【数学】2020届一轮复习人教B版概率与统计学案理

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【数学】2020届一轮复习人教B版概率与统计学案理

概率与统计 ‎【2019年高考考纲解读】‎ ‎1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题,以小题形式考查.‎ ‎2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识,近几年也与函数、不等式、数列交汇,值得关注.‎ ‎3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.‎ ‎4.将古典概型与概率的性质相结合,考查知识的综合应用能力.‎ ‎5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.‎ ‎6.在概率与统计的交汇处命题,以解答题中档难度出现.‎ ‎【重点、考点剖析】‎ 一、排列组合与计数原理的应用 ‎1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.‎ ‎2.‎ 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复 不同点 ‎①排列与顺序有关;‎ ‎②两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ‎①组合与顺序无关;‎ ‎②两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同 二、二项式定理 ‎1.通项与二项式系数 Tr+1=Can-rbr,其中C(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.‎ ‎2.各二项式系数之和 ‎(1)C+C+C+…+C=2n.‎ ‎(2)C+C+…=C+C+…=2n-1.‎ 三、古典概型与几何概型 ‎1.古典概型的概率公式 P(A)==.‎ ‎2.几何概型的概率公式 P(A)=‎ .‎ 四、相互独立事件和独立重复试验 ‎1.条件概率 在A发生的条件下B发生的概率:‎ P(B|A)=.‎ ‎2.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B).‎ ‎3.独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.‎ 五、离散型随机变量的分布列、均值与方差 ‎1.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX+b)=aE(X)+b; 站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小李可选的旅游路线数为(  )‎ A.24   B.18‎ C.16 D.10‎ 解析:分两种情况,第一种:最后体验甲景区,则有A种可选的路线;第二种:不在最后体验甲景区,则有C·A种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A+C·A=10.选D. ‎ 答案:D ‎【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(  )‎ A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 解析:解法一 记演出顺序为1~6号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法种数分别为AA,AA,CAA,CAA,CAA,故总编排方案有AA+AA+CAA+CAA+CAA=120(种).‎ 解法二 记演出顺序为1~6号,按甲的编排进行分类,①当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情况有4种,则有CAA=48(种);②当甲在2号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有CAA=36(种);③‎ 当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,共有CAA=36(种).所以编排方案共有48+36+36=120(种).‎ 答案:A ‎【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(  )‎ A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 答案 A 解析 当“数”排在第一节时有A·A=48(种)排法,当“数”排在第二节时有A·A·A=36(种)排法,当“数”排在第三节时,若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A·A=12(种)排法;若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A·A·A=24(种)排法,所以满足条件的共有48+36+12+24=120(种)排法.‎ ‎(2)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:32是“开心数”.因为32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因为23+24+25产生进位现象,那么,小于100的“开心数”的个数为(  )‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ 答案 D 解析 根据题意个位数需要满足要求:‎ n+(n+1)+ (n+2)<10,即n<2.3,‎ ‎∴个位数可取0,1,2三个数,‎ ‎∵十位数需要满足:3n<10,∴n<3.3,‎ ‎∴十位可以取0,1,2,3四个数,故小于100的“开心数”共有3×4=12(个).‎ ‎【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理.‎ ‎(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.‎ ‎【变式探究】 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有(  )‎ A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 答案 C 解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12(种)抢法;‎ 若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12(种)抢法;‎ 若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有AC=6(种)抢法;‎ 若甲、乙抢的是两个6元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有A=6(种)抢法.‎ 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种.‎ ‎(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食,教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地,分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜,若这三种蔬菜种植齐全,同一块地只能种植一种蔬菜,且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜,则不同的种植方式共有(  )‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ A.9种 B.18种 ‎ C.12种 D.36种 答案 B 解析 若种植2块西红柿,则他们在13,14或24位置上种植,剩下两个位置种植黄瓜和茄子,所以共有3×2=6(种)种植方式;‎ 若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式,所以一共有6×3=18(种)种植方式.‎ 题型二 二项式定理 例2、(1)[2018·全国卷Ⅲ]5的展开式中x4的系数为(  )‎ A.10 B.20‎ C.40 D.80‎ ‎【解析】 5的展开式的通项公式为Tr+1=C5·(x2)5-r·r=C5·2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为C5·22=40.‎ 故选C.‎ ‎【答案】C ‎【变式探究】(2017·浙江)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,‎ a5=________.‎ 答案 16 4‎ 解析 a4是x项的系数,由二项式的展开式得 a4=C·C·2+C·C·22=16.‎ a5是常数项,由二项式的展开式得a5=C·C·22=4.‎ ‎【变式探究】(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答)‎ 答案 660‎ ‎【变式探究】若(1-3x)2 018=a0+a1x+…+a2 018x2 018,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018的值为(  )‎ A.22 018-1 B.82 018-1‎ C.22 018 D.82 018‎ ‎【解析】由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018=(1-9)2 018=82 018,所以a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018=82 018-a0=82 018-1,故选B. ‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ=0×+1×+2×+3×=.‎ 题型五 离散型随机变量的分布列、均值与方差 例5、[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立.‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.‎ ‎(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.‎ ‎(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ξk=‎1”‎表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=‎0”‎表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.‎ ‎【解析】(1)解:由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,‎ 故所求概率为=0.025.‎ ‎(2)解:设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.‎ 故所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).‎ 由题意知P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.‎ 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.‎ ‎(3)解:Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.‎ ‎【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:‎ ‎(1)明确随机变量可能取哪些值.‎ ‎(2)结合事件特点选取恰当的计算方法,并计算这些可能取值的概率值.‎ ‎(3)根据分布列和期望、方差公式求解. ‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎ 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望;‎ ‎(3)在(1),(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.‎ 注:①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价;‎ ‎②“性价比”大的产品更具可购买性.‎ 解析:(1)∵EX1=6,∴5×0.4+‎6a+7b+8×0.1=6,即‎6a+7b=3.2,又0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5,‎ ‎∴由得 ‎(3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:‎ ‎∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,‎ ‎∴其性价比为=1,‎ ‎∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,‎ ‎∴其性价比为=1.2,‎ 又1.2>1,∴乙厂的产品更具可购买性. ‎
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