【数学】2019届一轮复习人教A版　圆锥曲线的定义、方程、几何性质学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　圆锥曲线的定义、方程、几何性质学案

第12讲　圆锥曲线的定义、方程、几何性质 题型1　圆锥曲线的定义、标准方程 ‎(对应 生用书第40页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ 圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝‎2a(‎2a＞|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线||PF1|－|PF2||＝‎2a(‎2a＜|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查圆锥曲线标准方程的求解)设双曲线与椭圆＋＝1相交且有共同的焦点，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是(　　)‎ A.－＝1 B．－＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ ‎[思路分析]　依据已知条件，得出双曲线的焦点坐标和双曲线过点(，4)，利用定义法、待定系数法或共焦点曲线系方程求解即可．‎ ‎[解析]　法一：(定义法)椭圆＋＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．‎ 根据双曲线的定义知，‎2a＝|－‎ eq (( (15)－0)2＋[4－(－3)]2)|＝4，‎ 解得a＝2，又b2＝c2－a2＝5，‎ 所以所求双曲线的标准方程为－＝1.故选A.‎ 法二：(待定系数法)椭圆＋＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．‎ 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，‎ 则a2＋b2＝9.①‎ 又点(，4)在双曲线上，所以－＝1.②‎ 由①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.故选A.‎ 法三：(共焦点的曲线系方程)设双曲线的方程为＋＝1(27＜λ＜36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ＝32或λ＝0(舍去)．故所求双曲线的标准方程为－＝1.故选A.‎ ‎[答案]　A ‎【典题2】　(考圆锥曲线定义的应用)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)‎ ‎【导 号：07804086】‎ A.　　　B．‎3　‎　　C. 　　　D．2‎ ‎[解析]　如图所示，因为＝4，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，‎ 所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.‎ ‎[答案]　B ‎【典题3】　(考查圆锥曲线的轨迹问题)(2017·福建泉州二模)在△ABC中，O是 BC的中点，|BC|＝3，△ABC的周长为6＋3，若点T在线段AO上，且|AT|＝2|TO|，建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程．‎ ‎[解]　以O为坐标原点，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.依题意，得B，C.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3，得|AB|＋|AC|＝6，故|AB|＋|AC|＝6＞|BC|，所以A的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为6的椭圆(除去长轴端点)．所以点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．设A(x0，y0)，T(x，y)，依题意＝，所以(x，y)＝(x0，y0)，即代入A的轨迹方程＋＝1(x≠±3)，得＋＝1(x≠±1)，所以点T的轨迹E的方程为x2＋2y2＝1(x≠±1)．‎ ‎[类题通法]‎ ‎1.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”‎ (1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.‎ (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0).‎ ‎2.转化法 利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为，则抛物线的准线方程为(　　)‎ A．x＝－2 B．x＝2‎ C．x＝1 D．x＝－1‎ D　[因为e＝＝2，所以c＝‎2a，b＝a，双曲线的渐近线方程为y＝±x.又抛物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得 A，B，在△AOB中，|AB|＝p，点O到AB的距离为，所以·p·＝，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选D.]‎ ‎2．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则||·||的值为(　　) ‎ ‎【导 号：07804087】‎ A．8 B．10‎ C．12 D．15‎ D　[因为P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，|F‎1F2|＝4.因为·＝9，所以||·||cos∠F1PF2＝9.因为||2＝||2＋||2－2||·||·cos∠F1PF2＝(||＋||)2－2||·||－2||·||cos∠F1PF2，所以64－2||·||－18＝16.所以||·||＝15.故选D.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T1、T2、T8、T9、T10、T11、T13)‎ 题型2　圆锥曲线的几何性质 ‎(对应 生用书第41页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.‎ 注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查椭圆、双曲线的几何性质)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为(　　)‎ A.　 B． C. D． ‎[思路分析]　＋＝1(a＞b＞0) 双曲线的方程―→双曲线的渐近线椭圆的离心率．‎ ‎[解析]　设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，则由题意可知双曲线的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±x.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性可知，渐近线的方程为y＝±x，即b＝c，所以a＝＝c，故椭圆的离心率e＝，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎【典题2】　(考查抛物线的几何性质)已知抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　) ‎ ‎【导 号：07804088】‎ A. B． C. D． ‎[思路分析]　先由抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标得出直线方程，再对抛物线方程求导，设点M的坐标为(x0，y0)，代入即可求得过点M 的切线方程的斜率，结合C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线以及点M在抛物线上可得点M的坐标，把点M的坐标代入直线方程，求解即可．‎ ‎[解析]　由题意知，抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为＋＝1.‎ 易知双曲线的渐近线方程为 y＝±x.对函数y＝x2求导，得y′＝x.设M(x0，y0)，则x0＝，即x0＝p，代入抛物线方程得y0＝p，即M.由于点M在直线＋＝1上，所以p＋×＝1，解得p＝＝.故选C.‎ ‎[答案]　C ‎[类题通法]‎ 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 提醒：求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，‎ 则 即 所以(x1－x2)＝(x－x)，‎ 所以＝x1＋x2.‎ 又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－‎2a＜x1＋x2＜‎2a，则＜‎2a，即＜，所以e2＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1.]‎ ‎2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为的直线l过F2且与双曲线交于M，N两点，且△F1MN是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为________．‎ y＝±x　[由题意知，F2(c,0)，c＝，设M(c，yM)，由－＝1得y＝b2×＝，|yM|＝.因为△F1MN是等边三角形，所以‎2c＝|yM|，即＝＝，‎ 即c2－a2－ac＝0，‎ 得＝，c2＝‎3a2，‎ 又a2＋b2＝c2，‎ 所以b2＝‎2a2，‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 故双曲线的渐近线方程为y＝±x.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T3、T4、T5、T6、T7、T12、T14)‎ 三年真题| 验收复习效果 ‎(对应 生用书第42页)‎ ‎1．(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　B.－＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ B　[由y＝x可得＝.①‎ 由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，‎ 可得a2＋b2＝9.②‎ 由①②可得a2＝4，b2＝5.‎ 所以C的方程为－＝1.‎ 故选B.]‎ ‎2．(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ A　[若双曲线的焦点在x轴上，则 又∵(m2＋n)＋(‎3m2‎－n)＝4，∴m2＝1，∴ ‎∴－1‎3m2‎且n<－m2，此时n不存在．故选A.]‎ ‎3．(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ ‎【导 号：07804089】‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎∵|AB|＝4，|DE|＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，‎ ‎∴不妨设A，D.‎ ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.]‎ ‎4．(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＜0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． A　[由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．‎ ‎∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，‎ 即x－3＋y<0.‎ ‎∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－

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