【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第39讲　空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第39讲　空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积学案

第七章　立体几何 第39讲　空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．‎ ‎2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．‎ ‎3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ ‎4．了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.‎ ‎2017·江苏卷，18‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，3‎ ‎2016·四川卷，13‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，6‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，9‎ ‎2016·山东卷，5‎ 空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积.‎ 分值：5分 ‎1．空间几何体的结构特征 ‎(1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面__平行__，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个__公共顶点__的三角形 棱台 棱锥被平行于__底面__的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台.‎ ‎(2)旋转体的形成 旋转图形 旋转轴 几何体 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一直角边所在的直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ‎2．空间几何体的三视图 ‎(1)三视图的名称 几何体的三视图包括：__正视图__、__侧视图__、__俯视图__.‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成__虚线__.‎ ‎②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的__正前__方、__正左__方、__正上__方观察几何体的正投影图．‎ ‎3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用__斜二测__画法来画，其规则是：‎ ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为__45°或135°__，z′轴与x′轴和y′轴所在平面__垂直__.‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别__平行于坐标轴__；　‎ 平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__不变__；　‎ 平行于y轴的线段在直观图中长度为__原来的一半__.‎ ‎4．空间几何体的表面积与体积 名称几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝__Sh__‎ 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝__Sh__‎ 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝__4πR2__‎ V＝__πR3__‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．(　×　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　)‎ ‎(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．(　×　)‎ ‎(4)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　×　)‎ ‎(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　×　)‎ 解析 (1)错误．因为侧棱不一定与底面垂直．‎ ‎(2)错误．尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点．‎ ‎(3)错误．因为两个平行截面不能保证与底面平行．‎ ‎(4)错误．∠A应为45°或135°.‎ ‎(5)错误．正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同．‎ ‎2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　C　)‎ A．圆柱　　 B．圆锥 C．球体　　 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　B　)‎ A．90π　　 B．63π C．42π　　 D．36π 解析 方法一　由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－×π×32×6＝63π.‎ 方法二　依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π，选择B．‎ ‎4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__2__.‎ 解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr，解得r＝1，即直径为2.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图的等腰三角形腰长为2，侧视图是半径为1‎ 的半圆，则该几何体的表面积是__2(π＋)__.‎ 解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．‎ 一　空间几何体的三视图和直观图 ‎(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．‎ ‎(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．‎ ‎【例1】 (1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　B　)‎ A　　　　B　 　　C　　　　D ‎(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　A　)‎ ‎ ‎ ‎(3)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能是(　C　)‎ ‎　‎ 解析 (1)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．‎ ‎(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.‎ ‎(3)当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D项；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C．‎ 二　空间几何体的表面积和体积 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．‎ ‎(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．‎ ‎(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎【例2】 (1)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　B　)‎ A．3 B．2 C．2 D．2‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　B　)‎ A．18＋36　　 B．54＋18 C．90　　 D．81‎ 解析 (1)由三视图还原为如图所示的四棱锥A－BCC1B1，从图中易得最长的棱为AC1＝＝＝2.‎ ‎(2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形(边长为3)，高为6，侧棱长为3的斜四棱柱，其表面积S＝2×32＋2×3×3＋2×3×6＝54＋18，故选B．‎ 三　与球有关的切、接问题 ‎(1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．‎ ‎(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．‎ ‎(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．‎ ‎(4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．‎ ‎【例3】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　B　)‎ A．π　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为‎5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为__4__.‎ 解析 (1)设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－2＝，所以，圆柱的体积V＝π×1＝，故选B．‎ ‎(2)方法一　由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，设△ABC的边长为acm，则△ABC的面积为a2，△DBC的高为5－a，‎ 则正三棱锥的高为＝，‎ ‎∴25－a>0，∴00，即x4－2x3<0，得0

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