【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版7-3一元二次不等式及其解法学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版7-3一元二次不等式及其解法学案

‎§7.3 一元二次不等式及其解法 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ 以理解一元二次不等式的解法为主,常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法,有时也在导数的应用中用到,加强函数与方程思想,分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查,属于低档题,若在导数的应用中考查,难度较高.‎ ‎1.一元二次不等式的解集 判别式Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2‎ ‎(x10 ‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x∈R}‎ ax2+bx+c<0 ‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|x1< x0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab ‎(x-a)·(x-b)>0‎ ‎{x|xb}‎ ‎{x|x≠a}‎ ‎{x|xa}‎ ‎(x-a)·(x-b)<0‎ ‎{x|a0(a>0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?‎ 提示  ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.‎ ‎2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是什么?‎ 提示 显然a≠0.ax2+bx+c>0恒成立的条件是ax2+bx+c<0恒成立的条件是 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )‎ ‎(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )‎ ‎(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )‎ ‎(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( × )‎ ‎(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.‎ ‎( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于(  )‎ A.{x|-23}‎ D.{x|x≤-2}∪{x|x≥3}‎ 答案 B 解析 ∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.‎ 由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.‎ 故选B.‎ ‎3.y=log2(3x2-2x-2)的定义域是________________.‎ 答案 ∪ 解析 由题意,得3x2-2x-2>0,‎ 令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=,‎ ‎∴3x2-2x-2>0的解集为 ∪.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)‎ 答案 (-4,1)‎ 解析 由-x2-3x+4>0可知,(x+4)(x-1)<0,‎ 得-40的解集是,则a+b=________.‎ 答案 -14‎ 解析 ∵x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,‎ ‎∴解得∴a+b=-14.‎ ‎6.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2] B.(-2,2] C.(-2,2) D.(-∞,2)‎ 答案 B 解析 ∵∴-20},‎ ‎∴ A∩B={x|00).‎ 解 原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,‎ 因为a>0,所以(x-1)<0.‎ 所以当a>1时,解为1时,不等式的解集为.‎ 思维升华 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论 ‎(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.‎ ‎(2)根据判别式Δ判断根的个数.‎ ‎(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.‎ 跟踪训练1 解不等式12x2-ax>a2(a∈R).‎ 解 原不等式可化为12x2-ax-a2>0,‎ 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,‎ 解得x1=-,x2=.‎ 当a>0时,不等式的解集为∪;‎ 当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);‎ 当a<0时,不等式的解集为∪.‎ 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R上的恒成立问题 例3 已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 当m=0时,f(x)=-1<0恒成立.‎ 当m≠0时,则即-40时,g(x)在[1,3]上是增函数,‎ 所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,‎ 所以m<,所以00,‎ 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.‎ 因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.‎ 所以m的取值范围是.‎ 引申探究 ‎1.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“f(x)<5-m无解”,如何求m的取值范围?‎ 解 若f(x)<5-m无解,即f(x)≥5-m恒成立,‎ 即m≥恒成立,又x∈[1,3],‎ 得m≥6,即m的取值范围为[6,+∞).‎ ‎2.若将“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,如何求m的取值范围?‎ 解 由题意知f(x)<5-m有解,‎ 即m<有解,则m0的解集为{x|-10的解集为(  )‎ A. B. C.{x|-21}‎ 答案 A 解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-10,解得x<-1或x>,故选A.‎ ‎3.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(  )‎ A.(-3,0) B.[-3,0] C.[-3,0) D.(-3,0]‎ 答案 A 解析 由题意可得 解得-3x2-2x+5,设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x∈[2,4],当x=2时f(x)min=5,∃x∈[2,4]‎ 使x2-2x+5-m<0成立,即m>f(x)min,∴m>5.故选B.‎ ‎5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是(  )‎ A.[-4,1] B.[-4,3]‎ C.[1,3] D.[-1,3]‎ 答案 B 解析 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即10在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(  )‎ A. B. C.(1,+∞) D. 答案 A 解析 由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根,又因为x1x2=-2<0,所以方程必有一正根,一负根,对应二次函数图象的示意图如图.所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故选A.‎ ‎7.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是(  )‎ A.(-3,5) B.(-2,4)‎ C.[-1,3] D.[-2,4]‎ 答案 C 解析  因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0,‎ 当a>1时,不等式的解集为{x|1a≥-1,‎ 所以实数a的取值范围是a∈[-1,3],故选C.‎ ‎8.设a<0,(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 当a0)的解集为________.‎ 答案 {x|-a0,∴-a<3a,不等式的解集为{x|-a的解集为________.‎ 答案 (-1,0)∪(1,+∞)‎ 解析 当x>0时,原不等式等价于x2>1,解得x>1;当x<0时,原不等式等价于x2<1,解得-1的解集为(-1,0)∪(1,+∞).‎ ‎11.若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (-4,0)‎ 解析 因为x2-ax-a>0的解集为R,‎ 所以Δ=(-a)2-4(-a)<0,解得-40,求实数a的取值范围.‎ 解 设f(x)=x2-2(a-2)x+a,‎ 当Δ=4(a-2)2-4a<0时,‎ 即10 对x∈R恒成立;‎ 当a=1时,f(-1)=0,不合题意;‎ 当a=4时,f(2)=0 符合题意;‎ 当Δ>0 时,由即 即40;‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.‎ 解 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,‎ ‎∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,‎ 即a2-6a-3<0,解得3-2b的解集为(-1,3),‎ ‎∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,‎ ‎∴解得 ‎16.已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5).‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若对于任意的x∈[-1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),‎ 即2x2+bx+c<0的解集是(0,5),‎ ‎∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,‎ 由根与系数的关系知,-=5,=0,‎ ‎∴b=-10,c=0,f(x)=2x2-10x.‎ ‎(2)f(x)+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立,‎ ‎∴2x2-10x+t-2在x∈[-1,1]上的最大值小于或等于0.‎ 设g(x)=2x2-10x+t-2,x∈[-1,1],‎ 则由二次函数的图象可知g(x)=2x2-10x+t-2在区间[-1,1]上为减函数,‎ ‎∴g(x)max=g(-1)=10+t,∴10+t≤0,即t≤-10.‎
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