福建省龙岩市一级达标校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

福建省龙岩市一级达标校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

龙岩市一级达标校2018-2019学年高二下学期期末教学质量检查 数学（理）试卷 一、选择题（每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填写在答题卡的相应位置.）‎ ‎1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限，选D.‎ ‎2.已知某产品连续4个月的广告费用（千元）与销售额（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：‎ ‎①广告费用和销售额之间具有较强线性相关关系；‎ ‎②；‎ ‎③回归直线方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；‎ 那么，广告费用为8千元时，可预测销售额约为（　　）‎ A. 4.5万元 B. 4.9万元 C. 6.3万元 D. 6.5万元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可求出，进而可求出，即可得到回归方程，令，可求出答案.‎ ‎【详解】由题意，，‎ 因为，所以，‎ 则回归直线方程为.‎ 当时，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎3.展开式中的所有项系数和是（　　）‎ A. 0 B. 1 C. 256 D. 512‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可求出展开式中所有项系数和.‎ ‎【详解】令，则，即展开式中的所有项系数和是1，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题.‎ ‎4.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（　　）‎ A. -4 B. -1 C. 1 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.‎ ‎【详解】由题意，，，则曲线在点处的切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎5.为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：‎ 及格 不及格 合计 很少使用手机 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 经常使用手机 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 则有（　　）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．‎ 参考公式:，其中 ‎ ‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A. 97.5% B. 99% C. 99.5% D. 99.9%‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据2×2列联表，求出的观测值，结合题中表格数据即可得出结论.‎ ‎【详解】由题意，可得：‎ ‎，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎6.某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法，可得.‎ ‎【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数，‎ 在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，‎ 则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎7.下列关于积分的结论中不正确的是（　　）‎ A. B. ‎ C. 若在区间上恒正，则 D. 若，则在区间上恒正 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案.‎ ‎【详解】对于选项A，因为函数是R上的奇函数，所以正确；‎ 对于选项B，因为函数是R上的偶函数，所以正确；‎ 对于选项C，因为在区间上恒正，所以图象都在轴上方，故正确；‎ 对于选项D，若，可知的图象在区间上，在轴上方的面积大于下方的面积，故选项D不正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题.‎ ‎8.在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类似地，可得的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，可得，求解即可.‎ ‎【详解】设，则，即，解得，取.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎9.甲、乙两名游客来龙岩旅游，计划分别从“古田会址”、“冠豸山”、“龙崆洞”、“永福樱花园”四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出两人从四个旅游景点中任意选取3个景点的所有选法，再求出两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的选法，然后可求出对应概率.‎ ‎【详解】甲、乙两人从四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，总共有种选法，‎ 两人选取的景点中有且仅有两个景点相同，总共有,‎ 则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的求法，考查了排列组合等知识，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎10.已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可转化为函数与的图象在上有两个交点，然后对求导并判断单调性，可确定的图象特征，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意，可知在恰有两个解，即函数与的图象在上有两个交点，‎ 令，则，当可得，‎ 故时，；时，.‎ 即在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，，，‎ 因为，所以当时，函数与的图象在上有两个交点，‎ 即时，函数在恰有两个零点.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：‎ ‎（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.‎ ‎11.将3名教师，5名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每地至少去1名教师和1名学生，则不同的安排方法总数为（　　）‎ A. 1800 B. 1440 C. 300 D. 900‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三个教师全排列安排到三地，再利用分组、分配方法安排学生，可求出答案.‎ ‎【详解】先将3名教师安排到甲、乙、丙三地有种分法，‎ 然后安排5名学生，将5名学生可分为1，1，3三组，也可分为2，2，1三组，则安排到三地有种方法；‎ 根据分步乘法原理，可知不同的安排方法总数为种.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了分步乘法原理的应用，考查了分配问题，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，若，则的最大值是（　　）‎ A. B. - C. D. --‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，可分别用表示，进而可得到的表达式，构造函数，通过求导判断单调性可求出的最大值.‎ ‎【详解】设，则,‎ 则，，故.‎ 令，‎ 则，‎ 因为时，和都是减函数，‎ 所以函数在上单调递减.‎ 由于，‎ 故时，；时，.‎ 则当时，取得最大值，.‎ 即的最大值为.‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】构造函数是解决本题的关键，考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力与计算能力，属于难题.‎ 二、填空题（把答案填写在答题卡的相应位置.）‎ ‎13.同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设甲乙丙之外的三人为A、B、C，将乙和丙看作一个整体，与A、B、C三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案.‎ ‎【详解】设甲乙丙之外的三人为A、B、C，将乙和丙看作一个整体，与A、B、C三人全排列，有种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有种排法.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.‎ ‎14.已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且（3+i）为纯虚数（是的共轭复数）则＝_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的表达式，再由纯虚数的定义，可求出的值，进而可求出.‎ ‎【详解】由题意，，，则为纯虚数，故，解得.‎ 故，.‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的四则运算，考查了共轭复数、复数的模、纯虚数的定义，属于基础题.‎ ‎15.设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.‎ ‎，当时，，此时函数单调递减；‎ 当时，，此时函数单调递增.‎ ‎，即函数在上的最小值为-1.‎ 函数为直线，‎ 当时，，显然不符合题意；‎ 当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；‎ 当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.‎ 故实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.‎ ‎16.甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知六张纸牌上分别写有1﹣六个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我知道谁手中的数更大了．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中可能的数构成的集合是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先推出甲不是最大与最小的数，再讨论乙的所有情形，即可得出答案.‎ ‎【详解】由题意，六个数字分别.‎ 由甲说他不知道谁手中的数更大，可推出甲不是最大与最小的数，‎ 若乙取出的数字是或，则他知道甲的数字比他大还是小；‎ 若乙取出的数字是或，则他知道甲的数字比他大还是小；‎ 若乙取出的数字是或，则他不知道谁的数字更大.‎ 故乙手中可能的数构成的集合是.‎ ‎【点睛】本题考查了简单的推理，要注意仔细审题，属于基础题.‎ 三、解答题（解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）‎ ‎17.在二项式展开式中，所有的二项式系数和为256．‎ ‎（1）求展开式中的最大二项式系数；‎ ‎（2）求展开式中所有有理项中系数最小的项．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）展开式中所有的二项式系数和，可求出，即二项式系数最大的项是第5项，即可求出答案；（2）由题可得，取值为0，4，8时，为有理项，分别求出对应项，即可得出答案.‎ ‎【详解】解:（1）依题意得， ‎ 所以，因此二项式系数最大的项是第5项，‎ 所以最大二项式系数为. ‎ ‎（2），‎ 为有理项，则可取值为0，4，8.‎ 有理项为 ，，，‎ 所求有理项的系数最小项为.‎ ‎【点睛】二项式系数与项的系数的区别：‎ 二项式系数是指；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分.‎ ‎18.《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩 基本服从正态分布．‎ ‎（1）求化学原始成绩在区间（57，96）的人数；‎ ‎（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间[71，90]的人数，求事件的概率 ‎(附：若随机变量，,）‎ ‎【答案】（1）1636人（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），结合正态分布的性质，可求出概率，然后由总人数为2000，可求出化学原始成绩在的人数；（2）结合独立重复试验概率公式可求出概率.‎ ‎【详解】解：（1）因为化学原始成绩，‎ 所以 ‎．‎ 所以化学原始成绩在的人数为（人）．‎ ‎（2）因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，‎ 且等级成绩在区间、的人数所占比例分别为、，‎ 则随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为． ‎ 所以从全省考生中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3，‎ 且，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布曲线特点，考查了独立重复试验概率公式，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎19.已知函数，（其中，且），‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．‎ ‎【答案】（1）（2）猜想：；证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别代入并化简，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分别代入表达式，化简并整理即可证明.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎.‎ 因为函数与具有相同的单调性，且都是单调函数，所以是单调函数.‎ ‎.‎ ‎（2）由，‎ 猜想：.‎ 证明: ‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数在上的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时,．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增； （2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，由导函数可求出函数的单调区间；（2）构造函数，通过求导可知函数在上单调递增，且，可知，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减；在上单调递增； ‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 因为二次函数，，所以恒成立.‎ 则当时，，所以在上单调递增；‎ 又，‎ 所以，即，‎ 故当时，.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性，考查了利用导数证明不等式恒成立问题，考查了学生的计算能力与推理能力，属于中档题.‎ ‎21.为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.‎ ‎（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；‎ ‎（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．‎ 提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”．‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；期望为50；（2）应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为,分别求出对应概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望为60元，讨论两种方案：若选择“”的面值设计，只有“”的面值组合符合期望为60元，求出方差；当球标有的面值为元和元时，面值设计是“”符合期望为60元，求出方差，比较两种情况的方差，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为.‎ ‎ ，， ‎ 所以的分布列如下：‎ 所以顾客所获的奖励额的期望为 ‎ ‎（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元.‎ 所以可先寻找使期望为60元的可能方案：‎ 当球标有的面值为元和元时，‎ 若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；‎ 若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最小值，所以期望不可能为.‎ 因此可能的面值设计是选择“”，‎ 设此方案中顾客所获得奖励额为，则的可能取值为.‎ ‎.‎ 的分布列如下：‎ 所以的期望为 的方差为 ‎ 当球标有的面值为元和元时，同理可排除“”、“ ”的面值设计，‎ 所以可能的面值设计是选择“”， ‎ 设此方案中顾客所获的奖励额为，则的可能取值为.‎ ‎.‎ 的分布列如下：‎ 所以的期望为 的方差为 ‎ 因为 ‎ 即两种方案奖励额的期望都符合要求，‎ 但面值设计方案“”的奖励额的方差要比面值设计方案“”的方差小，‎ 所以应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了期望与方差的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）试讨论在极值点的个数；‎ ‎（2）若函数的两个极值点为，且，为的导函数，设，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数 求导，讨论导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而可求出极值的个数；（2）先求出函数的表达式，进而可得到极值点的关系，可用来表示及，代入的表达式，然后构造函数关于的函数，求出值域即可.‎ ‎【详解】解：（1）易知定义域为，.‎ ‎①当时，恒成立，在为增函数，没有极值点；‎ ‎②当时，恒成立，在为增函数，没有极值点；‎ ‎③当时，，‎ 由，令得，令得，‎ 则上单调递减，在单调递增，故只有一个极大值点，没有极小值点；‎ ‎④当时，由，令得，令得,‎ 则在上单调递增，在单调递减，故只有一个极小值点，没有极大值点.‎ ‎（2）由条件得且有两个根，满足，‎ 或，‎ 因为，所以，故符合题意.‎ 因为函数的对称轴，，所以.‎ ‎，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 显然在上单调递减，在单调递增，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了函数的单调性与最值，考查了转化思想与分类讨论思想，属于难题.‎ ‎ ‎