浙江省嘉兴市南湖区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省嘉兴市南湖区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年第一学期高二期中联考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）‎ ‎1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设直线的倾斜角为，由两点斜率公式的直线的斜率所以，故选A．‎ 考点：1、直线的斜率公式；2、直线的倾斜角．‎ ‎2.如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 垂直相交 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行，故这两个平面有可能相交或平行，所以这两个平面的位置关系是相交或平行，故选C.‎ ‎3.如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（  ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得．‎ ‎【详解】由已知可得：以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球半径为1，故半球的表面积为：‎ 故答案为C ‎【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D 若，且，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出.‎ ‎【详解】若，，则或与异面或与相交，故选项错误；‎ 若，，则与可能相交，故选项错误；‎ 若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；‎ ‎， 或，又 ，故选项正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.‎ ‎5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　‎ A. 相交 B. 平行 C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D ‎6.已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（　 ）‎ A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.‎ ‎【详解】圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4，‎ 它们的圆心距等于，等于半径之和，‎ 两个圆相外切.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．‎ ‎7.若实数满足，则的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，令，得到；求出圆心到直线的距离，即可得出所求式子的范围．‎ ‎【详解】令，即，表示一条直线；‎ 又方程可化为，表示圆心为，半径的圆；‎ 由题意直线与圆有公共点，‎ ‎∴圆心到直线的距离，‎ ‎∴，即的取值范围为．‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，由直线与圆的位置关系求参数，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.‎ ‎8.已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为　　‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可。‎ ‎【详解】结合题意，绘制图像，可知 当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。‎ ‎【点睛】考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难。‎ ‎9.对于直角坐标平面内任意两点，，定义它们之间的一种“新距离”：．给出下列三个命题：‎ ‎①若点在线段上．则；‎ ‎②在中，若，则；‎ ‎③在中，．‎ 其中的真命题为（　 ）‎ A. ①③ B. ①② C. ① D. ③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对于①若点在线段上，设点坐标为，然后代入验证显然成立．对于②在中，若，则|是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在中，用坐标表示 ‎，然后根据绝对值不等式可得到大于等于．推出不成立，故可得到答案．‎ ‎【详解】①若点在线段上，设点，那么在之间．在，之间，‎ ‎∴，故①正确；‎ ‎②，显然，平方后不能消除，，所以命题不成立，故②不正确；‎ ‎③在中，由绝对值不等式的性质可得：‎ ‎，故③不正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判定，考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求，熟记绝对值不等式的性质即可，属于中档题目．‎ ‎10.如图，在菱形中，，线段，的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点连接，，设菱形的边长为，可得（或补角）为与所成角．在中，由余弦定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】取中点连接，，设菱形的边长为，‎ 因为，∴，，则（或补角）为与所成角．‎ ‎∴，‎ 在中，，可得，‎ 在中，．‎ 在中，．‎ 在中，．‎ 因此异面直线与所成角的余弦值为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，只需在几何体中作出异面直线所成的角，解对应三角形即可，属于常考题型．‎ 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）‎ ‎11.直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD为______，面积为______cm2．‎ ‎【答案】矩形、 8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X′平行，且长度不变，‎ 原来与y轴平行的与y′平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45（或135）度。所以四边形ABCD为边长分别为2,4的矩形，其面积为8.‎ 考点：本题主要考查平面图形的直观图画法。‎ 点评：注意直观图中线段与原图的关系。‎ ‎12.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为_____，体积为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积.‎ ‎【详解】由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,‎ 底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,‎ 所以最长的棱为PC=,‎ 几何体体积为.‎ 故答案为(1). (2). ‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎13.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.‎ ‎【答案】 (1). －2 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据韦达定理得到，由两直线垂直斜率之积为可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合可得结果.‎ ‎【详解】直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴，‎ 若，则，得；‎ 若，则，∴，得，故答案为和2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的斜率和直线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，学生的转化能力，是一道基础题.‎ ‎14.如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称，那么直线的方程为______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：直线斜率为，所以斜率为，设直线方程为，‎ 由已知直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即．‎ 考点：直线方程．‎ ‎15.正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 取中点，中点，中点，连结、、、、、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】取中点，中点，中点，连结、、、、、，‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∴过且与平行的平面截正方体所得截面为，‎ ‎∵，，四边形是矩形，‎ ‎∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：‎ ‎；‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设和该截面所成角为，‎ 则，‎ ‎∴和该截面所成角的正弦值为．‎ 故答案为；．‎ ‎【点睛】本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，熟记面面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型．‎ ‎16.已知实数满足，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】[0，]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造直线x0，过圆上一点P作直线的垂线PM，则sin∠POM ‎，求出∠POM的范围即可得到答案．‎ ‎【详解】P（x，y）为圆x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则P到直线xy＝0的距离PM，又因为圆在直线的上方，则PMx，‎ ‎∴sin∠POM，‎ 设圆x2+（y﹣2）2＝1与直线y＝kx相切，则1，解得k＝±，‎ ‎∴∠POM的最小值为0°，最大值为60°，‎ ‎∴0≤sin∠POM，‎ 故答案为[0，]．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化，属难题．‎ ‎17.四面体的四个顶点都在球的球面上，平面，是等边三角形．若侧面的面积为，则球的表面积的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连结，，作出外接球的球心，设是边长为的等边三角形，可得，记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，．（当且仅当时取等号），即可求出表面积最小值．‎ ‎【详解】取的中点，连结，，‎ ‎∵在四面体中，平面，‎ 设是边长为的等边三角形．，即，‎ ‎∴，是等腰三角形，‎ 记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，‎ 则，，‎ 所以（当且仅当时,取等号）．‎ 四面体外接球的表面积为．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查几何体外接球的相关计算，熟记简单几何体的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）‎ ‎18.已知圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍．‎ ‎（1）求圆台两底面的半径；‎ ‎（2）如图，点为下底面圆周上的点，且，求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1) 上底面半径为，下底面半径为．(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆台上底面半径为，则下底面半径为，且．推导出,，从而．由此能求出圆台上底面半径和下底面半径；‎ ‎（2）过点作于点，连接，推导出，面，从而为与平面所成的角，由此即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设圆台上底面半径为，则下底面半径为，将圆台补成如图的圆锥，则.‎ 在中，，∴．‎ 在中，，∴．‎ ‎∴，所以．‎ 故圆台上底面半径为，下底面半径为．‎ ‎（2）过点作于点，连接，‎ ‎∵面，∴，∴面，‎ ‎∴为与平面所成的角，‎ ‎∵，，∴，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于常考题型．‎ ‎19. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAB；‎ ‎（2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA=PC，∠ABC=90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用E，F分别是AC，BC中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．‎ ‎（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．‎ 证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．‎ 又EF⊄平面PAB，‎ AB⊂平面PAB，‎ ‎∴EF∥平面PAB．‎ ‎（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，‎ ‎∴PE⊥AC．‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABC，‎ 平面PAC∩平面ABC=AC，‎ ‎∴PE⊥平面ABC．‎ ‎∴PE⊥BC．‎ 又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，‎ 又EF∩PE=E，‎ ‎∴BC⊥平面PEF．‎ ‎∴平面PEF⊥平面PBC．‎ 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎20.已知点M（3,1），直线与圆。‎ ‎（1）求过点M的圆的切线方程；‎ ‎（2）若直线与圆相切，求a的值；‎ ‎（3）若直线与圆相交与A,B两点，且弦AB的长为，求a的值。‎ ‎【答案】(1)和(2)或(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）圆心,半径,当切线的斜率不存在是，方程为.‎ 由圆心到直线的距离知，此时直线与圆相切，‎ 当切线的斜率存在时，设切线方程为,‎ 即.‎ 由题意知，解得k=,‎ ‎∴切线方程为，即.‎ 故国M点的圆的切线方程为和.‎ ‎（2）由题意知，解得或 ‎（3）∵圆心到直线的距离为 ‎∴解得.‎ ‎21.如图（1），边长为的正方形中，，分别为，上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使三点重合于点.‎ 图（1） 图（2） 图（3）‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正切值的最小值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可得折叠后，，即可证明．‎ ‎（2）作交于点，连结．可得为二面角的平面角．令，，，易得图3中，‎ ‎，利用即可求解．‎ ‎【详解】（1）证明：折叠前，，，‎ 折叠后，，‎ 又，所以平面，‎ 因此．‎ ‎（2）作交于点，连结．‎ ‎∵，∴为二面角的平面角．‎ 令，，，‎ 易得图3中，，‎ ‎∴‎ 则 ‎，当且仅当 ‎∴二面角的正切值的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查了空间线线垂直判定，二面角的大小求解，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及几何法求二面角的大小即可，属于常考题型.‎ ‎22.如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB＝3．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）点P坐标为.（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出圆C的半径为，即得圆C的方程；（2）先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.‎ 设P(2-2y,y),根据PA2＋PB2＋PT2＝12 求出点P的坐标；（3）由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率.‎ ‎【详解】（1）由题得，所以圆C的半径为.‎ 所以圆C的方程为.‎ ‎(2)在中，令x=0,则y=1或y=4.‎ 所以A(0,4),B(0,1).‎ 所以直线BT的方程为x+2y-2=0.‎ 设P(2-2y,y),因为PA2＋PB2＋PT2＝12，‎ 所以,‎ 由题得 因为,‎ 所以方程无解. ‎ 所以不存在这样的点P.‎ ‎ (3)由题得,‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以直线EF的斜率为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎