江苏省南通市如皋中学2020届高三下学期3月线上模拟考试数学试题 Word版含解析

江苏省南通市如皋中学2020届高三下学期3月线上模拟考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届高三全真模拟试题（一）‎ 数学 参考公式：‎ 样本数据的方差，其中.‎ 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高.‎ 锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高.‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合，，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定集合中元素，然后由交集定义潮解．‎ ‎【详解】，∴．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键．‎ ‎2.复数模为2，其中为虚数单位，则实数的值是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化复数为代数形式，再由模的定义计算后解方程可得．‎ ‎【详解】，∴，．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】本题考查复数的模的运算，解题时由复数乘法化简复数为代数形式，再由模的定义计算．‎ ‎3.如图是某算法的伪代码，则输出的S的值是_______‎ - 25 -‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序运算，观察变量值，判断循环条件可得结论．‎ ‎【详解】程序循环时，变量值依次为：，满足条件；，满足条件；，不满足条件，结束循环，输出．‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题考查算法语句,伪代码，考查循环语句，解题可模拟程序运算，判断循环条件，得出结论．‎ ‎4.已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是_______‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算均值，再由方差公式得结论．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎∴．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查方差的计算，掌握方差计算公式是解题基础．‎ ‎5.函数，则_______‎ ‎【答案】1‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，再计算．‎ ‎【详解】由题意，．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数，求分段函数值，解题时根据自变量的不同范围选择不同的表达式计算即可．‎ ‎6.因疫情需要，从A地区3名主治医师和2名护士中任选3人参加B地区救治援助，则选出3人中至少有1名护士的概率是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把5人编号，写出任选3人的所有基本事件，再得出3人中至少有1名护士的基本事件，然后可计算概率．‎ ‎【详解】3名主治医师和2名护士编号为：，任选3人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10个，其中至少有1名护士的有，，，，，，，，，共9个，‎ ‎∴概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，解题关键是有列举法写出所有基本事件．‎ ‎7.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该双曲线的渐近线方程是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 求出抛物线的焦点坐标，即双曲线的焦点，从而求得后可得渐近线方程．‎ ‎【详解】抛物线中，，焦点为，‎ ‎∴双曲线中，，渐近线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程．解题中要注意双曲线中．‎ ‎8.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件求出首项和公差，即可得通项公式．‎ ‎【详解】设数列公差为，由已知得，解得．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查等差数列的前项和公式，解题方法是基本量法，即用和表示已知并求出，再由和解决其他问题．‎ ‎9.在棱长为2的正方体中，M为的中点，则三棱锥的体积是_______‎ - 25 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由棱锥的体积公式进行转换．‎ ‎【详解】∵是中点，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查棱锥的体积，解题时利用同底的棱锥体积比等于高的比进行转化．‎ ‎10.已知P为指数函数图象上一点，Q为直线上一点，则线段PQ长度的最小值是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出上与直线平行的切线方程（切点坐标），两平行线间的距离（切点到直线的距离）就是所求最小值．‎ ‎【详解】设图象上斜率为1的切线的切点是，由，，，，即．到直线的距离是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查曲线上点到直线距离的最小值，解题时把问题转化为直线与曲线上平行于此直线的切线间的距离，也即切点到此直线的距离，本题考查了导数的几何意义．‎ ‎11.定义在R上的偶函数满足，且当时，；当且时，有，则函数在是的零点个数是_______‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 由已知等式得出函数的周期性，由已知导数的不等关系得函数在上的单调性，结合当时，，可在坐标系作出其大致图象，然后再作出的图象，由图可得结论．‎ ‎【详解】∵，∴函数是周期函数，周期为．‎ 当且时，有，则时，，递减，时，，递增，‎ 当时，，且是偶函数，周期为2，在同一坐标系中作出的大致图象和的图象，‎ 由图可知，在上的零点个数为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点问题，解题方法是把零点个数转化为函数图象的交点个数．解题关键是由已知导数的不等式确定函数的单调性，从而结合周期性和奇偶性能作出函数的大致图象．‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，设A(－2，0)，F为椭圆C的左焦点.若椭圆C上存在点P，满足＝，则椭圆C - 25 -‎ 离心率的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，运用两点间距离公式，化简已知条件得点的轨迹方程，知轨迹是圆，由圆到椭圆相交，可得的不等关系，从而求得离心率的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，设，则，化简得．‎ 由得，‎ 又椭圆与圆有公共点，∴，，，∴离心率．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围，解题关键是求出点轨迹方程得其轨迹，由两曲线有公共点得椭圆中的不等关系．‎ ‎13.圆的内接正六边形的边长为1，若P为弓形内任意一点（如图所示的阴影部分，含边界），则的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，设，把向量数量积用坐标表示，问题转化为点在阴影部分，求取值范围，结合图形可得．‎ ‎【详解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，．设，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ 令，易知直线就是直线，平移直线，当与重合时，，当直线与阴影部分的弧相切时，，，∴，‎ ‎∴，即所求取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法建立平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示出来，从而把问题转化为求 - 25 -‎ 的取值范围，这就是非线性可行域的简单的线性规划问题．‎ ‎14.在中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理化边为角，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简已知条件，由已知条件可把转化为可用基本不等式求最值的形式，从而得到最小值．‎ ‎【详解】∵，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，‎ ‎∴的最小值是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查考查正弦定理，考查诱导公式、两角和的正弦公式，在三角形与三角函数综合问题中，出现边的齐次式时，常常正弦定理化边为角，然后由三角函数恒等变换公式化简变形．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ - 25 -‎ ‎15.已知为锐角，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由两角差的余弦公式求值；‎ ‎（2）由同角间的三角函数关系求出，由正切二倍角公式得，最后由两角差的正切公式求值．‎ ‎【详解】解：（1）因为为锐角，，所以.‎ 因为为锐角，所以，同理可得，.‎ 所以.‎ 所以的值为 ‎ ‎（2）由，，得.‎ 因为，为锐角，所以 所以.‎ 所以. ‎ - 25 -‎ 所以的值为 ‎【点睛】本题考查两角差的余弦公式、正切公式，考查同角间的三角函数关系，利用三角函数公式时应注意的问题：‎ ‎(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．‎ ‎(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．‎ ‎(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．‎ ‎16.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，点是上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由中位线定理得线线平行后可得线面平行；‎ ‎（2）直三棱柱中由面面垂直的性质定理得线面垂直，平面，从而得线线垂直，再由已知线线垂直得线面垂直，从而得面面垂直．‎ ‎【详解】证明：（1）在中，分别为的中点，‎ 所以，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ - 25 -‎ ‎（2）因为为直三棱柱，所以平面.‎ 因为平面，所以 因为，平面，平面，‎ 所以平面，因为平面，所以. ‎ 由（1）得，，所以.‎ 因为，，平面，平面，‎ 所以平面 因为平面，所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直，解题关键是掌握线面平行和面面垂直的判定定理，特别要掌握线线垂直、线面垂直和面面垂直间的相互转化．‎ ‎17.已知椭圆的离心率为，左焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点关于直线的对称点在圆上，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）焦点坐标得，再由离心率得，从而可得，于是有椭圆标准方程；‎ ‎（2）设，将代入，化简得一元二次方程，从而可得的横坐标，由中点坐标公式得中点的横坐标，由直线方程得纵坐标，然后由对称性得点坐标，利用点在圆上可求得．‎ ‎【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，则 - 25 -‎ 因为椭圆的离心率为，所以，即 因为椭圆的左焦点为，所以，所以 所以椭圆的方程为 ‎（2）设，将代入，化简得 ‎，因为直线与椭圆交于不同的两点，‎ 所以，解得 所以.‎ 所以.‎ 因为，关于直线的对称，所以，‎ 解得 因为点在圆上，所以，即，‎ 解得.‎ 又，所以或.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题及直线的对称性．考查了由韦达定理求解中点坐标，由对称性得对称点坐标的问题，还考查了学生的运算求解能力．‎ ‎18.如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA - 25 -‎ 为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为，.‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角满足：时，招贴画最优美.‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类时，点P在线段OG上，当时，点P在线段GH上，当 时，.求出半径后可得弦长；‎ ‎（2）由（1）的分类讨论求得.，令，用导数的知识求它的最大值即可得．‎ ‎【详解】解：（1）当时，点P在线段OG上，；‎ 当时，点P在线段GH上，；‎ 当 时，. 综上所述，，. ‎ 所以，弧AD的长，故所求函数关系式为，. ‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，；‎ 当 时，所以，，.‎ 从而，. ‎ - 25 -‎ 记，. 则. ‎ 令，得. 因为，所以，‎ 从而， 显然，所以.‎ 记满足的，下面证明是函数的极值点.‎ 设，.则=在上恒成立， 从而在上单调递减，所以，当时，，即，在上单调递增；当时，，即，在上单调递减.‎ 故 在处取得极大值，也是最大值.‎ 所以，当满足时，函数即取得最大值，此时招贴画最优美.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值．解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和．‎ ‎19.如果无穷数列{an}满足条件：①；② 存在实数M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列.‎ ‎（1）设数列{bn}的通项为bn＝20n－2n，且是Ω数列，求M的取值范围；‎ ‎（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝，S3＝，证明：数列{Sn}是Ω数列；‎ ‎（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn＋1.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出数列的最大项即可得；‎ ‎（2）由等比数列的基本量法求出，根据数列新定义证明即可；‎ ‎（3）用反证法，假设存在正整数，使得，由数列{dn}是各项均为正整数得 - 25 -‎ ‎，即.然后利用新定义归纳，这样由可得数列从某一项开始为负．与已知矛盾．从而证得结论．‎ ‎【详解】解：（1）因为bn＝20n－2n，所以，‎ 所以当时，；当时，，‎ 所以数列{bn}的最大项是，‎ 所以，所以M的取值范围是.‎ ‎（2）设{cn}的公比为，则，c3＝，‎ 整理得，解得或，因为，所以.‎ 因为{cn}是等比数列，所以 所以 ‎.‎ 因为，所以数列{Sn}是Ω数列.‎ ‎（3）假设存在正整数，使得，由数列{dn}是各项均为正整数得，即.‎ 因为数列{dn}是Ω数列，所以，‎ 所以，‎ 同理，，‎ 依此类推，得.‎ 因为数列{dn}是Ω数列，所以存在，，所以当时，‎ - 25 -‎ ‎，与数列{dn}各项均为正整数矛盾，所以假设不成立，即对任意的正整数，dn≤dn＋1‎ ‎【点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义，转化为求数列的最大值，研究数列的不等关系．‎ ‎20.已知函数 ‎（1）若，求的最大值；‎ ‎（2）如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称为的“伴随函数”.已知函数，.若在区间上，函数是的“伴随函数”，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，正实数满足，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，由导数研究函数的单调性得出最大值；‎ ‎（2）问题等价于对恒成立， ‎ 且对恒成立，利用导数研究不等式恒成立可得参数取值范围；‎ ‎（3）把，变形为（令），求出的最小值后解相应不等式（关于的不等式），可得结论．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 当时，令，解得.‎ - 25 -‎ 列表如下：‎ ‎0‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 所以，当时取得极大值，也即是最大值.‎ 所以的最大值是 ‎（2）在区间上，函数是的“伴随函数”，则，令对恒成立， ‎ 且对恒成立， ‎ ‎（*） ‎ ‎①若，令，得极值点，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，也不合题意；‎ ‎②若，则有，此时在区间上恒有，‎ 从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只需满足，所以.‎ 又因为在上是减函数.‎ - 25 -‎ ‎，所以.‎ 综合可知的取值范围是.‎ ‎（3）当时，.因为，‎ 所以.‎ 令，则，‎ 令则令解得当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以当时取得极大值即最大值，所以，‎ 解得 ‎【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究函数新定义，证明不等式，解题关键是用新定义把问题转化为不等式恒成立，而用导数证明不等式，转化为求函数的最值．转化与化归思想贯穿解题过程的始终．本题对学生的运算求解能力，逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力的要求较高，属于困难题．‎ ‎21.已知矩阵，向量.求向量，使得.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由矩阵乘法求出，设，由已知等式得出的方程组，可解得，得向量．‎ ‎【详解】解：因为，所以 设，则=‎ - 25 -‎ 所以解得，所以.‎ ‎【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握矩阵乘法法则是解题基础．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的点为极点，Ox所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线交于两点，求线段的长度.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由公式可得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．‎ ‎【详解】（1）因为，所以 ‎ 即.‎ 因为，所以，‎ 所以曲线的直角坐标方程为 ‎（2）因为直线l的参数方程为（t为参数），所以，‎ - 25 -‎ 所以l的直角坐标方程为 所以圆心到直线l的距离，‎ 所以，所以线段的长度为 ‎【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．‎ ‎23.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.‎ ‎（1）求该学生考上大学的概率.‎ ‎（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的概率分布及X的数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，就是五次都未通过，或者5次考试中只有1次通过，由对立事件概率公式可得．‎ ‎（2）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，分别计算概率，注意事件的含义，如表示前3次中只有1次通过，而第4次通过，便还包括5次都没通过．由此可得分布列，再由期望公式计算期望．‎ ‎【详解】解：（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，每次测试通过与否互相独立，则 所以，‎ - 25 -‎ 所以该学生考上大学的概率为.‎ ‎（2）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5，则 ‎，，，‎ ‎.‎ 所以X的概率分布为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 所以X的数学期望为 ‎【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式，考查对立事件的概率，考查随机变量概率分布列和期望．本题难点在于对事件的理解．‎ ‎24.记(且)的展开式中含项的系数为,含项的系数为.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若,对n＝2,3,4成立,求实数的值;‎ ‎（3）对（2）中的实数,用数学归纳法证明:对任意且都成立.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）答案见解析 ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简,即可求得答案;‎ ‎（2）由,得到关于的方程组,即可求得答案;‎ ‎（3）先根据当时,等式成立;假设时关系成立,利用变形可得时关系也成立,综合得到对于任意时都成立,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1） ‎ 展开式中含项的系数为 ‎（2）‎ 则解得 ‎（3）①当时,由（2）知等式成立．‎ ‎②假设当(,且)时,等式成立,‎ 即 当时,‎ 由 - 25 -‎ 可得 又上式,‎ 即等式也成立．‎ 综上所述,对任意且,都有成立．‎ ‎【点睛】本题的解题关键是掌握多项式相乘和组合数公式,及其掌握数学归纳法的解题步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ - 25 -‎ - 25 -‎