【数学】2019届一轮复习人教B版绝对值不等式和不等式的证明学案

【数学】2019届一轮复习人教B版绝对值不等式和不等式的证明学案

‎ ‎ 热点二十四 绝对值不等式和不等式的证明（选修4-5）‎ ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ ‎1.【2014全国卷1】若,且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在,使得？并说明理由.‎ ‎2.【2015全国卷1】已知函数,.‎ ‎（1）当时,求不等式的解集；‎ ‎（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时,,即．‎ 当时,,无解；‎ 当时,,解得；‎ 当时,,解得．‎ 综上所述,当时,的解集为．‎ ‎（2）,,作图,图像与轴所围成三角形的三个顶点为,,,,即,解得,所以的取值范围是．‎ ‎3.【2015全国卷】设,,,均为正数,且.证明：‎ ‎(1)若,则；‎ ‎(2)是的充要条件.‎ ‎【解析】（1）因为,,由题设,,得,因此.‎ ‎（2）( i)若,则,即.因为,所以,由（Ⅰ）得.‎ ‎( ii)若,则,‎ 即.因为,所以,‎ 于是,因此.‎ 综上,是的充要条件.‎ ‎4.【2016全国卷2】已知函数,为不等式的解集.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：当时,.‎ ‎【解析】（1）当时,,所以；‎ 当时,恒成立；‎ 当时,,所以．‎ 综上可得,．‎ ‎（2）当时,有,即, 则,则,即.‎ ‎5.【2016全国1】已知函数.‎ ‎（1）在如图所示的图形中,画出的图像；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【解析 】由题意得．其图像如图所示.‎ ‎（2）当时,,解得或,故；‎ 当时,,解得或,故或；‎ 当时,,解得或,故或．‎ 综上所述,该不等式的解集为．‎ ‎6.【2016全国3】已知函数 ‎（1）当时,求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数当时,,求的取值范围. ‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎2014年高考本题考查基本不等式的灵活应用．2015年全国卷1考查绝对值不等式的解法,全国卷2考查不等式的证明及充要条件；2016年3套试卷都考查了绝对值不等式的解法,又分别考查了不等式的证明、绝对值函数的图象及恒成立问题. 从三年试题来看,高考对这部分要求不是太高,会解绝对值不等式,会利用柯西不等式,基本不等式求最值,而解绝对值不等式是高考的热点,预测2017年高考全国卷1可能会考不等式的证明,全国卷2,3可能会考绝对值不等式的解法,另外柯西不等式全国卷还没有考查过,应引起重视．‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1、含绝对值不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c,‎ ‎|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c,‎ ‎②|x－a|＋|x－b|≤c,|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．‎ 解法1：S1　令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根．‎ S2　把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间．‎ S3　在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集．‎ S4　这些解集的并集就是原不等式的解集．‎ 解法2：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c,写出f(x)的分段解析式作出图象,找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可．‎ 解法3：利用绝对值的几何意义求解,|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和．关键找出到A、B两点距离之和为c的点,“≤”取中间,“≥”取两边．‎ 注意这里c≥|a－b|,若c<|a－b|,则|x－a|＋|x－b|≤c的解集为,|x－a|＋|x－b|≥c的解集为R.‎ ‎2、几个重要的不等式 ‎(1)定理‎1　‎a2＋b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a＝b时取等号．‎ 定理2　≥(a,b∈R＋),当且仅当a＝b时取等号．‎ 定理3　≥(a,b,c∈R＋),当且仅当a＝b＝c时,取等号．‎ 定理4　(a1＋a2＋…＋an)≥(ai∈R＋,i＝1,2,…,n),仅当a1＝a2＝…＝an时取等号．‎ ‎(2)绝对值三角不等式 ‎①定理1　|a|＋|b|≥|a＋b|(a,b∈R),仅当ab≥0时等号成立．‎ ‎②定理2　设a、b、c∈R,则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|,当且仅当(a－b)(b－c)≥0时,等号成立．‎ ‎③推论　||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(3)分式不等式 若a>b>n>0,m>0,则<<.‎ ‎3、不等式的证明方法 ‎（1）比较法：依据a>b⇔a－b>0,aB.　　⇒A

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