【数学】2020届江苏一轮复习通用版14-3直线与圆、圆与圆的位置关系作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版14-3直线与圆、圆与圆的位置关系作业

‎14.3　直线与圆、圆与圆的位置关系 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断与运用 ‎2014江苏,9‎ 与圆相关的弦长问题 点到直线的距离 ‎★★★‎ ‎2014江苏,18‎ 直线与圆相切 ‎2018江苏,12‎ 直线与圆相交 平面向量数量积 ‎2018江苏,18‎ 直线与圆相切 直线与椭圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判断与运用 ‎2017江苏,13‎ 圆与圆的相交问题 平面向量数量积 ‎★★★‎ 分析解读　　直线与圆、圆与圆的位置关系是江苏高考重点考查的内容之一,几乎是每年必考的.考查方式如下:一是填空题中,考查直线与圆的位置关系,或可转化为直线与圆、圆与圆的位置关系,如“隐形圆”问题;二是在解答题中,与向量、椭圆等结合,考查直线与曲线的位置关系.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　直线与圆的位置关系 ‎1.(2018江苏淮阴中学期中)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　. ‎ 答案　‎‎-‎3‎‎3‎,‎‎3‎‎3‎ ‎2.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4x+y2-2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是　　　　　　　. ‎ 答案　相交 ‎3.(2019届江苏启东中学质检)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为　　　　. ‎ 答案　x-y+5=0‎ 考点二　圆与圆的位置关系 ‎　已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎9‎‎4‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　解决与圆有关的切线问题、弦长问题 ‎1.(2018江苏泗阳中学期初)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点M(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为　　　　. ‎ 答案　20‎‎6‎ ‎2.已知直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1).‎ ‎(1)若圆C的半径为‎3‎,求实数a的值;‎ ‎(2)若弦AB的长为6,求实数a的值;‎ ‎(3)当a=1时,圆O:x2+y2=2与圆C交于M,N两点,求弦MN的长.‎ 解析　(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-a,由圆的半径为‎3‎可知,5-a=3,所以a=2.‎ ‎(2)弦AB=2‎(5-a)-|CM‎|‎‎2‎=2‎3-a=6,解得a=-6.‎ ‎(3)当a=1时,圆C为x2+y2+2x-4y+1=0,又圆O:x2+y2=2,‎ 所以两圆的相交弦MN所在直线方程为2x-4y+3=0.‎ 则圆心O到MN的距离d=‎3‎‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎3‎‎5‎‎10‎,所以|MN|=2‎(‎2‎‎)‎‎2‎-‎‎3‎‎5‎‎10‎‎2‎=‎155‎‎5‎.‎ 方法二　“隐形圆”问题的解决方法 ‎1.(2018江苏南通中学期初)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(4,0).若直线x-y+m=0上存在点P使得|PA|=‎1‎‎2‎|PB|,则实数m的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-2‎2‎,2‎2‎]‎ ‎2.(2018江苏盐城中学月考)已知线段AB的长为2,动点C满足CA·CB=λ(λ<0),且点C总不在以点B为圆心,‎1‎‎2‎为半径的圆内,则负数λ的最大值是　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎4‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD=0,则点A的横坐标为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎2.(2014江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎55‎‎5‎ ‎3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-5‎2‎,1]‎ ‎4.(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,焦点F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),圆O的直径为F1F2.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,求直线l的方程.‎ 解析　本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.‎ 解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),‎ 所以可设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 又点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆C上,‎ 所以‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,‎a‎2‎‎-b‎2‎=3,‎解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1.‎ 因此,椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3.‎ 所以直线l的方程为y=-x‎0‎y‎0‎(x-x0)+y0,即y=-x‎0‎y‎0‎x+‎3‎y‎0‎.‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=-x‎0‎y‎0‎x+‎‎3‎y‎0‎消去y,得 ‎(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)x2-24x0x+36-4y‎0‎‎2‎=0.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,‎ 所以Δ=(-24x0)2-4(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)(36-4y‎0‎‎2‎)=48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)=0.‎ 因为x0,y0>0,所以x0=‎2‎,y0=1.‎ 因此,点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②因为三角形OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,‎ 所以‎1‎‎2‎AB·OP=‎2‎‎6‎‎7‎,从而AB=‎4‎‎2‎‎7‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由(*)得x1,2=‎24x‎0‎±‎‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎2(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)‎,‎ 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2‎ ‎=‎1+‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎·‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(4x‎0‎‎2‎+‎y‎0‎‎2‎‎)‎‎2‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3,‎ 所以AB2=‎16(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(x‎0‎‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎32‎‎49‎,即2x‎0‎‎4‎-45x‎0‎‎2‎+100=0.‎ 解得x‎0‎‎2‎=‎5‎‎2‎(x‎0‎‎2‎=20舍去),则y‎0‎‎2‎=‎1‎‎2‎,因此P的坐标为‎10‎‎2‎‎,‎‎2‎‎2‎.‎ 则直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ 解法二:(1)由题意知c=‎3‎,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆上,‎ 所以2a=‎(‎3‎-‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎+‎(‎3‎+‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎=4,‎ 所以a=2.‎ 因为a2=b2+c2,所以b=1,‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,‎ 设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),‎ 将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,‎ 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,‎ 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得x‎2‎‎4‎+(kx+m)2=1,‎ 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 因为直线l与椭圆C相切,‎ 所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,‎ 整理得m2=4k2+1,‎ 所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-‎2‎,则m=3,‎ 将k=-‎2‎,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 整理得x2-2‎2‎x+2=0,‎ 解得x1=x2=‎2‎,将x=‎2‎代入x2+y2=3,‎ 解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),‎ 由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,‎ 因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-‎2‎,‎ 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 解得x1,2=‎-8km±4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎2(4k‎2‎+1)‎,‎ 所以|x1-x2|=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎,‎ 因为AB=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(kx‎1‎-kx‎2‎‎)‎‎2‎=|x1-x2|k‎2‎‎+1‎=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎,‎ O到l的距离d=‎|m|‎k‎2‎‎+1‎=‎3‎,‎ 所以S△OAB=‎1‎‎2‎·‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎‎|m|‎k‎2‎‎+1‎ ‎=‎1‎‎2‎·‎4‎k‎2‎‎-2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎3‎=‎2‎‎6‎‎7‎,‎ 解得k2=5,因为k<0,所以k=-‎5‎,则m=3‎2‎,‎ 即直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ 解后反思　(1)常用待定系数法求圆锥曲线方程.‎ ‎(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解.‎ ‎②因为△AOB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,而△AOB的高为‎3‎,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式AB=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎=‎1+‎k‎2‎·‎(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎=‎1+‎k‎2‎·|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.‎ ‎5.(2014江苏,18,16分,0.35)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=‎4‎‎3‎.‎ ‎(1)求新桥BC的长;‎ ‎(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?‎ 解析　解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0,60),C(170,0),‎ 直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-‎4‎‎3‎.‎ 因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=‎3‎‎4‎.‎ 设点B的坐标为(a,b),‎ 则kBC=b-0‎a-170‎=-‎4‎‎3‎,kAB=b-60‎a-0‎=‎3‎‎4‎.‎ 解得a=80,b=120.‎ 所以BC=‎(170-80‎)‎‎2‎+(0-120‎‎)‎‎2‎=150(m).‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).‎ 由条件知,直线BC的方程为y=-‎4‎‎3‎(x-170),即4x+3y-680=0.‎ 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=‎|3d-680|‎‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎680-3d‎5‎.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以r-d≥80,‎r-(60-d)≥80,‎即‎680-3d‎5‎‎-d≥80,‎‎680-3d‎5‎‎-(60-d)≥80.‎ 解得10≤d≤35.‎ 故当d=10时,r=‎680-3d‎5‎最大,即圆面积最大.‎ 所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.‎ 因为tan∠FCO=‎4‎‎3‎,所以sin∠FCO=‎4‎‎5‎,cos∠FCO=‎3‎‎5‎.‎ 因为OA=60 m,OC=170 m,所以OF=OCtan∠FCO=‎680‎‎3‎ m,CF=OCcos∠FCO=‎850‎‎3‎ m,从而AF=OF-OA=‎500‎‎3‎ m.‎ 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=‎4‎‎5‎.‎ 又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=‎400‎‎3‎ m,从而BC=CF-BF=150 m.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,‎ 则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.‎ 故由(1)知sin∠CFO=MDMF=MDOF-OM=r‎680‎‎3‎‎-d=‎3‎‎5‎,‎ 所以r=‎680-3d‎5‎.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以r-d≥80,‎r-(60-d)≥80,‎即‎680-3d‎5‎‎-d≥80,‎‎680-3d‎5‎‎-(60-d)≥80.‎ 解得10≤d≤35.‎ 故当d=10时,r=‎680-3d‎5‎最大,即圆面积最大.‎ 所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.‎ 解后反思　本题的数学背景是直线与圆,在解题时可以用直线与圆的位置关系求解,还可以用解三角形的方法加以解决.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1.(2018课标全国Ⅲ理改编,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[2,6]‎ ‎2.(2016课标全国Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-‎3‎=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2‎3‎,则|CD|=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎3.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=　　　　. ‎ 答案　4±‎‎15‎ ‎4.(2016课标全国Ⅲ文,15,5分)已知直线l:x-‎3‎y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎5.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎6.(2015课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.‎ 解析　(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.‎ 因为l与C交于两点,所以‎|2k-3+1|‎‎1+‎k‎2‎<1.‎ 解得‎4-‎‎7‎‎3‎0(*),x1+x2=‎6‎‎1+‎t‎2‎,‎ 所以x0=‎3‎‎1+‎t‎2‎,代入直线l的方程,得y0=‎3t‎1+‎t‎2‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=‎9‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎+‎9‎t‎2‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎9(1+t‎2‎)‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎9‎‎1+‎t‎2‎=3x0,所以x‎0‎‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=‎9‎‎4‎.‎ 由(*)解得t2<‎4‎‎5‎,又t2≥0,所以‎5‎‎3‎4‎2‎=|PQ|,‎ ‎∴圆心S的轨迹为以P,Q为焦点,长轴长为6的椭圆,‎ ‎∴2a=6,2c=4‎2‎,∴a=3,c=2‎2‎,∴b2=1,‎ ‎∴曲线C的方程为x‎2‎‎9‎+y2=1.‎ ‎(2)由(1)可知A(3,0),B(0,1).‎ 设直线AM的斜率为k,则直线AM的方程为y=k(x-3),直线BN的方程为y=-kx+1.‎ 由y=k(x-3),‎x‎2‎‎+9y‎2‎=9‎得M‎27k‎2‎-3‎‎9k‎2‎+1‎‎,‎‎-6k‎9k‎2‎+1‎,‎ 由y=-kx+1,‎x‎2‎‎+9y‎2‎=9‎得N‎18k‎1+9‎k‎2‎‎,‎‎1-9‎k‎2‎‎1+9‎k‎2‎,‎ 所以MN的斜率kMN=‎-6k‎9k‎2‎+1‎‎-‎‎1-9‎k‎2‎‎9k‎2‎+1‎‎27k‎2‎-3‎‎9k‎2‎+1‎‎-‎‎18k‎9k‎2‎+1‎=‎-6k+9k‎2‎-1‎‎27k‎2‎-18k-3‎=‎1‎‎3‎.‎ ‎(3)设直线MN的方程为y=‎1‎‎3‎x+m,-1

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