辽宁省大连市育明高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

辽宁省大连市育明高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 大连育明高级中学2019-2020学年（上）期中考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知全集，集合，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再计算，最后求得到答案.‎ ‎【详解】,,‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎2.已知，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，再根据范围大小关系得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，故 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数范围，判断是解题的关键.‎ ‎3.命题的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据命题的否定的定义得到答案.‎ ‎【详解】命题的否定是：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了命题的否定，属于基础题型.‎ ‎4.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域和表达式是否相等依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】A. 定义域为，定义域为，不相同，排除；‎ B. ，，表达式不相同，排除；‎ C. 定义域为，定义域为，不相同，排除；‎ D. 定义域为，定义域为，都相同.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.‎ ‎5.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据单调性得到，，再计算得到答案.‎ ‎【详解】；；；‎ ‎ ，即 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了数值的大小比较， 意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎6.下列四个命题，期中真命题的个数是（ ）‎ ‎①每一个素数都是奇数；②至少有一个等腰三角形不是直角三角形；③；④是的充分不必要条件.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误：①举反例2不满足；②找出一个等腰三角形即可；③举反例；④根据范围判断正确，据此判断得到答案.‎ ‎【详解】①每一个素数都是奇数；2是素数但不是奇数，错误；‎ ‎②至少有一个等腰三角形不是直角三角形；存在非直角的等腰三角形，正确；‎ ‎③；当时，不成立，错误；‎ ‎④是的充分不必要条件；可以得到，不能得到，正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假判断，意在考查学生的推断能力.‎ ‎7.函数为上的增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数为递增函数，满足每一个分段为递增，且间断处满足，计算得到答案.‎ ‎【详解】为上的增函数 则满足： 解得 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的单调性，忽略掉间断处的大小关系是容易发生的错误.‎ ‎8.若函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像判断得到，再根据函数的平移法则得到答案.‎ ‎【详解】根据函数的图像知： ‎ ‎，根据函数平移法则知：满足条件 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的对于函数图像的应用能力.‎ ‎9.定义在上的增函数，满足对于任意正实数恒有，且，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件先计算，再化简得到，根据函数的单调性和定义域计算得到答案.‎ ‎【详解】且，取则 ‎ 化简为 ‎ 根据函数的单调性和定义域得到： 解得 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，忽略定义域是容易发生的错误.‎ ‎10.已知函数，满足的解集为，若存在实数使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解得到，化简得到，利用绝对值不等式得到 得到答案.‎ ‎【详解】函数，满足的解集为 解集为对比知： ‎ 存在实数使成立，即 即 ，，当时等号成立.‎ 故 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的存在性问题，转化为函数的最值是解题的关键.‎ ‎11.函数在上的最大值为，最小值为N，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，设判断为奇函数，则 ‎，根据奇函数性质得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设则，为奇函数.‎ ‎，‎ 即 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数最大最小值，构造判断为奇函数是解题的关键.‎ ‎12.定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数画出函数图像，得到的根的个数情况，根据 有且仅有6个不等的实数根得到 或 ‎，再根据韦达定理得到答案.‎ ‎【详解】当时，，为偶函数 画出函数图像，如图所示：‎ ‎ 根据图像知：‎ 当时：无解；‎ 当时：有2个根；‎ 当时：有4个根；‎ 当时：有2个根；‎ 当时：有1个根；‎ 当时：无解；‎ 有且仅有6个不等的实数根 和满足： 或 则满足：‎ 则满足： ‎ ‎ 综上所述：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生对于函数图像，韦达定理，不等式的综合应用能力.‎ 第Ⅱ卷（共60分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）‎ ‎13.计算：‎ ‎（1）________________；‎ ‎（2）若，则__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①直接计算得到答案.‎ ‎②根据解得和，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】①‎ ‎②，易知，则 故 ‎【点睛】本题考查了化简求值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.函数的定义域为，则的定义域为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽象函数的定义域法则得到不等式，计算得到答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为 则的定义域满足：解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数的定义域，意在考查学生对于抽象函数定义域的掌握情况.‎ ‎15.已知a>0，b>0，ab -（a＋b）＝1，求a＋b的最小值 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据基本关系式，所以原式转化为不等式就是，设，所以，解得，所以最小值是．‎ 考点：基本不等式求最值 ‎16.下列四个命题，其中真命题的序号是_______________.‎ ‎（1）得最小值为2；‎ ‎（2）且，则恒成立；‎ ‎（3），则恒成立；‎ ‎（4），其中表示三数中最大一个数，则的最小值为.‎ ‎【答案】（2）（3）（4）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误：（1）等号成立的条件不满足；（2）两式相减恒大于0；（3）利用均值不等式再累加得到证明；（4），根据范围大小得到分段函数求在最值，判断得到答案.‎ ‎【详解】（1），当，即时成立，错误；‎ ‎（2）且，则，‎ 故恒成立，正确；‎ ‎（3），不等式累加得到，当时等号成立，正确；‎ ‎（4）不妨设，则 ‎，故当时，有最小值为，正确.‎ 故答案为：（2）（3）（4）‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的综合应用，意在考查学生对于不等式的应用能力.‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合，若“”是“”的必要条件，求实数的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解得，根据条件得到，讨论，，三种情况计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎“”是“”的必要条件，故 ‎ 当时：；‎ 当时：根据韦达定理：不成立；‎ 当时：根据韦达定理：不成立.‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.‎ ‎18.二次函数满足.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设二次函数为，代入数据计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，讨论的取值范围得到答案.‎ ‎【详解】（1）设二次函数为 ‎ ‎；；‎ 解得： ，‎ ‎（2）即 化简得到：‎ 当即时：解得：；‎ 当即时：代入得到；‎ 当即时：‎ ‎①当时：解得或；‎ ‎②当时：得到；‎ ‎③当时：解得：或.‎ 综上所述：‎ 时：；‎ 时：；‎ 时：；‎ 时：；‎ 时：‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的解析式，分类讨论解不等式，意在考查学生的分类求解的能力.‎ ‎19.已知定义域为的奇函数，且时.‎ ‎（1）求时的解析式；‎ ‎（2）求证：在上为增函数；‎ ‎（3）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先计算，再设，代入函数化简得到答案.‎ ‎（2）设，计算判断为正得到证明.‎ ‎（3）得到不等式，设，化简得到计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）已知定义域为的奇函数，则 ‎ 当时，则，‎ 综上所述：‎ ‎（2）设，则 故，，，故 即函数单调递增.‎ ‎（3），‎ 根据（2）知：得到：‎ 设，则 即，即 解得.‎ 不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解析式，函数单调性 证明，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ ‎20.已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为万元，每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且.‎ ‎(Ⅰ)写出年利润(万元）关于年产量(万只）的函数的解析式；‎ ‎(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 当时，，‎ 所以.‎ ‎（2）①当时，，所以；‎ ‎②当时，，‎ 由于，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 所以的最大值为，‎ 综合①②可知，当时，取得最大值为.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（2）若存在不相等的实数同时满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）时：；时：；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，化简得到函数，讨论对称轴范围和两种情况计算得到答案.‎ ‎（2）根据化简得到，代入函数得到，设 得到函数，根据函数的单调性得到取值范围.‎ ‎【详解】（1），设，，对称轴为 ‎ 当时：；‎ 当时：.‎ 综上所述：时：；时：‎ ‎（2），则 化简得到： ‎ 即 设则 易知函数在单调递增，故即 ‎【点睛】本题考查了函数的最值问题，求参数的取值范围，意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）关于的方程在区间内恰有一解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，得到不等式，计算得到答案.‎ ‎（2）根据题意得到恒成立，设，根据函数的单调性得到取值范围.‎ ‎（3）化简得到方程，讨论，，三种情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）当时，，即 ‎（2），设 ‎ 时：单调递增；单调递增.故在单调递增.‎ 故 ‎ ‎（3）即 化简得到：，在区间内恰有一解 当时，方程有解为，满足条件；‎ 当时：‎ 当，时，方程有唯一解为，满足条件；‎ 当，即时 若不是方程的解，则满足： ‎ 若是方程的解，即，解得方程为：，满足；‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查了解不等式，恒成立问题，知解的个数求参数，分类讨论是常用的技巧，漏解是容易发生的错误.‎ ‎ ‎