【数学】2020届一轮复习人教B版超越方程反解难,巧妙构造变简单学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教B版超越方程反解难,巧妙构造变简单学案

‎【题型综述】‎ 导数研究超越方程 ‎ 超越方程是包含超越函数的方程,也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数,与超越方程相对的是代数方程.超越方程的求解无法利用代数几何来进行.大部分的超越方程求解没有一般的公式,也很难求得解析解.‎ 在探求诸如,方程的根的问题时,我们利用导数这一工具和数形结合的数思想就可以很好的解决.‎ 此类题的一般解题步骤是:‎ ‎1、构造函数,并求其定义域.‎ ‎2、求导数,得单调区间和极值点.‎ ‎3、画出函数草图.‎ ‎4、数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与轴的交点情况求解.‎ ‎【典例指引】‎ 例1.已知函数在处取得极小值.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)设,其导函数为,若的图象交轴于两点且,设线段的中点为,试问是否为的根?说明理由.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)先求导数,再根据,解得,最后列表验证(2)即研究是否成立,因为,利用,得,所以=0,转化为.其中,最后利用导数研究函数单调性,确定方程解的情况 ‎(2)由(1)知函数.‎ ‎∵函数图象与轴交于两个不同的点,( ),‎ ‎∴,.‎ 两式相减得 ‎.*‎ ‎ .‎ 下解.即.‎ 令,∵,∴,即.‎ 令,.‎ 又,∴,‎ ‎∴在上是増函数,则,‎ 从而知,故,即不成立.‎ 故不是的根.*‎ 例2.设函数 ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)令,其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎(3)当时,方程在区间内有唯一实数解,求实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间, 的区间为单调减区间;(2)先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,知导函数恒成立,再转化为求解;(3)先把握有唯一实数解,转化为有唯一实数解,再利用单调函数求解.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数的单调性的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间.‎ 例3.已知函数()‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若关于的不等式的解集中有且只有两个整数,求实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)求出,分两种情况讨论,分别令 得增区间,令得减区间;(2) ,令,利用导数研究其单调性,结合零点定理可得结果.‎ 试题解析:‎ ‎(1),当时,在上单调递减,在单调递增;当时,在上单调递增,在单调递减;‎ ‎(2)依题意, ,‎ 令,则,*‎ 令,则,即在上单调递增.‎ 又,,‎ 存在唯一的,使得.‎ 当, 在单调递增;‎ 当, 在单调递减.‎ ‎,,,‎ 且当时,,‎ 又, ,.*‎ 故要使不等式解集中有且只有两个整数,的取值范围应为.‎ ‎【同步训练】‎ ‎1.已知函数(),且的导数为.‎ ‎(Ⅰ)若是定义域内的增函数,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若方程有3个不同的实数根,求实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(Ⅰ)只需,即恒成立,求出即可得结果;(Ⅱ)原方程等价于,研究函数的单调性,结合图象可得结果.‎ ‎ ‎ 令,解得或.‎ 列表得:‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 增 极大值 减 极小值 增 由表可知当时, 取得极大值;‎ 当时, 取得极小值.‎ 又当时,,,此时.*‎ 因此当时,;当时,;当时, ,因此实数的取值范围是.‎ ‎2.已知函数的图象的一条切线为轴.(1)求实数的值;(2)令,若存在不相等的两个实数满足,求证: .‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)对函数求导,由题可设切点坐标为,由原函数和切线的斜率为可得方程组,解方程组得值;(2)由题知,可构造去绝对值后的函数,利用导数与函数单调性的关系,判断的单调性,再构造函数,利用导数判断出的单调性,最后可令 ‎,利用单调性可得结论.‎ ‎ 且在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎,‎ 当时, ,*‎ 记,‎ 记函数的导函数为,则 ‎ ‎ ‎3.已知函数(),.‎ ‎(1)若的图象在处的切线恰好也是图象的切线.‎ ‎①求实数的值;‎ ‎②若方程在区间内有唯一实数解,求实数的取值范围.‎ ‎(2)当时,求证:对于区间上的任意两个不相等的实数, ,都有成立.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)①首先求函数的图象在处的切线, , ,又因为切点为,所以切线方程为,于是问题转化为直线与函数图象相切,于是可以根据直线与抛物线相切进行解题;②问题转化为方程在区间内有唯一实数解,参变量分离得,设, ,研究的单调性、极值,转化为直线与有且只有一个交点,(2)当时, 在上单调递增, 在 上单调递增,设,则, ,于是问题转化为,构造函数,通过函数在上单调递减,可以求出的取值范围.‎ ‎∵,∴, ,函数单调递增, , ,函数单调递减,‎ ‎∵, ,且时, ,‎ ‎∴;‎ 证明:(2)不妨设,则, ,‎ ‎∴可化为 ‎∴‎ 设,即,∴在上单调递减,‎ ‎∴恒成立,即在上恒成立,‎ ‎∵,∴,‎ 从而,当时,命题成立.‎ ‎4.已知函数.‎ ‎(1)设,‎ ‎①记的导函数为,求;‎ ‎②若方程有两个不同实根,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若在上存在一点使成立,求实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)①对进行求导,将代入可得的值;②对进行二次求导,判断的单调性得其符号,从而可得的单调性,结合图象的大致形状可得的取值范围;(2)将题意转化为,令,题意等价于在上的最小值小于0,对进行求导,对导函数进行分类讨论,判断单调性得其最值.‎ ‎(2)由题可得,∴,∴,‎ 令,则在上的最小值小于0,‎ 又,‎ ‎1,当时,即, 在上递减,所以,解得;‎ ‎2,当即, 在递增,∴解得;‎ ‎3,当,即,此时要求又,‎ 所以,‎ 所以此时不成立,‎ 综上或.*‎ 点睛:本题考查导数的运用:求考查函数与方程的联系单调区间最值,同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题,正确求导是解题的关键.在正确求导的基础上,利用导数与的关系得到函数的单调区间,也是在高考中的必考内容也是基础内容;注意存在性问题与恒成立问题的区别.‎ ‎5.已知函数.‎ ‎(1)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数;‎ ‎(2)若为自然数,则当取哪些值时,方程在上有三个不相等的实数根,并求出相应的实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)先求函数导数,根据导函数零点确定函数单调区间,再根据为某个单调区间的子集得的取值范围,(2)结合三次函数图像确定的取值范围:当,且时,方程在上有可能有三个不等实根,再根据端点值大小确定实数的满足的条件: ,最后解不等式可得实数的取值范围.‎ 只需满足即可.‎ 因为,且,‎ 因而,‎ 所以,即,*‎ 综上所述,当,且时,满足题意,此时实数的取值范围是.‎ ‎6.已知函数,且直线是函数的一条切线.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)对任意的,都存在,使得,求的取值范围;‎ ‎(3)已知方程有两个根,若,求证: .‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)对函数求导, ,设直线与函数相切与点,根据导数的几何意义可得, ,解得,求出;(2)对任意的 ,都存在,使得,只需要的值域是值域的子集,利用导数的方法分别求、的值域,即可求出的取值范围;(3)根据题意得,两式相减得, ,所以 ‎,令,则,则,令,对求导,判断的单调,证明.‎ ‎ (2) 由(1)得,所以,当, 时, ,所以在上单调递减,所以当, 时, , ,当时, ,所以在上单调递增,所以当时, ,依题意得 ,所以,解得.‎ ‎(3) 依题意得,两式相减得,所以,方程可转化为 ‎7.已知函数(为自然对数的底数,),,.‎ ‎(1)若,,求在上的最大值的表达式;‎ ‎(2)若时,方程在上恰有两个相异实根,求实根的取值范围;‎ ‎(3)若,,求使的图象恒在图象上方的最大正整数.‎ ‎【思路引导】‎ ‎ (1)先求函数导数,根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号,确定函数单调性,进而确定函数最值,(2)作差函数,求导得原函数先减后增,因此要有两个相异实根,需极小值小于零,两个端点值大于零,解不等式可得的取值范围; (3)实际为一个不等式恒成立问题,先转化为对应函数最值问题(利用导数求差函数最小值),再研究最小值恒大于零问题,继续求导研究函数单调性,并结合零点存在定理限制或估计极点范围,最后范围确定最大正整数.‎ 试题解析:‎ ‎(1) 时,,;‎ ‎①当时,,在上为增函数,此时,‎ ‎②当时,,在上为增函数,‎ 故在上为增函数,此时 ‎③当时,,在上为增函数,在上为减函数,‎ 若,即时,故在上为增函数,在上为减函数,‎ 此时 若,即时,在上为增函数,则此时,‎ 综上所述: ‎ ‎(2),,‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴在上恰有两个相异实根,‎ ‎ ,‎ 实数的取值范围是,‎ ‎ ‎ ‎8.设函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值;‎ ‎(3)若方程,有两个不相等的实数根,比较与0的大小.‎ ‎【思路引导】‎ ‎ (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时,,单调增区间为.时,有增有减;(2) 函数有两个零点,所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,(3)根据,所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小.‎ ‎ ‎ ‎(3)证明:因为是方程的两个不等实根,由(1)知.‎ 不妨设,则,.‎ 两式相减得,‎ 即.‎ 所以.因为,‎ 点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎
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