【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版高考专题突破五第1课时范围、最值问题学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版高考专题突破五第1课时范围、最值问题学案

高考专题突破五　高考中的圆锥曲线问题 第1课时　范围、最值问题 题型一　范围问题 例1 (2018·鞍山质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.‎ 解　(1)∵双曲线的离心率为，‎ ‎∴椭圆的离心率e＝＝.‎ 又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，‎ ‎∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，‎ ‎∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，‎ M(x1，y1)，N(x2，y2).‎ 联立 消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.‎ 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，‎ 故·＝＝k2，‎ 则－＋m2＝0.‎ 由m≠0得k2＝，解得k＝±.‎ 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)‎ ‎＝16(4k2－m2＋1)>0，得00，‎ ‎∴y1＋y2＝－，y1y2＝.②‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝，‎ 将①②代入上式得 ‎|AB|＝ ＝，|m|≥1，‎ ‎∴S△AOB＝|AB|·1＝· ‎＝≤＝1，‎ 当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立，‎ ‎∴△AOB面积的最大值为1.‎ 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.‎ 跟踪训练2 (2018·锦州模拟)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).‎ 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为 y＝－x＋b.由 消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①‎ 将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－， ②‎ 由①②得m<－或m>.‎ ‎(2)令t＝∈∪，‎ 则t2∈.‎ 则|AB|＝·，‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤，‎ 当且仅当t2＝时，等号成立，‎ 此时满足t2∈.‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ ‎1.已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，‎ 则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0，‎ 点P在椭圆上，则y＝1－，‎ 故x＋－3<0，解得－b>0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足c≥b，则c2≥b2＝a2－c2，所以2c2≥a2，所以≤e<1，故选A.‎ ‎5.(2018·丹东调研)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 答案　A 解析　由题意可得F，设P(y0>0)，‎ 则＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋＝，‎ 可得k＝＝≤＝.‎ 当且仅当＝时取得等号，故选A.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为(　　)‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 答案　B 解析　设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 又A，B在抛物线上，所以y1＝，y2＝.‎ 因为y′＝，‎ 则过点A，B的切线分别为y－＝(x－x1)，y－＝(x－x2)均过点P(x0，－1)，‎ 则－1－＝(x0－x1)，－1－＝(x0－x2)，即x1，x2是方程－1－＝(x0－x)的两根，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立得x2－4kx－4b＝0，则x1x2＝－4b＝－4，‎ 即b＝1，|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝·，‎ O到直线AB的距离d＝，‎ 则S△AOB＝|AB|d＝≥2，‎ 即△AOB的面积的最小值为2，故选B.‎ ‎7.椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________.‎ 答案　7‎ 解析　因为椭圆C的离心率为，所以＝，‎ 解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，‎ 即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，‎ 而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×＝1，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.‎ ‎8.(2018·沈阳模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1,3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________.‎ 答案　(0，]‎ 解析　由双曲线的定义及题意可得 　解得 又|PF1|＋|PF2|≥2c，‎ ‎∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，‎ 整理得e＝≤＝1＋，‎ ‎∵10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________.‎ 答案　 解析　由题意，得△ABF2的周长为32，‎ ‎∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，‎ ‎∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝，‎ ‎∴＝32－4a，∴b＝(0b>0)的一个顶点坐标为B1(0，)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)如图，点P是该椭圆内一点，四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC和BD交于点P，设直线AB：y＝x＋m，记g(m)＝S，求f(m)＝g(m)－m3＋4m－3的最大值.‎ 解　(1)顶点坐标为B1(0，)，b2＝2，＝，‎ 椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)联立lAB与椭圆方程 整理得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，‎ Δ＝48－8m2>0，即m2<6，‎ 又直线AB不过点P，得m≠.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎|x1－x2|＝，‎ 设点P到直线AB的距离为d，‎ g(m)＝d2|AB|2＝··2· ‎＝，‎ f(m)＝ ‎＝·2m2≤·2＝(当且仅当m2＝时取等号)，‎ 所以f(m)max＝，‎ 此时m＝ ±∈∪.‎ ‎13.已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则(　　)‎ A.θ∈ B.θ＝ C.θ∈ D.θ＝ 答案　B 解析　∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，‎ ‎∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，‎ ‎∴x－y＝a2.∵A(a,0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，∴·＝(x0－a)·(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0，∴⊥，即θ＝.故选B.‎ ‎14.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为__________.‎ 答案　6‎ 解析　点P为椭圆＋＝1上的任意一点，‎ 设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，‎ 由题意得左焦点F(－1,0)，‎ ‎∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，‎ ‎∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋ ‎＝·2＋.‎ ‎∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，‎ ‎∴≤2≤，‎ ‎∴≤2≤，‎ ‎∴6≤·2＋≤12，‎ 即6≤·≤12.故最小值为6.‎ ‎15.如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为(　　)‎ A.[4,5] B.[7,8] C.[6,7] D.[5,6]‎ 答案　B 解析　由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3,0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7,8]，故选B.‎ ‎16.(2018·南昌测试)已知P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)与抛物线E：y2＝2px(p>0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.‎ ‎(1)求椭圆C及抛物线E的方程；‎ ‎(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.‎ 解　(1)∵P是抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x，F(1,0)，‎ ‎∴a2－b2＝1.‎ 又∵P在椭圆C：＋＝1上，‎ ‎∴＋＝1，结合a2－b2＝1知b2＝3(舍负)，a2＝4，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1，‎ 抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).‎ ‎①当k＝0时，|AB|＝4，直线l2的方程为x＝1，|CD|＝4，故S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|＝8.‎ ‎②当k≠0时，直线l2的方程为y＝－(x－1)，‎ 由 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由弦长公式知|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝.‎ 同理可得|CD|＝4(k2＋1).‎ ‎∴S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|‎ ‎＝··4(k2＋1)‎ ‎＝.‎ 令t＝k2＋1，t∈(1，＋∞)，‎ 则S四边形ACBD＝＝＝，‎ 当t∈(1，＋∞)时，∈(0,1)，‎ ‎－2＋4<3，S四边形ACBD>＝8.‎ 综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.‎