 则直线 0ax y b   不经过第四象限的概率为 A. 2 9 B. 1 3 C. 4 9 D. 1 4 4.函数   2sin 2 3f x x      的图象关于直线 0x x 对称，则 0x 的最小值为 A. 12  B. 6  C. 4  D. 5 12  5.《九章算术  均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令 上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是“已知甲、 乙、丙、丁、戊”五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊 三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列， 问五人各得多少钱？（“钱”是古代的一种重量单位）.这个 问 题中，乙所得为 A. 4 3 钱 B. 7 6 钱 C. 6 5 钱 D. 5 4 钱 6.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积是 A. 4 2 6 B. 4 6 C. 4 2 2 D. 4 2 7.设关于 ,x y 的不等式组 2 1 0 0 0 x y x m y m          表示的平面区域内存在点  0 0,P x y ，满足 0 02 2x y  ， 则 m 的取值范围是 A. 4, 3     B. 1, 3     C. 2, 3      D. 5, 3      8.如图，程序输出的结果为 1320s  ，则判断框 内 应填入 A. 10?i  B. 10?i  C. 11?i  D. 11?i  9.函数     sin ln 2 xf x x   的图象可能是 10.已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在某球面上， PC 为该球的直径， ABC 是边长为 4 的等边 三角形，三棱锥 P ABC 的体积为16 3 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. 16 3  B. 40 3  C. 64 3  D. 80 3  11.如图，以双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右顶点 2A 为圆 心作一个圆，该圆与其渐近线 0bx ay  交于 ,P Q 两点，若 2 90 , 2PA Q PQ OP   ，则该双 曲线的离心率为 A. 7 2 B. 5 2 C. 5 D. 3 12.已知曲线 : xC y e 和直线 : 0l ax by  ，若直线l 上有且只有两个关于 y 轴对称的点在曲线 C 上，则 b a 的取值范围是 A.  , e  B. 1, e     C. 10, e      D. ,e  第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.设向量    ,2 , 1, 1a x b    ，且  a b b    ，则 x 的值为 . 14.已知奇函数     1, 0 , 0 xe xf x x h x x       ，则函数  h x 的最大值为 . 15.已知直线 : 6 0l x y   和圆 2 2: 2 2 2 0M x y x y     ，点 A 在直线l 上，若圆 M 上存在一 点 C,使得 30MAC   ，则点 A 的横坐标的取值范围为 . 16.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 ,n nS a n N    ，令 n nb na ，记 nb 的前 n 项和为 nT ， 若不等式 1 n n nT b   对任意的正整数 n 恒成立，则实数  的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分 12 分） 已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 , ,a b c 成等比数列， 3cos .5B  （1）求 cos cos sin sin A C A C  的值； （2）若 ABC 的面积为 2，求 ABC 的周长. 18.（本题满分 12 分）2017 年郴州市两会召开前夕，某网 站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百 姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 80%，现从参与者中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 组 15,25 ，第 2 组 25,35 ，第 3 组 35,45 ，第 4组 45,55 ，第 5 组  55,65 ，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出频率分布直方图中 a 的值，并求出这 200 的平均年龄； （2）现在要从年龄较小的第 1 组合第 2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽 取 2 人赠送礼品，求抽取的 2 人中至少有 1 人的年龄在第 1 组的概率； （3）把年龄在第 1,2,3 组的居民称为青少年组，年龄在第 4,5 组的居民称为中老年组，若选出的 200 人中不关注民生问题的人中老年人有 10 人，根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否可以 在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为关注民生问题与年龄有关？ 19.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为边长为 2 的正三角形，且与底面 垂直，底面 ABCD 是菱形，且 60ABC   ， M 为 PC 的中点. （1）在棱 PB 上是否存在一点Q ，使得 , , ,A Q M D 四点共面？若存在，求出点Q 的位置并证明； 若不存在，请说明理由； （2）求点 D 到平面 PAM 的距离. 20.（本题满分 12 分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     过点  3,1A  ，斜率为 3 的直线 1l 过 椭圆C 的焦点及点  0, 2 3 .B  （1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线 2l 过椭圆C 的左焦点 F ，交椭圆于点 ,P Q ，若直线 2l 与两坐标轴都不垂直，试问 x 轴上是否存在一点 M ，使得 MF 恰好为 PMQ 的角平分线？若存在，求出点 M M 的坐标；若不 存在，请说明理由. 21.（本题满分 12 分）已知函数   1ln 1, 0f x ax ax     （1）求函数  f x 的单调区间； （2）已知    g x xf x x   ，若函数  g x 有两个极值点  1 2 1 2,x x x x ，求证：  1 0g x  . 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请 用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。 22.（本题满分 10 分）选修 4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系 xoy 中，圆C 的参数方程为 1 cos sin x y       （ 为参数），以坐标原点 O 为极 点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 2 sin 3 33       ，射线 : 3OM   与圆 C 的交点为 O,P,与直线l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2 , 0.f x x x a a    （1）当 1a  时，解不等式   8f x  （2）若   6f x  ，恒成立，求实数 a 的取值范围.