2020-2021学年高二数学上册同步练习：空间向量的数乘运算

2020-2021学年高二数学上册同步练习：空间向量的数乘运算

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：空间向量的数乘运算 一、单选题 1．下列命题中正确的是（ ） A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb 【答案】C 【解析】从向量共线反例判断 A，共面向量定理判断 B，零向量的定义判断 C，共线向量定理判断 D．推出正确命题选项． 解：若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线，如果 b 是零向量，a 与 c 不共线，A 不正确． 向量 a，b，c 共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线． 零向量没有确定的方向，满足零向量的定义． 若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb，不正确，因为 b 是零向量，a 不是零向量时，不存在 λ 满足 条件． 故选 C． 2．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC1 的中点为 O,则下列命题中正确的是（ ） A． OAOD 与 11OBOC 是一对相等向量 B．OB OC 与 11OAOD 是一对相反向量 C． 1OAOA 与 1OCOC 是一对相等向量 D．OAOBOCOD 与 1111OAOBOCOD 是一对相反向量 【答案】D 【解析】A. 取 AD, 11BC 的中点 M,N，则： 2OAOD OM  , 112OBOCON  ，两者不是一对相等 向量； B. OBOCCB uuuruuuruur ， 1 111OA O ADD ，两者是一对相等向量； C. 11OA OA AA ， 11OC O CCC  ，两者是一对相反向量； D.设底面 1 1 1 1,ABCD A BC D 的中心分别为 P,Q，则： OAOBOCODOP ， 1111OAOBOCODOQ  ， 两者是一对相反向量； 故选 D. 3．如图所示，空间四边形OABC 中， ,,OAaOBbOCc ，点 M 在OA 上，且 2O M M A ， N 为 BC 中点，则 MN 等于（ ） A． 121 232abc B． 2 1 1 3 2 2  a b c C． 1 1 2 2 2 3a b c D． 2 2 1 3 3 2a b c 【答案】B 【解析】 MN ＝ON － OM ＝ 1 2 ( OB ＋OC )－ 2 3 OA ＝ (b＋c)－ a＝－ a＋ b＋ c. 故选 B 4．在平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D ，设 1AA a ， ABb ， AD c ， M N P， ， 分别是 1AA ， ， 11CD 的中点，则 1MP NC（ ） A． 3 1 3 2 2 2a b c B． 1 2ac C． 11 22a b c D． 3 1 1 2 2 2a b c 【答案】A 【解析】如图 1111 11 11 11111 22222MP MDD P MAA DD CAAADABa cb  1111 111 222NCNCCCBCAAADAAca 1 111313 222222MPNCacbcaabc 故选 A 5．在长方体 1 111ABCDA BC D 中， AB a ， ADb ， 1AA c ， E 是 1BB 中点，则 1DE （ ） A． 1 2abc B． 2a b c C． 1 2bac D． 2c a b 【答案】A 【解析】 长方体 1 111ABCDA BC D 中， ABa ， ADb ， 1AA c ， 是 1BB 中点， 11D A AD b     ， 11A B AB a， 1 1 1 111 222B E BB AA c      又 1111111DEDAA BBE ， 1 1 2DEabc ， 故选 A. 6．在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，若 '23'ACxAByBCzCC ，则 x＋y＋z 等于（ ） A．11 6 B． 7 6 C． 5 6 D． 2 3 【答案】B 【 解 析 】 由 图 可 知 '''ACACCCABBCCC ，又 ， 可 得 111,, 23xyz ，则 7 6x y z   . 故选 B 7．在三棱锥OABC 中， D 是 BC 的中点，则直 AD  （ ） A． 11 22OA OB OC B． 11 22OA OB OC C． 11 22OAOBOC D． 11 22OA OB OC 【答案】C 【解析】  111 222AD OD OAOC OB OA OA OB OC     故选 C 8．如图，平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， AC 与 BD 的交点为 M ，设 ABa ， ADb ， 1AA c ，则下列选项中与向量 1MC 相等的是（ ） A． 11 22a b c   B． 11 22a b c C． 11 22a b c D． 11 22a b c 【答案】B 【解析】如图所示， 11MCMCCC， 1 2M CC A ， A C A B A D ， A B a ， A D b ， 1C C c  ，  111 11 2 11 2 22 1 2MCABCCABADADb CC ac  ， 故选 B ． 9．如图，在空间四边形 ABCD 中，E，M，N 分别是边 BC，BD，CD 的中点，DE，MN 交于 F 点，则 11 22AB AC EF   （ ） A． AD B． AF C． FA D． EM 【答案】B 【解析】 E 是边 BC 的中点，  11 22ABACAE； 11 22AB AC EF AE EF AF     ； 故选 B ． 10．三棱锥 O A B C 中，点 D 在棱 BC 上，且 2B D D C ，则 AD uuuv为（ ） A． 21 33ADOAOBOC B． 21 33ADOAOBOC C． 12 33ADOAOBOC D． 12 33ADOAOBOC 【答案】D 【解析】由题得： AD = AOODAOOBBD =  22 33AO OB BC OA OB OC OB       = 12 33OAOBOC 故选 D 11．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量 1DA， 1DC ， 11AC 是（ ） A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 【答案】C 【解析】如图所示，因为 11D CDAAC，而 11ACA C ， 1111D CD AAC ，即 1111D CDAAC 由于 1DA与 11AC 不共线，所以 1DA， 1DC ， 11AC 三向量共面． 故选 C. 12．如图所示，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， ABa ， ADb ， 1AAc ， M 是 1DD的中 点，点 N 是 1AC 上的点，且 1 1 3ANAC ，用 ,,abc表示向量 MN 的结果是（ ） A． 1 2 abc B． 1 1 4 5 5 5a b c C． 1 3 1 5 1 0 5a b c D． 1 2 1 3 3 6a b c 【答案】D 【解析】连接 1CM， 1 1 3ANAC ， 可得: 11 2 3CNCA ，  111ACAAACAAADABcab ，  11 2 2 2 2 3 3 3 3C N C A c a b     ， 又 1 1 2C M a c   ， 11MNCNC M 2 2 2 1 3 3 3 2c a b a c       1 2 1 3 3 6a b c 121 336abN cM  ， 故选 D. 二、填空题 13．给出以下结论： ①空间任意两个共起点的向量是共面的； ②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：    abcabc ； ④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④ 【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有 3 个点，则 点共面，可知两向量共面，①正 确； ②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故填①③④ 14．在正方体 1111ABCDA BC D 中，若 1BDxADy ABz AA ，则 x y z的值为__________． 【答案】0 【解析】由题意可知 BDADAB. 又 1BDxADy ABz AA ，所以 1 y 1,z 0x    ， . 所以 1 1 0 0x y z      . 故填 0. 15．在四面体OABC 中， ,,OA a OB b OC c   ， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则OE =_________.（用 ,,abc表示） 【答案】 1 1 1 2 4 4a b c 【解析】∵在四面体 O A B C 中， ,,OAaOBbOCc ， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点 ∴    1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 OA ODOE OA OD a OB OC a b c           故填 1 1 1 2 4 4a b c 16．在正方体 中，给出以下向量表达式： ① ；② ； ③ ；④ . 其中能够化简为向量 的是________． 【答案】①② 【解析】①中， ； ②中， ； ③中， ； ④中， ． 故填①② 17．如图所示，M，N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的三等分点，用向量 ,,OAOBOC 表示 OP 和 OQ ，则 =OP __________________； =OQ ____________________ 【答案】 1 1 1 6 3 3OA OB OC； 1 1 1 3 6 6OA OB OC 【解析】 1 2 1 2 ()2 3 2 3OP OM MP OA MN OA ON OM       121121111 ()232632633OAONOAOAOBOCOAOBOC ； 1111 ()2323OQOMMQOAMNOAONOM 111111111 ()232332366OAONOAOAOBOCOAOBOC . 故填 111 633OAOBOC； 111 366OAOBOC 18．在空间四边形 ABCD 中，连接 AC、BD，若 BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则 13 22ABBCDEAD 的化简结果为________． 【答案】 0 【解析】如图，取 BC 的中点 F，连结 DF，则 2 3D F D E ， ∴ 13 22ABBCDEAD ABBFDFDA A F F D D A   0 . 故填 0 三、解答题 19．如图，平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是 AD1 中点， N 是 BD 中点，判断 MN 与 1DC 是否共 线？ 【解析】∵M，N 分别是 AD1，BD 的中点，四边形 ABCD 为平行四边形， 连结 AC，则 N 为 AC 的中点． ∴ MN ＝ AN AM 1 11 22AC AD  1 1 2 AC AD 1 1 2 DC . ∴ 与 1DC共线． 20．如图所示，已知斜三棱柱 111A B C A BC ，点 M ， N 分别在 1AC 和 BC 上，且满足 1AM k AC ， (0 1)BN kBC k 剟 ，判断向量 MN 是否与向量 AB ， 1AA 共面． 【解析】 ()(1)ANABBNABkACABkABk AC ． 11()AMk ACkAAAC ， 1(1 )MN AN AM k AB k AA     ， 由共面向量定理知向量 MN 与向量 AB ， 1AA 共面． 21．如图，已知 ,,,,,,,,OABCDEFGH 为空间的 9 个点，且 ,,OEkOAOFkOBOHkOD ， ,,0,0ACADmABEGEHmEFkm ，求证： （1） ,,,ABCD 四点共面， ,,,EFGH 四点共面； （2） //ACEG ； （3）OGkOC . 【解析】证明：（1） ,0ACADmAB m ，∴A、B、C、D 四点共面． ,0EG EH mEF m   ，∴E、F、G、H 四点共面． （2） ( ) ( ) lon( )EG EH mEF OH OE m OF OE k OD OA OB OA          (),/ /k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG . （3） ()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC       . 22．如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且 1 2 PH HC  ，点 G 在 AH 上，且 AG AH =m，若 G，B，P，D 四点共面，求 m 的值. 【解析】连接 BD，BG. ∵ AB = PB - PA ， AB = DC ，∴ DC = PB - PA ， ∵ PC = PD + DC ，∴ PC = PD + PB - PA =- PA + PB + PD . ∵ 1 2 PH HC  ，∴ PH = 1 3 PC ，∴ PH = 1 3 (- PA + PB + PD )= 1 3 PA + 1 3 PB + 1 3 PD . 又∵ AH = PH - PA ，∴ AH = 4 3 PA + 1 3 PB + 1 3 PD ， ∵ AG AH =m，∴ AG =m·AH = 4 3 m PA + 3 m PB + 3 m PD ， ∵ BG =- AB + AG = PA - PB + AG ， ∴ BG =(1 4 3 m ) PA +( 3 m -1) PB + 3 m PD . 又∵G，B，P，D 四点共面，∴1 4 3 m =0，m= 3 4 . 即 m 的值是 3 4 .