2020届二轮复习定点定直线问题学案（全国通用）

2020届二轮复习定点定直线问题学案（全国通用）

微专题77 定点定直线问题 一、基础知识：‎ ‎1、处理定点问题的思路：‎ ‎（1）确定题目中的核心变量（此处设为）‎ ‎（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式 ‎（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到。常见的变形方向如下：‎ ‎① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可 ‎② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）‎ ‎2、一些技巧与注意事项：‎ ‎（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。‎ ‎（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线，就应该能够意识到，进而直线绕定点旋转 二、典型例题：‎ 例1：椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为 ‎（1）求椭圆的标准方程 ‎（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 解：（1），设左焦点 ‎，解得 ‎ 椭圆方程为 ‎（2）由（1）可知椭圆右顶点 设，以为直径的圆过 即 ‎ ‎ ①‎ 联立直线与椭圆方程：‎ ‎ ，代入到①‎ 或 当时， 恒过 当时， 恒过，但为椭圆右顶点，不符题意，故舍去 恒过 例2：已知椭圆经过点，且椭圆的离心率为 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和，设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点 解：（1） ‎ ‎ 代入可得：‎ ‎ 椭圆方程为 ‎（2）由（1）可得：‎ 当直线斜率不存在时，‎ 所以可得： 为轴 当斜率存在时，设，则 设，联立方程可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理，联立，可得：‎ 的方程为：，整理可得：‎ 时，直线方程对均成立 直线恒过定点 而斜率不存在时，直线也过 直线过定点 例3：如图，已知椭圆的左右焦点为，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由 解：（1）由椭圆方程可得 为边长是2的三角形 ‎ ‎ ‎（2）设 设， ‎ 由可得：‎ 设，则 由可得：‎ ‎ ①‎ 联立方程组，消去整理可得：‎ 代入到①可得：‎ 在定直线上 例4：已知椭圆的中心在坐标原点，左，右焦点分别为，为椭圆上的动点，的面积最大值为，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若直线过定点且与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点，直线 分别与轴交于两点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由 解：（1）‎ 因为圆与直线相切 ‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设，由椭圆方程可得点 设，联立方程可得：‎ 由，可得：‎ ‎，分别令，可得：‎ ‎，设轴上的定点为 若为直径的圆是否过，则 问题转化为恒成立 即 ①‎ 由及可得：‎ 代入到①可得：‎ 解得：‎ 圆过定点 当直线斜率不存在时，直线方程为，可得为直径的圆过点 所以以线段为直径的圆过轴上定点 例5：如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，当直线的斜率为时，‎ ‎（1）求椭圆的标准方程 ‎（2）试问以为直径的圆是否过定点（与的斜率无关）？请证明你的结论 解：（1）由可得：‎ ‎ 由对称性可知：‎ ‎ 由可得 椭圆方程为代入，可得：‎ ‎（2）设由对称性可知，由（1）可知 设，联立直线与椭圆方程：‎ ‎，整理可得：‎ 解得：，代入可得：‎ ‎ 从而 ‎，因为是直线与轴的交点 ‎ 以为直径的圆的圆心为，半径 圆方程为：，整理可得：‎ 所以令，解得 以为直径的圆恒过 例6：已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，过点且不垂直轴的直线与椭圆相交于两点 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若点关于轴的对称点是，求证：直线与轴相交于定点 解：（1） 已知圆方程为：‎ 因为与直线相切 ‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）设直线， ‎ 联立方程可得：，消去可得：‎ 考虑直线 直线的方程为：‎ 令可得：‎ ‎，而，代入可得：‎ ‎，‎ 代入 可得：‎ 与轴交于定点 例7：在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线，四个点中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标 解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：必在椭圆上 若在椭圆上，则为椭圆的左顶点。‎ 但，所以与在椭圆上矛盾 在椭圆上 椭圆方程为 ‎（2）依题意可得，方程为：‎ 且共线 为中点 在椭圆内部 设，因为与椭圆交于 为中点且于 为的中垂线 设 为中点 ‎ 当时 ‎ ‎ 恒过 当时，直线 为轴，过 无论位于哪个位置，直线恒过 例8：已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点 ‎（1）求动点的轨迹的方程 ‎（2）过且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由 解：（1）由图像可得：‎ 点的轨迹为以为焦点的椭圆 ‎ ‎ ‎（2）设直线，，与椭圆方程联立可得：‎ 消去可得：，整理后可得：‎ 设，因为以为直径的圆过点 ‎ ‎ ‎ ①‎ ‎ ‎ 代入到①可得：‎ 所以只需：‎ ‎ 可得 所以存在定点 例9：已知椭圆和圆，分别为椭圆的左顶点，下顶点和右焦点 ‎（1）点是曲线上位于第二象限的一点，若的面积为，求证：‎ ‎（2）点分别是椭圆和圆上位于轴右侧的动点，且直线的斜率是直线斜率的2倍，求证：直线恒过定点 解：（1）由椭圆可得 设，由在第二象限可得：‎ 的面积为 ‎ ，代入圆方程可得：‎ ‎ ‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为 ‎ ，联立与椭圆方程：‎ 代入直线方程可得： ‎ 联立与圆方程：‎ 代入直线方程可得：‎ 的方程为：‎ 整理可得：‎ 直线恒过定点 例10：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程 解：（1）抛物线的焦点坐标为 ‎ 直线的方程为：‎ 椭圆方程为 ‎（2）因为直线与椭圆相切 联立直线与椭圆方程：‎ 即 切点坐标 ‎ 即 ‎ ‎ 的方程为 联立方程：‎ ‎ 解得 在这条定直线上