2020届二轮复习函数零点学案(全国通用)

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2020届二轮复习函数零点学案(全国通用)

培优点二 函数零点 ‎1.零点的判断与证明 例1:已知定义在上的函数,‎ 求证:存在唯一的零点,且零点属于.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】,,,在单调递增,‎ ‎,,,,使得 因为单调,所以的零点唯一.‎ ‎2.零点的个数问题 例2:已知函数满足,当,,若在区间内,‎ 函数有三个不同零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,当时,,‎ 所以,而有三个不同零点与有三个不同交点,如图所示,可得直线应在图中两条虚线之间,所以可解得:‎ ‎3.零点的性质 例3:已知定义在上的函数满足:,且,,则方程在区间上的所有实根之和为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先做图观察实根的特点,在中,通过作图可发现在关于中心对称,‎ 由可得是周期为2的周期函数,则在下一个周期中,关于中心对称,以此类推。‎ 从而做出的图像(此处要注意区间端点值在何处取到),再看图像,,可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位,‎ 所以对称中心移至,刚好与对称中心重合,如图所示:可得共有3个交点,‎ 其中,与关于中心对称,所以有。所以.故选C.‎ ‎4.复合函数的零点 例4:已知函数,若方程恰有七个不相同的实根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】考虑通过图像变换作出的图像(如图),因为最多只能解出2个,若要出七个根,则,,所以,解得:.‎ 对点增分集训 一、选择题 ‎1.设,则函数的零点所在的区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵,,∴,‎ ‎∵函数的图象是连续的,且为增函数,‎ ‎∴的零点所在的区间是.故选B.‎ ‎2.已知是函数的零点,若,则的值满足( )‎ A. B.‎ C. D.的符号不确定 ‎【答案】C ‎【解析】在上是增函数,若,则.‎ ‎3.函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为在上是增函数,则由题意得,解得,‎ 故选C.‎ ‎4.若,则函数的两个零点分别位于区间( )‎ A.和内 B.和内 C.和内 D.和内 ‎【答案】A ‎【解析】∵,∴,,,‎ 由函数零点存在性定理可知,在区间,内分别存在零点,又函数是二次函数,‎ 最多有两个零点.因此函数的两个零点分别位于区间,内,故选A.‎ ‎5.设函数是定义在上的奇函数,当时,,则的零点个数为( )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数是定义域为的奇函数,所以,即0是函数的一个零点,当时,令,则,分别画出函数和的图象,‎ 如图所示,两函数图象有一个交点,所以函数有一个零点,‎ 根据对称性知,当时函数也有一个零点.‎ 综上所述,的零点个数为3.故选C.‎ ‎6.函数的零点个数为( )‎ A.3 B.‎2 ‎C.7 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】方法一:由得或,解得或,‎ 因此函数共有2个零点.‎ 方法二:函数的图象如图所示,由图象知函数共有2个零点.‎ ‎7.已知函数,则使方程有解的实数的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时,,即,解得;当时,,即,‎ 解得,即实数的取值范围是.故选D.‎ ‎8.若函数在区间内存在一个零点,则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,与轴无交点,不合题意,所以;函数在区间内是单调函数,所以,即,解得或.故选B.‎ ‎9.已知函数,则使函数有零点的实数的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的零点就是方程的根,画出的大致图象(图略).观察它与直线的交点,得知当或时,有交点,即函数有零点.故选D.‎ ‎10.已知是奇函数且是上的单调函数,若函数只有一个零点,则实数 的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,则,因为是上的单调函数,所以,只有一个实根,即只有一个实根,则,解得.‎ ‎11.已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数与的大致图象.分两种情形:‎ ‎(1)当时,,如图①,当时,与的图象有一个交点,符合题意.‎ ‎(2)当时,,如图②,要使与的图象在上只有一个交点,‎ 只需,即,解得或(舍去).‎ 综上所述,.故选B.‎ ‎12.已知函数和在的图像如下,给出下列四个命题:‎ ‎(1)方程有且只有6个根 ‎(2)方程有且只有3个根 ‎(3)方程有且只有5个根 ‎(4)方程有且只有4个根 则正确命题的个数是( )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层,找到内层函数能取得的值,从而统计出的总数.‎ ‎(1)中可得,,,进而有2个对应的,有2个,有2个,总计6个,(1)正确;‎ ‎(2)中可得,,进而有1个对应的,有3个,总计4个,‎ ‎(2)错误;‎ ‎(3)中可得,,,进而有1个对应的,有3个,有1个,总计5个,(3)正确;‎ ‎(4)中可得:,,进而有2个对应的,有2个,共计4个,(4)正确 则综上所述,正确的命题共有3个.‎ 二、填空题 ‎13.函数的零点个数为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由,得,作出函数和的图象,‎ 由上图知两函数图象有2个交点,故函数有2个零点.‎ ‎14.设函数与的图象的交点为,若,,则所在的区间是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,则,易知为增函数,且,,∴所在的区间是.‎ ‎15.函数的零点个数是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】当时,令,解得(正根舍去),所以在上有一个零点;‎ 当时,恒成立,所以在上是增函数.又因为,,所以在上有一个零点,综上,函数的零点个数为2.‎ ‎16.已知函数,,若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,,‎ 在同一直角坐标系中作出,的图象如图所示.‎ 由图可知有4个互异的实数根等价于与的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,所以有两组不同解,‎ 消去得有两个不等实根,‎ 所以,即,‎ 解得或.又由图象得,∴或.‎ 三、解答题 ‎17.关于的二次方程在区间上有解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】显然不是方程的解,‎ 时,方程可变形为,‎ 又∵在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴在上的取值范围是,∴,∴,‎ 故的取值范围是.‎ ‎18.设函数.‎ ‎(1)作出函数的图象;‎ ‎(2)当且时,求的值;‎ ‎(3)若方程有两个不相等的正根,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)2;(3).‎ ‎【解析】(1)如图所示.‎ ‎(2)∵‎ 故在上是减函数,而在上是增函数.‎ 由且,得且,∴.‎ ‎(3)由函数的图象可知,当时,方程有两个不相等的正根.‎
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