【数学】2020届北京一轮复习通用版8-1空间几何体的表面积和体积作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版8-1空间几何体的表面积和体积作业

专题八　立体几何 ‎【真题典例】‎ ‎8.1　空间几何体的表面积和体积 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.空间几何体的结构特征 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 ‎2018北京,5‎ ‎2017北京,7‎ ‎2014北京文,11‎ 空间几何体的结构特征 三视图 ‎★★★‎ ‎2.空间几何体的表面积和体积 理解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)‎ ‎2016北京,6‎ ‎2015北京,5‎ ‎2015北京文,18‎ 空间几何体的表面积和体积 空间直线与平面的位置关系以及平面与平面的位置关系的判定 ‎★★★‎ 分析解读　　1.理解多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念,牢记它们的几何特征.2.理解圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的形成过程,理解轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.4.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.5.备考时关注以柱、锥与球的接、切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的试题.6.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为5分,属于中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　空间几何体的结构特征 ‎1.下列结论正确的是(　　)‎ A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥　　　　C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案　D　‎ 考点二　空间几何体的表面积和体积 ‎2.(2015北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(　　)‎ A.2+‎5‎　　　　B.4+‎5‎　　　　C.2+2‎5‎　　　　D.5‎ 答案　C　‎ ‎3.(2015安徽改编,19,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.求三棱锥P-ABC的体积.‎ 解析　由AB=1,AC=2,∠BAC=60°,‎ 可得S△ABC=‎1‎‎2‎·AB·AC·sin 60°=‎3‎‎2‎.‎ 由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,‎ 所以三棱锥P-ABC的体积 V=‎1‎‎3‎·S△ABC·PA=‎3‎‎6‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　空间几何体表面积与体积的求解方法 ‎1.(2016课标Ⅱ文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)‎ A.12π　　　　B.‎32‎‎3‎π　　　　C.8π　　　　D.4π 答案　A　‎ ‎2.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎6‎　　　　B.‎1‎‎3‎　　　　C.‎1‎‎2‎　　　　D.1‎ 答案　A　‎ ‎3.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)‎ A.14斛　　　　B.22斛　　　　C.36斛　　　　D.66斛 答案　B　‎ ‎4.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎ ‎5.(2014山东文,13,5分)一个六棱锥的体积为2‎3‎,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为　　　　. ‎ 答案　12‎ 方法2　与球有关的切、接问题的求解方法 ‎6.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(　　)‎ A.36π　　　　B.64π　　　　C.144π　　　　D.256π 答案　C　‎ ‎7.(2017课标Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　. ‎ 答案　14π ‎8.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为　　　　. ‎ 答案　‎9‎‎2‎π 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 ‎1.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)‎ A.3‎2‎　　　　B.2‎3‎　　　　C.2‎2‎　　　　D.2‎ 答案　B　‎ ‎3.(2012北京,7,5分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(　　)‎ A.28+6‎5‎　　　　B.30+6‎5‎　　　　C.56+12‎5‎　　　　D.60+12‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎4.(2011北京,7,5分)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是(　　)‎ A.8　　　　B.6‎2‎　　　　C.10　　　　D.8‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎5.(2014北京文,11,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为　　　　. ‎ 答案　2‎‎2‎ ‎6.(2015北京文,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=‎2‎,O,M分别为AB,VA的中点.‎ ‎(1)求证:VB∥平面MOC;‎ ‎(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;‎ ‎(3)求三棱锥V-ABC的体积.‎ 解析　(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,‎ 所以OM∥VB.‎ 又因为VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,‎ 所以VB∥平面MOC.‎ ‎(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,‎ 所以OC⊥AB.‎ 又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC,‎ 所以OC⊥平面VAB.‎ 因为OC⊂平面MOC,‎ 所以平面MOC⊥平面VAB.‎ ‎(3)解法一:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=‎2‎,‎ 所以AB=2,则OC=1.‎ 所以等边三角形VAB的面积S△VAB=‎1‎‎2‎AB·BVsin 60°=‎1‎‎2‎×2×2×‎3‎‎2‎=‎3‎.‎ 又因为OC⊥平面VAB,‎ 所以三棱锥C-VAB的体积等于‎1‎‎3‎S△VAB·OC=‎3‎‎3‎.‎ 又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,‎ 所以三棱锥V-ABC的体积为‎3‎‎3‎.‎ 解法二:连接VO,与(2)同理,可证VO⊥平面ABC,在等边三角形VAB中,AB=2,所以VO=‎3‎.‎ 所以三棱锥V-ABC的体积等于‎1‎‎3‎S△ABC·VO=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×‎2‎×‎2‎×‎3‎=‎3‎‎3‎.‎ 思路分析　(1)在△ABV中,利用中位线定理得OM∥VB,由此证明VB∥平面MOC.‎ ‎(2)先证OC⊥AB,再由平面VAB⊥平面ABC证得OC⊥平面VAB,由此证明平面MOC⊥平面VAB.‎ ‎(3)解法一:通过三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,计算求解.解法二:直接求解V-ABC的体积.‎ 评析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,以及几何体体积的求解,考查学生空间想象能力和逻辑推理能力.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 ‎1.(2017课标Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　)‎ A.π　　　　B.‎3π‎4‎　　　　C.π‎2‎　　　　D.‎π‎4‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014课标Ⅱ,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为‎3‎,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)‎ A.3　　　　B.‎3‎‎2‎　　　　C.1　　　　D.‎‎3‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎3.(2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(　　)‎ A.‎81π‎4‎　　　　B.16π　　　　C.9π　　　　D.‎‎27π‎4‎ 答案　A　‎ ‎4.(2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为‎2‎的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(　　)‎ A.‎32π‎3‎　　　　B.4π　　　　C.2π　　　　D.‎‎4π‎3‎ 答案　D　‎ ‎5.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为‎7‎‎8‎,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5‎15‎,则该圆锥的侧面积为　　　　. ‎ 答案　40‎2‎π ‎6.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V‎1‎V‎2‎的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎7.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎ ‎8.(2018课标Ⅰ,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.‎ ‎(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=‎2‎‎3‎DA,求三棱锥Q-ABP的体积.‎ 解析　(1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.‎ 又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.‎ 又AB⊂平面ABC,‎ 所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3‎2‎.‎ 又BP=DQ=‎2‎‎3‎DA,所以BP=2‎2‎.‎ 作QE⊥AC,垂足为E,则QE