【数学】2019届一轮复习人教A版（文）7-3不等式学案
7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.
以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.重要结论
画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
知识拓展
1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
2．最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ )
(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × )
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( √ )
(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．( √ )
(5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )
(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )
(7)目标函数 ＝ax＋by(b≠0)中， 的几何意义是直线ax＋by－ ＝0在y轴上的截距．( × )
题组二 教材改编
2．[P86T3]不等式组表示的平面区域是( )
答案 B
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．
3．[P91T2]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
答案
解析 用表格列出各数据
A
B
总数
产品吨数
x
y
资金
200x
300y
1400
场地
200x
100y
900
所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.
题组三 易错自纠
4．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
答案 C
解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
5．(2017·日照一模)已知变量x，y满足则 ＝()2x＋y的最大值为( )
A.B．2 C．2D．4
答案 D
解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，
令m＝2x＋y，则当m取得最大值时， ＝()2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以 max＝()2×1＋2＝4，故选D.
6．已知x，y满足若使得 ＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a
的值为________．
答案 －1
解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，
当直线 ＝ax＋y和直线AB重合时， 取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1 不含参数的平面区域问题
典例 (2017·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )
A．2B．1C.D.
答案 B
解析 对于集合B，令m＝x＋y，n＝x－y，
则x＝，y＝，由于(x，y)∈A，
所以
即
因此平面区域B的面积即为不等式组所对应的平面区域(阴影部分)的面积，画出图形可知，
该平面区域的面积为2×＝1，故选B.
命题点2 含参数的平面区域问题
典例若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0
0)的最大值为4，则 ＝x－my(m>0)的最小值为________．
答案 －6
解析 作出可行域如图阴影部分所示．
目标函数化简得
y＝x－，
因为m>0，故只可能在A，B处取最大值．
联立解得B(－2，－2)，
联立解得C(0,2)，
联立解得A(2,0)，
若目标函数 ＝x－my(m>0)过点A， ＝2不符合题意，所以过点B时取得最大值，此时4＝－2＋2m，解得m＝3， ＝x－my(m>0)过点C时， min＝－6.
思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有
①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．
跟踪训练 (1)已知实数x，y满足约束条件则 ＝的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
＝表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率．因为点D(2,3)与点B(8,1)连线的斜率为－且C的坐标为(2，－2)，故由图知， ＝的取值范围为，故选B.
(2)已知x，y满足约束条件若 ＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
答案 B
解析 根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示．
由 ＝ax＋y，得y＝－ax＋ ，直线的斜率k＝－a.当01，即a<－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时 ＝0，不合题意；当－1≤k<0，即01时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时 ＝2a＋0＝4，得a＝2.
题型三 线性规划的实际应用问题
典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，
作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由得
∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．
思维升华解线性规划应用问题的一般步骤
(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．
(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．
(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．
(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．
(5)检验：根据结果，检验反馈．
跟踪训练 (2016·全国Ⅰ)某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B
需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数 ＝2100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，
包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值， max＝2100×60＋900×100＝216000(元)．
线性规划问题
考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．
典例若实数x，y满足约束条件则 ＝2x＋y的取值范围是( )
A．[3,4] B．[3,12]
C．[3,9] D．[4,9]
解析 画出表示的可行域(如图阴影部分所示)，
由得A(1,1)，由得B(3,3)，
平移直线y＝－2x＋ ，
当直线经过A，B时分别取得最小值3，最大值9，
故 ＝2x＋y的取值范围是[3,9]，故选C.
答案 C
1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 将原点坐标(0,0)代入2x－y＋2，得2>0，于是2x－y＋2≥0所表示的平面区域在直线2x－y＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C正确．
2．(2018届贵州黔东南州联考)已知实数x，y满足则 ＝3x－4y＋3的取值范围是( )
A. B.
C. D．(3,13)
答案 A
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由 ＝3x－4y＋3，得y＝x＋，
平移直线y＝x，当经过点A(2，－1)，B时， 的取值为13，，所以 ∈，故选A.
3．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个B．1个C．2个D．无数个
答案 B
解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．
直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且其斜率k＝－2，若sin(x＋y)的最大值与最小值分别为1，，则实数t的取值范围为________．
答案
解析 作出可行域如图阴影部分所示，
设 ＝x＋y，作出直线l：x＋y＝ ，当直线l过点B时， 取得最小值；当直线l过点A时， 取得最大值t－.即≤x＋y≤t－，当x＋y＝时，sin(x＋y)＝1.
当x＋y＝或时，sin(x＋y)＝.
所以≤t－≤，解得≤t≤.
15．(2018届江苏常州名校联考)已知f(m)＝(3m－1)a＋b－2m，当m∈[0,1]时，f(m)≤1恒成立，则a＋b的最大值是________．
答案
解析 f(m)＝(3m－1)a＋b－2m＝(3a－2)m－a＋b，
∵当m∈[0,1]时，f(m)≤1恒成立，
∴即
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分，
由解得
所以点A的坐标为.
令 ＝a＋b，则b＝－a＋ ，由图可知，当直线b＝－a＋ 过点A时，直线在y轴上的截距最大，即 有最大值，且 max＝＋＝，即a＋b的最大值是.
16．(2017·湖北七市联考)已知实数x，y满足则的最小值为________．
答案
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设k＝，由可行域可知，k取得最小值时曲线y＝x4＋与直线y＝kx相切，设此时切点为P(x0，y0)，
由y＝x4＋，可得y′＝x3，所以切线方程为y－y0＝x(x－x0)，又y0＝x＋，所以切线方程可化为y＝xx－x＋x＋，即y＝xx－x＋，又该切线过原点O(0,0)，
所以x＝1，
所以x0＝1，切线的斜率为x＝，则min＝.
