【数学】2020年高考真题——新高考全国II卷（word版含答案）

【数学】2020年高考真题——新高考全国II卷（word版含答案）

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】C ‎2.（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D ‎3.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（ ）‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎【答案】C ‎4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】B ‎5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】C ‎6.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（ ）‎ A.天 B.天 C.天 D.天 ‎【答案】B ‎7.已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】A ‎8.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D ‎9.已知曲线（ ）‎ A.若，则是椭圆，其焦点在轴上 B.若，则是圆，其半径为 C.若，则是双曲线，其渐近线方程为 D.若，，则是两条直线 ‎【答案】A、C、D ‎10.下图是函数的部分图像，则（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】B、C ‎11.已知，，且，则（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】A、B、D ‎12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵（ ）‎ A.若，则 B.若，则随着的增大而增大 C.若，则随着的增大而增大 D.若，随机变量所有可能的取值为，，…，，且 ‎，则 ‎【答案】A、C ‎13.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 .‎ ‎【答案】‎ ‎15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎16.已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值，若问题中的三角形不存在，说明理由.‎ 问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，？‎ 解：①选条件，∵，∴，∵，∴，，，又，即，‎ ‎∴，∴，得，‎ ②选条件，，∵，∴，，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 又，∴，‎ ③选条件，∵，∵，∴，‎ 又，∴，‎ 得，不成立.所以三角形不存在.‎ ‎18.已知公比大于的等比数列满足，.‎ ‎（1）求的通项公式;‎ ‎（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和.‎ 解：（1）设公比为，∴，，解得或（舍），‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可得，∴，，…，，，‎ ‎∴当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；‎ 当时，.‎ ‎∴.‎ ‎19..为加强环境保护，治理空气污染，环境检测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：‎ ‎（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率.‎ ‎（2）根据所给数据，完成下面的列联表：‎ ‎（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？‎ 附：，‎ 解：（1）由表格可得浓度不超过且浓度不超过的天数有天.‎ ‎∴概率为.‎ ‎（2）‎ ‎（3）.‎ ‎∴有的把握认为的浓度与浓度有关.‎ ‎20.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，设平面与平面的交线为.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.‎ ‎（1）证明：平面平面，平面，∴，∵平面，∴，∵正方形，∴，又，∴平面，∴平面.‎ ‎（2）解：以为原点，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，点坐标为，∴，即，令，得，∴，∵，∴，‎ 得，令，得，‎ 有，得，‎ ‎∴的最大值为，∴与平面所成角的正弦最大值为.‎ ‎21.已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.‎ ‎（1）求的方程； ‎ ‎（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.‎ 解：（1）根据题意，把点代入椭圆得到①，‎ 设，又，∴，代入①式，求得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意，可知的直线方程为，‎ 设直线与椭圆相切于点，，‎ 联立方程组得，，得，由题意可知时，面积最大，直线与直线距离，，‎ ‎∴.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ 解：（1）当时，，∵，‎ ‎∴，又，‎ 则在点处的切线方程为，即，‎ 令，则，令，则，‎ 故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.‎ ‎（2）∵，即，∴，‎ ‎∴，∴，故，‎ 令，则上式转化为，又，‎ ‎∴在单调递增，由可知总有，则，令，则，‎ ‎∴当时，，此时单调递增，‎ 当时，，此时单调递减，‎ ‎∴，∴.‎ ‎ ‎