高二数学人教a必修5练习：1-1-2余弦定理word版含解析
课时训练 2 余弦定理
一、利用余弦定理解三角形
1.在
△
ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则 b 等于( )
A.1 B.
2
C.
3
D.3
答案:C
解析:b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×
1
2
=3,故 b=
3
.
2.在
△
ABC 中,c2-a2-b2=
3
ab,则角 C 为( )
A.60° B.45°或 135°
C.150° D.30°
答案:C
解析:∵cos C=
2+ 2
-
2
2
-
3
2
=-
3
2
,∴C=150°.
3.在
△
ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 .
答案:120°
解析:由正弦定理可得 a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设 a=3,b=5,c=7,则 c 边最大,∴角 C 最大.
∴cos C=
2+ 2
-
2
2
32+52
-
72
2×3×5
=-
1
2
.
∵0°
0),
由余弦定理可得 cos C=
2+ 2
-
2
2
4 2+9 2
-
16 2
2
·
2
·
3
=-
1
4
,故选 D.
3.在
△
ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 C=120°,c=
2
a,则( )
A.a>b
B.a0,∴a2>b2,∴a>b.
4.
△
ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,AC=6,则
·
的值为( )
A.19 B.14 C.-18 D.-19
答案:A
解析:cos B=
72+52
-
62
2×7×5
19
35
,
∴
·
=|
||
|cos B=7×5×
19
35
=19.
5.在不等边三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 a 为最大边,如果
sin2(B+C)0,
则 cos A=
2+ 2
-
2
2
>0,
∵0
π
3
.
因此得角 A 的取值范围是
π
3
,
π
2
.
6.已知在
△
ABC 中,2B=A+C,b2=ac,则
△
ABC 的形状为 .
答案:等边三角形
解析:∵2B=A+C,又 A+B+C=180°,∴B=60°.
又 b2=ac,由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,
∴有 a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,
∴a=c,故
△
ABC 为等边三角形.
7.(2015 北京高考,12)在
△
ABC 中,a=4,b=5,c=6,则
sin2
sin
= .
答案:1
解析:在
△
ABC 中,由正弦定理知,
sin2
sin
2sin cos
sin
=2cos A·
=2cos A×
4
6
4
3
cos A,
再根据余弦定理,得 cos A=
36+25
-
16
2×6×5
3
4
,
所以
sin2
sin
4
3 ×
3
4
=1.
8.在
△
ABC 中,角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+accos B+abcos C 的值
为 .
答案:
61
2
解析:由余弦定理得 bccos A+accos B+abcos C=
2+ 2
-
2
2 +
2+ 2
-
2
2 +
2+ 2
-
2
2
2+ 2+ 2
2
32+42+62
2
61
2
.
9.在
△
ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cos Asin B=sin C,试判定
△
ABC 的形状.
解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
得(a+b)2-c2=3ab,
即 a2+b2-c2=ab.
∴cos C=
2+ 2
-
2
2
2
1
2
.
∵0°
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